Таблица производных

1.

С’=
1.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
(C-const, C∈R)
x
r R
r '
sin x
'
e
x '
a
x '
cos x
a 0, a 1
'
tgx
x n, n Z
2
ctgx '
x n, n Z
ln x
x 0
log a x
x 0, a 0, a 1
x
x 0
1
x
arcsin x '
x 1
arccos x '
'
'
'
arctgx
'
'
'
x 0
arcctgx
'
x 1

2.

3. Таблица первообразных
f x
x
r
F x C
f x
0
k
r 1
1
x
cos x
sin x
x
a
x
1
cos 2 x
1
1 x2
1
sin 2 x
e
1
1 x2
F x C

3.

F(x)-первообразная f(x) на (a;b),
если ........?
?
F(x) + C – …….
Основное
свойство
первообразных
Нахождение функции по её
производной-….?
Геометрический смысл интегральных
кривых y=F(x) + C : …..?

4.

?
F(x) + C – все возможные
первообразные f(x) на (а;b)
Неопределённый интеграл….?
?
f
x
dx
...
?
?

5.

F
x
C
f
x
dx
F’(x)=f(x)
f
x
dx
F
x
dx
dF
x
'
d F x C F x C
Интегрирование и дифференцирование–
взаимно обратные операции

6.

න ПО ЧАСТЯМ
Кл/p 18.12.23г

7.

Интегрирование по частям
u x v x u x v x u x v x
du x
dv x dx
'
u x v x
v x u x
'
'
'
dx
dx
'
u x v x dx v x du x u x dv x
d u x v x v x du x u x dv x
d
u
x
v
x
v
x
du
x
u
x
dv
x
u x v x v x du x u x dv x
u x dv x u x v x v x du x

8.

Интегрирование по частям
u x dv x u x v x v x du x
u x 3x 4; du x 3dx
sin
2
xdx
dv
x
1) 3 x 4 sin 2 xdx
cos 2 x
v x 2
3x 4
3
cos 2 x cos 2 xdx C
2
2
3x 4
3
cos 2 x sin 2 x C
2
4

9.

u
x
dv
x
u
x
v
x
v
x
du
x
x
2) 1 x cos dx
4
x
x
4 1 x sin 16 cos C
4
4

10.

u
x
dv
x
u
x
v
x
v
x
du
x
3)
x
x 1 5 dx
5x
1
x 1
C
ln 5
ln 5

11.

u
x
dv
x
u
x
v
x
v
x
du
x
4)
ln xdx
x ln x x C

12.

u x dv x u x v x v x du x
5)
arctgx dx
1
2
x arctgx ln 1 x C
2

13.

u x dv x u x v x v x du x
6)
3
x ln x dx
x
1
ln x C
4
4
4

14.

u x dv x u x v x v x du x
7)
xdx
2 x
sin
2
x
x
2 x ctg 4 ln sin C
2
2

15.

ДЗ на
20.12.23г

16.

Домашнее задание
Найдите неопределённый интеграл:
1) x 1 sin 2 xdx;
5) x 2 arctgxdx;
9) x x 7 dx;
2) 3 x 2 x 1 dx;
6) cos x e x dx;
10) x 2 e x dx;
3) arccos xdx;
7) 3 x cos xdx;
4)
xdx
;
2
cos 2 x
xdx
8) 2 ;
sin x
11) x 2 sin xdx;
12) x 2 cos x dx;