Виды неопределенности и правила их раскрытия. Число е

1.

Виды неопределенности и
правила их раскрытия. Число
е. Замечательные пределы.

2.

Существует несколько видов неопределенностей
0
0
0
,
,
0
,
1
,
,
,
0
.
0
Неопределенность вида
(бесконечность деленная
на бесконечность).
Выражение под знаком предела представляет собой
частное многочленов любой степени.
Pn ( x)
f ( x)
Qm ( x)

3.

Для
раскрытия
такого
вида
неопределенности
необходимо:
1. разделить все слагаемые числителя и знаменателя на
переменную х в старшей степени;
2. рассмотреть предел каждого слагаемого.
При раскрытии неопределенности такого вида возможны
три случая:
а). Степень многочлена числителя равна степени
многочлена знаменателя.
10 8
3 x 2 10 x 8
3 2
2 2
2
2
3x 10 x 8 lim x
x x 3
x
x lim
lim 2
. x 2
x
5 4
x 5x 4
x x 5 x 4
1
2
x
x
x2 x2 x2

4.

На основании теоремы о пределе частного, суммы
(разности) рассмотрим предел каждого слагаемого
10
lim
0;
x x
8
lim 2 0;
x x
5
lim 0;
x x
4
lim 2 0.
x x
3 1
2 2 3
2 x3 3x 1
2 0 0 2
x
x
lim 3
lim
;
2
x 3 x x 5
3 0 0 3
x 3 1 5
x x3
5 1
7 2 4
7 x4 5x2 1
7 0 0 7
x
x
lim 4
lim
;
3
x 6 x 5 x 8
6 0 0 6
x 6 5 8
x x4

5.

б).
Степень многочлена числителя больше степени
многочлена знаменателя
5 7
3x 2 5 x 7
3
2
2
2
2
2
3x 5 x 7
3
x
x
x
x
x
lim
lim
lim
x
2 1
x
2x 1
x
0
2x 1
x x2
x2 x2
x5 6 x 3 11x 2 5
5 5 5
5
3
2
5
x 6 x 11x 5 lim x
x
x
x
lim
x
4
2
4
2
3
x
x
8x
x
3x x 8 x
5 5
5
x
x
x
lim
x
6 11 5
3 5
2
x
x
x 1
0
3 1 8
3 4
x x
x
1

6.

в). степень многочлена числителя меньше степени
многочлена знаменателя
2 x 4 4 x3 x 2
6 6
6
2 x 4 4 x3 x 2
lim
x
x
x
lim 6
6
5
4
5
4
x 4 x 5 x 3x
x 4
x 4 x 5 x 3x x 4
6
6
6
6
6
x
x
x
x
x
2 4 1
3 4
2
0
x
x
x
lim
0
x
5 3 1 4 4
4 2 5 6
x
x
x
x

7.

Предел отношения двух многочленов при х
равен
0 при n m
Pn ( x) a1
lim
при n m
x Q ( x )
m
a2
при n m
1. если степень многочлена числителя меньше степени
многочлена знаменателя, по предел равен нулю.
2. если степень многочлена числителя равна степени
многочлена знаменателя, то предел равен отношению
коэффициентов при старшей степени переменной;
3. если степень многочлена числителя больше степени
многочлена знаменателя, по предел равен бесконечности;

8.

2. Неопределенность вида
0 .
0
Метод раскрытия неопределенности такого вида зависит
от выражения стоящего под знаком предела, как правило
выделяют два частных случая:
а). выражение стоящее под знаком предела является
рациональной функцией:
2
x 4 0
lim 3
x 2 x 8
0
Для решения задачи необходимо
формулами сокращенного умножения:
воспользоваться
a2 b2 a b a b a 3 b3 a b a 2 ab b 2 .

9.

Разложим числитель и знаменатель на множители:
x 2 x 2
x2 4 0
lim 3
lim
2
x
2
x 2 x 8
x 2 x 2x 4
0
x 2
2 2
1
lim 2
2
.
x 2 x 2 x 4
2 2 2 4 3
Если числитель и знаменатель дробно-рациональной
функции являются многочленами второй степени, то для
раскрытия неопределенности необходимо разложить и
числитель и знаменатель на множители:
2
x2 4 x 5 0
ax
bx c a x x1 x x2
lim 2
;
x 1 x 2 x 3
0

10.

Для решения задачи необходимо
1. Определить корни числителя и знаменателя
x2 4 x 5 0
b D
x1,2
2a
x2 5
x1 1
x2 2 x 3 0
x1 1
D b2 4ac
x2 3
2. Разложить многочлен на множители
x 4 x 5 ( x 1)( x 5)
2
x 2 2 x 3 ( x 1)( x 3)
x 1 x 5
x2 4 x 5 0
x 5 3
lim 2
lim
lim
.
x 1 x 2 x 3
0 x 1 x 1 x 3 x 1 x 3 2

11.

Рассмотрим пример:
3x 2 10 x 8 0
lim
x 4 x 2 5 x 4
0
Вычислим корни многочлена числителя и знаменателя,
разложим числитель и знаменатель на множители:
3x 2 10 x 8 0;
2
x1 4; x 2 .
3
x 2 5x 4 0;
x1 4; x2 1.
2
2
3(
x
4)(
x
)
3(
x
)
3 x 2 10 x 8
3 lim
3
lim 2
lim
x 4 x 5 x 4
x 4 ( x 4)( x 1)
x 4 ( x 1)
3x 2 3( 4) 2 14
lim
x 4 ( x 1)
4 1
3

12.

Первый замечательный предел
sin x 0
lim
1
x 0
x
0
sin x
lim
1.
x 0 x
x
lim
1,
x 0 sin x
Если выражение, стоящее под знаком предела содержит
тригонометрические
функции,
то
для
раскрытия
неопределенности
используют
формулу
первого
замечательного предела.
Формулы, используемые при решении
x
1 cos x 2sin
2
2
sin х cos х 1
2
2sin х cos х sin 2 х
2

13.

Рассмотрим пример
sin 2 x 0 lim 2sin 2 x 2lim sin 2 x 2 1 2
lim
x 0
x 0 7 2 x
7 7
7 2x
x 0
7x
0
1 cos5 x
x 0 1 cos3 x
lim
5x
2sin
2
lim
x 0
3x
2sin 2
2
2
5x
sin
2
lim
x 0
3x
sin 2
2
2
2
5x
5 x 3x 3x 5 x 5 x
25
x
sin sin
25
2
2
2
2
2
2
4
lim
lim
2
x
0
x 0 5 x
9x
9
5x
3x
3x 3x 3x
sin
sin
4
2
2
2
2 2 2

14.

Найти пределы функций: