Правило Лопиталя

1.

Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей вида
0
или ). Если функции y f x и y x удовлетворяют
0
условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки x x0 ,
f x
,
стремятся к нулю (или ) при x x0 и существует lim
x x 0 x
f x
то существует также lim
и эти пределы равны, т.е.
x x 0 x
f x
f x
lim
lim
.
x x 0 x
x x 0 x
Правило Лопиталя справедливо и при x0 .

2.

Если
частное
f x
x
вновь
дает
в
предельной
точке
неопределенность одного из двух названных видов и функции
f x ,
x удовлетворяют всем требованиям, ранее указанным
для функций f x и x , то можно перейти к отношению вторых
производных и т.д. Однако следует помнить, что предел отношения
самих функций может существовать, в то время как отношение
производных не стремится ни к какому пределу.

3.

x sin x
Пример: Найти lim
.
x x cos x
Решение: Имеем:
sin x
1
x sin x
x 1.
lim
lim
x x cos x
x
cos x
1
x
Но предел вида
x sin x lim 1 cos x
x
x cos x x 1 sin x
lim
не существует, так как при
могут принимать любые
отношение производных
значения. Следовательно,
неприменимо.
x числитель и знаменатель дроби
значения из отрезка 0;2 , а само
принимает любые неотрицательные
правило Лопиталя в этом случае

4.

e3 x 1
Пример: Найти lim
.
x 0 sin 5 x
Решение: Числитель и знаменатель данной дроби
непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю. Это означает,
что можно применить правило Лопиталя:
e3 x 1
3e3 x
3
lim
lim
.
x 0 sin 5 x
x 0 5 cos 5 x 5

5.

Неопределенность вида 0 получается из произведения
функций f1 x f 2 x , в котором lim f1 x 0 и lim f 2 x . Это
x 0
x x0
произведение легко преобразуется в частное вида
f1 x
1
f 2 x
или
f 2 x
1
,
f1 x
0
что дает неопределенности вида или . Если же lim f1 x и
x x0
0
lim f 2 x , то разность f1 x f 2 x дает неопределенность вида
x x0
f 2 x
. Но f1 x f 2 x f1 x 1
.
f1 x
f 2 x
1, приходим к неопределенности вида
Тогда, если lim
x x0 f x
1
0 .

6.

Пример: Вычислить lim x 3e x (неопределенность вида 0 ) .
x
Решение: Легко находим, что
lim x 3e x
x
x3
3x 2
6x
6
lim x lim x lim x lim x 0.
x e
x e
x e
x e
x
Рассмотрим функцию вида f x
.
1. Если lim f x 0, lim x 0, то имеем неопределенность вида
x x0
x x0
00.
2.Если lim f x 1, lim x , приходим к неопределенности
вида 1 .
x x0
3. Если
вида 0 .
x x0
lim f x ,
x x0
lim x 0, получаем неопределенность
x x0

7.

Для раскрытия этих неопределенностей применяется метод
логарифмирования, который состоит в следующем. Пусть
x
lim f x A.
x x0
Так как логарифмическая функция непрерывна, то
lim ln y ln lim y.
x x0
x x 0
Тогда
ln A lim x ln f x
x x0
И неопределенности трех рассматриваемых видов сводятся к
неопределенности вида 0 .

8.

1
x
Пример: Вычислить lim e x .
x 0
x
Решение: Обозначим искомый предел через A. Тогда
1
ln A lim ln e x x
x 0 x
e 1 / e
lim
x
x 0
1
x
x
lim e
1
2
2
,
A
e
.
x
x 0 e x
x
ln e x
lim
x
x 0
x

9.

1.
Геометрические
и
механические
приложения
производной. Значение производной f x0 функции y f x в
точке x0 равно угловому коэффициенту k tg касательной TT к
графику этой функции, проведенной через точку M 0 x0 , y0 , где
y0 f x0
(рис.1)
(г ео метрич еский
смысл
производной).
Уравнение касательной TT к графику функции y f x в его
точке M 0 x0 , y0 имеет вид y y0 f x0 x x0 .

10.

Прямая NN , проходящая через точку касания M 0
перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику
функции y f x в этой точке. Уравнение нормали
x x0 f x0 y y0 0 .
Рис.1

11.

Пример. Составить уравнение касательной и нормали к кривой
y x3 2 x 2 в точке с абсциссой x0 1.
Решение:
f x x3 2 x 2; f x 3x 2 2; f x0 f 1 5
f x0 f 1 1
уравнение касательной: y 1 5 x 1 , или y 5 x 4
уравнение нормали: x 1 5 y 1 0, или 5 y x 6 0.
Если x x t - функция, описывающая закон движения
dx
x есть скорость, а
материальной точки, то первая производная
dt
d 2x
x - ускорение этой точки в момент
вторая производная
2
dt
времени t ( м е х а н и ч е с к и й с м ы с л п е р в о й и
вто ро й про извод ных).

12.

2. Исследование поведения функций и их
графиков.
Одной
из
важнейших
прикладных
задач
дифференциального исчисления является разработка
общих приемов исследования поведения функций.
Функция
называется
возрастающей
y f x
(убывающей) в некотором интервале, если большему
значению аргумента из этого интервала соответствует
большее (меньшее) значение функции, т.е. при x1 x2
выполняется неравенство f x1 f x2 f x1 f x2 .

13.

Перечислим признаки возрастания (убывания)
функции.
1. Если дифференцируемая функция y f x на
отрезке a; b возрастает (убывает), то ее производная на
этом отрезке неотрицательна (неположительна), т.е.
f x 0 f x 0 .
2. Если непрерывная на отрезке a; b и дифференцируемая
внутри него функция имеет положительную
(отрицательную) производную, то она возрастает (убывает)
на этом отрезке.

14.

Функция
называется
неубывающей
y f x
(невозрастающей) в некотором интервале, если для любых
x1 x2 из этого интервала f x1 f x2 f x1 f x2 .
Интервалы, в которых функция не убывает или не
возрастает, называются интервалами монотонности
функции. Характер монотонности функции может
изменяться только в тех точках ее области определения, в
которых меняется знак первой производной. Точки, в
которых первая производная функции обращается в нуль
или терпит разрыв, называются критическими.

15.

Пример. Найти интервалы монотонности и
критические точки функции y 2 x 2 ln x.
Решение: Данная функция определена при x 0.
Находим ее производную:
y 4 x 1 / x 4 x 2 1 / x.
В области определения функции y 0 при 4 x 2 1 0,
т.е. при x0 1 / 2. Найденная точка разбивает область
определения функции на интервалы 0; 1 / 2 и 1 / 2; ; в
первом из них y 0, а во втором y 0. Это означает, что в
интервале 0; 0,5 данная функция убывает, а в интервале
0,5; возрастает.

16.

Точка x1 называется точкой локального максимума
функции y f x , если для любых достаточно малых
x 0 выполняется неравенство f x1 x f x1 . Точка
x2 называется точкой локального минимума функции
y f x , если для любых достаточно малых x 0
f x2 x f x2 . Точки
справедливо неравенство
максимума и минимума называют точками экстремума
функции, а максимумы и минимумы функции – ее
экстремальными значениями.

17.

Теорема
(необходимый
признак
локального
экстремума). Если функция y f x имеет в точке x x0
экстремум, то либо f x0 0, либо f x0 не существует.
В точке экстремума дифференцируемой функции
касательная к ее графику параллельна оси Ox.
Пример. Исследовать на экстремум функцию
3
y x 1 .
2
Решение: Производная данной функции y 3 x 1
в точке x 1 равна нулю. Но в этой точке функция
3
экстремума не имеет, так как x 1 0
при
3
3
x 1, x 1 0 при x 1, x 1 0 при x 1. Итак,
обращение в нуль производной функции не обеспечивает
существования экстремума функции.

18.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию y x .
Решение: Для данной непрерывной функции имеем:
y 0 0. Так как при x 0 y x 0, то x 0 точка
минимума. Но функция y x не имеет производной в
точке x 0.
Из рассмотренных примеров следует, что не во всякой
критической точке функция имеет экстремум. Однако если
в какой-либо точке функция достигает экстремума, то эта
точка всегда является критической.
Для отыскания экстремумов функции поступают
следующим образом: находят все критические точки, а
затем исследуют каждую из них (в отдельности) с целью
выяснения, будет ли в этой точке максимум или минимум,
или же экстремума в ней нет.

19.

Теорема (первый достаточный признак локального
экстремума). Пусть функция y f (x) непрерывна в
некотором интервале, содержащем критическую точку
x x0 , и дифференцируема во всех точках этого интервала
(кроме, быть может, самой точки x0 ). Если f (x) при x x0
положительна, а при x x0 отрицательна, то при x x0
функция y f (x) имеет максимум. Если же f (x) при
x x0 отрицательна, а при x x0 , положительна, то при
x x0 данная функция имеет минимум.
Следует иметь в виду, что указанные неравенства
должны выполняться в достаточно малой окрестности
критической точки x x0 . Схема исследования функции
y f (x) на экстремум с помощью первой производной
может быть записана в виде таблицы (см. табл. 1).