Производная и дифференциал. Производные высших порядков

1. Производная и дифференциал.

2. Производные высших порядков.

• n-ой производной (или производной n-го
порядка) функции f(x) в точке х называется
производная от производной (n-1)-го порядка
в точке х.
n
n 1
y
Обозначение:
y
y n ,
f n x ,
dny
dx n

3.

y y
Обозначения:
y ,
y ,
y ,
вторая производная
d dy
,
dx dx
2
d y
,
2
dx
f ( x),
y ,
y ,
y ,
4
IV
V
y , ... ,
y
n
или
y ,
y ,
y ,
5
y , ... ,
y
n
dy
dx

4.

x
1. Найти производную второго порядка: y arcsin
2
x
u
y arcsin arcsin u
2
1 u 2
x
2
1
2
x
1
4
1
2
1
2 4 x2
4 x2

5.

1
y
2
4 x
2
1
u
4 x
2
2
u
4 x
u
u
4 x
2x
u
2 u
4 x2 2 4 x2
2 4 x2 4 x2
2
x
4 x
2
4 x2

6.

2. Найти n-ую производную:
y e
2x
2x
u
u
2x
e u e 2 x e 2e
y e
2x
y 2e
2x
y 4e
y
IV
4e
2x
8e
2x
8e
2x
2x
16e
2x
и т.д.
Ответ:
y
n
2 e
n
2x

7.

3. Найти n-ую производную:
1
y ln x
x
y ln x
1
1
y 2
x
x
1
1
u 2x 2
y 2 2 4 3
u x
x
x u
2
2
2
3
x
2 3
IV
y 3 6 4
x
x
x
3
2
3
2
3
4
x
2 3 4
V
y 4
8
x
x5
x
и т.д.
y
n
n 1 !
1
n
n 1
x

8.

4. Найти производную 10-го порядка: y sin x
y sin x cos x sin x
2
y cos x sin x sin x 2
2
y sin x cos x sin x 3
2
y
IV
cos x sin x sin x 4
2
и т.д.

9.

y
n
sin x n
2
Тогда
y
10
sin x 10 sin x 5 sin x sin x
2
Ответ:
y 10 sin x

10. Производная высших порядков неявно заданной функции.

5. Найти y
1)
x
2
y
2
, если
1
2 x 2 y y 0
x
y
y
x y 1
2
2

11.

2)
y
x
y
y x
x y x y
2
y
y2
x
y
y x
1
3
3
y
y
2
3)
2
x
3
3
2
y
1
y
3 y y
3x
y 3 6
5
6
4
y
y
y
y
y

12. Производная высших порядков от функции, заданной параметрически.

x x(t )
y y (t )
y x t
y xx
xt
или
yt xt yt xt
y xx
xt 3

13. 6. Найти , если

6. Найти
y xx , если
1
xt ln t
t
x ln t
y arctan t
1
yt arctan t
2
1 t
yt
1
1
t
y x
:
2
2
xt 1 t t 1 t

14.

2
2
y x t t 1 t 1 t t 1 t
y xx
t
2
2
2
xt
1 t 1
1
t
t
1 t
1 t t
t
1 t
1 t 2t
2
2 2
2
2
2 2
Ответ:
y xx
1 t t
1 t
2
2 2

15. 7. Найти в точке t=1, если

7. Найти y xx
xt 2t 3
xt 2
x t 2 3t 1
в точке t=1, если
y 2t 3 1
yt 6t 2
yt 12t
yt xt yt xt 12t 2t 3 6t 2 2 12t t 3
y xx
3
3
3
xt
2t 3
2t 3
12 4 48
y xx t 1 3
125
5
48
Ответ: y xx t 1
125

16. 8. Найти , если

8. Найти
y xx , если
x cos t sin t
y sin 2t
Ответ: 2

17. Физический смысл второй производной

Среднее ускорение точки за время Δt:
v t v t0 v
aср t 0 ; t
t t0
t
Ускорением точки в момент времени t:
v
a lim acp lim
v t s t s t
t 0
t 0 t
или
v dv d ds d 2 s
a lim acp lim
2
t 0
t 0 t
dt dt dt dt

18.

• Ускорение прямолинейного движения точки в
данный момент времени равно второй
производной пути по времени.
v
a lim
v t s t
t 0 t

19. Пример 9. Найти скорость v и ускорение a свободно падающего тела, если зависимость расстояния от времени t дается формулой

(*)
1 2
s (t ) gt v 0t s 0
2
s m ,
t cek
2
g
9
,
8
m
/
cek
где
-ускорение свободного падения, а
s0 s t 0
- значение s при t=0

20.

(**)
v s t gt v0
⇒
v0 v t 0
a v t s t g
Замечание. Обратно, если ускорение некоторого движения
постоянно и равно g, то скорость выражается равенством
(**), а расстояние- равенством (*) при условии, что
s t 0 s0
и
v
t 0
v0