Виды неопределенности и правила их раскрытия. Число е. Замечательные пределы

1.

Виды неопределенности и
правила их раскрытия.
Число е. Замечательные
пределы.

2.

Виды неопределенностей и методы их разрешения.
Существует несколько видов неопределенностей
0
0
0
,
,
0
,
1
,
,
,
0
.
0
Неопределенность вида
(бесконечность деленная
на бесконечность).
Выражение под знаком предела представляет собой
частное многочленов любой степени.
Pn ( x)
f ( x)
Qm ( x)

3.

Выражение стоящее под знаком предела, содержит
дробно-иррациональную функцию
В этом случае для раскрытия неопределенности
умножают и числитель и знаменатель на выражение
сопряженное к иррациональному выражению и используют
формулу сокращенного умножения
a b a b a 2 b 2 .
Например, знаменатель дроби является иррациональным
выражением
( x 3)( x 2 8 x )
x 3
0 lim
lim
x 3
x 3
( x 2 8 x )( x 2 8 x )
x 2 8 x 0

4.

( x 3)( x 2 8 x )
( x 3)( x 2 8 x )
lim
lim
x 3
x 3
x 2 8 x
( x 2) (8 x)
( x 3)( x 2 8 x )
( x 3)( x 2 8 x )
lim
lim
x 3
x 3
2( x 3)
2x 6
x 2 8 x
3 2 8 3
lim
5
x 3
2
2

5.

Рассмотрим пример, когда числитель дроби является
иррациональным выражением
2 x 2 x
2 x 2 x
2 x 2 x 0
lim
lim
x
0
x 0
x
x 2 x 2 x
0
2 x 2 x
lim
x 0
x
2x
lim
x 0
2 x 2 x
x
lim
x 0
2 x 2 x
Пример:
2 x 2 x
x
2 x 2 x
lim
x 0
2
2
1
2 x 2 x 2 2
2
2 x
0
lim
x 4 3 2 x 1
0

6.

В этом случае и числитель и знаменатель содержат
иррациональные выражения.
2 x
(2 x )(2 x )(3 2 x 1)
0
lim
lim
x 4 3 2 x 1
x
4
(3 2 x 1)(3 2 x 1)(2 x )
0
(4 x)(3 2 x 1)
(4 x)(3 2 x 1)
lim
lim
x 4 (9 (2 x 1))(2
x
4
x)
(9 2 x 1)(2 x )
(4 x)(3 2 x 1)
(4 x)(3 2 x 1)
lim
lim
x 4 (8 2 x )(2
x 4 2(4 x )(2
x)
x)
3 2 4 1 3
4
2(2 4)

7.

Первый замечательный предел
sin x 0
lim
1
x 0
x
0
sin x
lim
1.
x 0 x
x
lim
1,
x 0 sin x
Если выражение, стоящее под знаком предела содержит
тригонометрические
функции,
то
для
раскрытия
неопределенности
используют
формулу
первого
замечательного предела.
Формулы, используемые при решении
x
1 cos x 2sin
2
2
sin х cos х 1
2
2sin х cos х sin 2 х
2

8.

Рассмотрим пример
sin 2 x 0 lim 2sin 2 x 2lim sin 2 x 2 1 2
lim
x 0
x 0 7 2 x
7 7
7 2x
x 0
7x
0
1 cos5 x
x 0 1 cos3 x
lim
5x
2sin
2
lim
x 0
3x
2sin 2
2
2
5x
sin
2
lim
x 0
3x
sin 2
2
2
2
5x
5 x 3x 3x 5 x 5 x
25
x
sin sin
25
2
2
2
2
2
2
4
lim
lim
2
x
0
x 0 5 x
9x
9
5x
3x
3x 3x 3x
sin
sin
4
2
2
2
2 2 2

9.

3. Неопределенность вида
1
Для
раскрытия
неопределенностей
применяется второй замечательный предел:
x
такого
1
x
1
lim 1 e,
x
x
lim(1 x) e
x 0
Рассмотрим пример:
2x 3
lim
x 3 x 4
2x 3
lim
x 3 x 4
x 1
x 1
2x
lim
x 3 x
2x
xlim
3 x
x 1
x 1
2
3
2
3
0
вида

10.

Пример:
3x 5
lim
x 3 x 7
2 x 1
1
lim 1
x
3x 7
12
=
3x 7 7 5
lim
x
3
x
7
2 x 1
1
lim 1
x
3x 7
12
2 x 1
12
3x 7
lim
x
3x 7 3x 7
3 x 7 12
(2 x 1)
12 3 x 7
lim e
x
12(2 x 1)
3 x 7
2 x 1