Дифференцирование высших порядков

1.

d2y
15.14.3. Найти
2 для функции y x , заданной параметрическими уравнениями
dx
x ln cos t , y ln cos 2t .
y x
tg 2t
yt 2sin 2t sin t
:
2
xt
cos 2t cos t
tg t
sin t cos t cos t
cos 2 t
4
4
cos 2t sin t
cos 2t
1 cos 2t
1
4
2 1
.
2cos 2t
cos
2
t
y xx
y x t
xt
. Вычислим сначала y x t .
1

2.

2sin 2t sin t
tg 2t
1 cos 2t
sin t cos t cos t
cos 2 t
1
y x
:
2
4
4
4
2 1
.
cos 2t cos t
tg t
cos 2t sin t
cos 2t
2cos 2t
cos 2t
-----------------------------------------------------------------------------------
2
tg t tg 2t
1
cos 2 t
cos 2 2t
tg 2t
С п о с о б 1. y x t 2
2
2
tg t
tg t t
2 tg t cos 2 t tg 2t cos 2 2t
2sin t cos t sin 2t cos 2t
2
2
2
2
2
2
2
cos t cos 2t tg t
cos 2t sin t
2sin 2t
1 cos 2t
sin 2t
4
.
cos 2 2t sin 2 t
cos 2 2t
2
2
2cos
t
sin
t
cos
2
t
cos
t sin 2t 2
cos
t
4
С п о с о б 2. y x t 4
2
cos 2t
cos 2t t
cos 2t 2cos 2 t
sin 2t
4sin 2t
4
.
cos 2 2t
cos 2 2t
sin 2t
1
1
2
sin
2
t
2
4
.
С п о с о б 3. y x t 2 1
2
2
co
s
2
t
cos
2
t
c
os
2
t
t
2

3.

Учитывая, что
xt tg t , y x t 4
sin 2t
,
2
cos 2t
получим
y xx
y x t
xt
sin 2t sin t
sin t cos t cos t
cos 2 t
4 2
:
8 2
.
8 2
cos 2t cos t
cos 2t sin t
cos 2t
3

4.

Оптимальное решение целиком:
d2y
15.14.3. Найти
2 для функции y x , заданной параметрическими уравнениями
dx
x ln cos t , y ln cos 2t .
y x
yt 2sin 2t sin t
sin t cos t cos t
:
4
xt
cos 2t cos t
cos 2t sin t
1 cos 2t
cos 2 t
1
4
4
2 1
.
cos 2t
2cos 2t
co
s
2
t
sin 2t
1
1
sin 2t 2 4 2
.
y x t 2 1
2 2
cos
2
t
cos
2
t
cos
2
t
t
y xx
y x t
xt
sin 2t sin t
sin t cos t cos t
cos 2 t
4 2
:
8 2
.
8 2
cos 2t cos t
cos 2t sin t
cos 2t
4