Оценка косвенных измерений. МНК

1.

Оценка косвенных
измерений.
МНК

2.

Косвенные измерения

3.

?

4.

?

5.

?

6.

?

7.

?

8.

?

9.

?

10.

?

11.

?

12.

?

13.

Совместные измерения
где а и n – неизвестные параметры, определяемые
методом наименьших квадратов по прямым
измерениям l и Т.
?

14.

Совокупные измерения
?

15.

Y
Yi
εi
Yxi
Yxi a b xi
0
X

16.

Суть метода наименьших квадратов (МНК) - оценки
параметров таковы, что сумма квадратов отклонений
фактических значений зависимой переменной Y от
расчетных (теоретических) Yx минимальна:
n
( y y ) min
2
i 1
i
xi

17.

Оценка параметров регрессии
S ( yi y x i ) ( y a b x ) ;
2
2
dS
2 y 2 n a 2 b x 0;
da
dS
2
2 y x 2 a x 2 b x 0.
db

18.

Оценка параметров регрессии

19.

Доверительный интервал линии регрессии
Y
Yxi a b xi
Yp
Yср
0
Xср
Xp
X

20.

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и
b
Классический подход к оцениванию параметров основан на методе
наименьших квадратов
Из множества линий на графике выбирается та, для которой минимальна
сумма квадратов расстояний по вертикали между точками наблюдений
и этой линией

21.

Классы нелинейных регрессий
Если между физическими явлениями существуют нелинейные
соотношения, то они выражаются с помощью нелинейных функций
Регрессии, нелинейные
относительно переменных
• Линейны по параметрам
Регрессии, нелинейные по
оцениваемым параметрам
• Линейны по переменным

22.

Регрессии, нелинейные относительно
переменных
y x a bx сx парабола;
2
b
y x a гипербола;
x
y x a bx сx dx полином;
2
3

23.

Регрессии, нелинейные по оцениваемым
параметрам
y x a x степенная;
b
y x a b показатель ная;
x
yx e
a bx
экспоненци альная

24.

25.

Виды регрессии
Модели регрессии
По размерности:
- Простая (Парная)
- Множественная
По форме зависимости:
- Линейная
- Нелинейная
По направлению связи:
- Прямая
- Обратная

26.

Эмпирическое уравнение линейной регрессии
Yx i a b xi
Yxi - теоретическое (среднее) значение зависимой переменной Y, найденное из уравнения
регрессии
b - эмпирический коэффициент регрессии
а- эмпирический свободный коэффициент
В конкретном случае:
Yi a b xi ei
ei – оценка теоретического случайного отклонения ε

27.

Теоретическая линейная модель парной регрессии
Yi xi i
α – свободный коэффициент
β - коэффициент регрессии
εi – случайное отклонение (возмущение)
Случайное отклонение включает влияние не учтенных в модели
факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Источники его
присутствия в модели: спецификация модели, выборочный характер
исходных данных, особенности измерения переменных.

28.

Методы выбора типа уравнения регрессии
Графический метод
• Основан на визуальном анализе поля
корреляции
Аналитический метод
• Основан на изучении материальной
природы взаимосвязи
Экспериментальный
метод
• Основан на сравнении величины
остаточной дисперсии, рассчитанной
при разных моделях

29.

Y
Y
0
Yx a b x
X
0
X
Yx a b x c x
2

30.

Y
Y
0
X
0
X
Yx a b / x Yx a b x c x 2 d x3

31.

Y
Y
0
Yx a x
X
b
0
X
Yx a b
x

32.

?