Логарифмическая производная. Производные высших порядков. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. (Лекция 6)

1.

Лекция 6. Понятие о логарифмической производной. Производные высших
порядков. Теоремы Роля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Исследование
функций и построение графиков с применением производных.
Производная логарифмической функции
Рассмотрим логарифмическую функцию y log a x, ( x 0, a 0, a 1)
y log a ( x x) log a x
y
x
log a
Переходя к пределу при
y ' (log a x)'
x x
x
x 1 x log (1 x ) 1 log (1 x ) x
a
a
x
x x
x
x
x
x 0
получим
1
x x 1
1
log a (1
) log a e
x
x
x
x ln a
x
lim x 0
1
1
y ' (ln x)'
x
x ln a В частности
Следовательно
Понятие о логарифмической производной
Рассмотрим сложную функцию y ln z, z ( x)
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем
y x' (ln z ) 'x (ln z ) 'z z x' y x'
1 '
z'
z x y ' (ln z ) 'x
z
z
Производная от логарифмической функции называется логарифмической
производной функции.
Пример
2
y ln( x 2 4 x 5) y '
( x 4 x 5)'
2x 4
x2 4x 5
x2 4x 5

2.

№
Таблица формул дифференцирования
Функция и ее производная
1
c' 0
2
(u v w)' u ' v' w'
3
(cu )' cu '
4
(uv)' u ' v uv'
5
u ' v uv '
u
v2
v
6
7
8
9
10
11
'
y x' y z' z x'
x 'y
1
y x'
( x n )' nx n 1
(sin x)' cos x
(cos x)' sin x
(tgx)' sec 2 x
1
cos 2 x
12
(ctgx)' cos ec 2 x
13
(log a x)'
14
(a x )' a x ln a, (e x )' e x
1
sin 2 x
1
1
, (ln x)'
x ln a
x

3.

15
16
1
(arcsin x)'
1 x2
(arctgx)'
18
(arcctgx)'
20
1 x2
1
1 x2
17
19
1
(arccos x)'
1
1 x2
(chx)' shx
( shx )' chx
1
ch 2 x
21
(thx)'
22
(cthx)'
1
sh 2 x

4.

Производная функции, заданной параметрическими уравнениями
Зависимость между переменными x,y иногда удобно задавать двумя уравнениями
x (t ), y (t ) (1), где t – вспомогательная переменная, (параметр). Например, в
механике t – время, уравнения (1) – параметрические уравнения траектории
движущейся точки.
В общем случае, уравнения (1) определяют y как сложную функцию относительно
x. Разрешив первое уравнение системы (1) относительно параметра t (если это
возможно), получим t (x), функция, обратная к функции .
Далее, исключая из уравнений (1) параметр t, получаем y ( ( x)) (2).
Пользуясь формулой (2) легко найти производную y x' как производную сложной
функции.
'
Кроме того, существует правило для нахождения y x не требующее исключение
параметра t (параметр невозможно исключить).
Теорема
Если функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями x (t ), y (t )
где
- (t ), (t ) дифференцируемые функции и (t ) 0 то производная этой функции
есть ' yt' (3) .
yx
xt'

5.

Доказательство
В цепочке равенств y (t ), t ( x) ,где t (x) обратная функция по отношению к
функции x (t ) , будем рассматривать t как промежуточный аргумент. Тогда,
согласно правила дифференцирования сложной функции будем иметь
'
y x yt' t x' (4).
Применяя правило дифференцирования
обратной функции получим t x' 1 (5)
'
y
'
xt'
Из (4) и (5) получаем y x t' dy dy dx
xt
В обозначениях Лейбница dx dt : dt
'
2
Пример x t 2 ; y t 3 x ' 2t; y ' 3t 2 ; y ' yt 3t 3 t
t
t
x
xt'
2t
2
Производные высших порядков
Производная f’(x) функции f(x) называется производной первого порядка и
представляет собой некоторую новую функцию. Вполне допустимо, что эта
функция сама имеет производную. Тогда производная от производной первого
порядка называется производной второго порядка или второй производной.
Обозначение
f”(x)=[f’(x)]’
Производная от производной второго порядка, если она существует называется
производной третьего порядка или третьей производной
Обозначение
f”’(x)=[f”(x)]’ и так далее.

6.

f
(n)
( x) - производная n – го порядка.
Пример
y x 4 2 x3 3x 2 1 y' 4 x3 6 x 2 6 x y' ' 12 x 2 12 x 6 y' ' ' 24 x 12 y iv 24
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими
уравнениями
Пусть функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями x (t ), y (t )
(1),где (t ), (t ) - дифференцируемые функции и (t ) 0 , t0 t T
Причем на отрезке [t0 , T ] функция x (t ) имеет обратную функцию t (x)
Для первой производной имеет место формула
dy
y
y x' dt (2).
dx
x
dt
'
t
'
t
d2y
Для нахождения второй производной y , 2 дифференцируем по х равенство (2)
dx
имя в виду, что t есть функция от х.
''
xx
2
d dy dx dy d dx
d
y
dy
dy
2
2
d y d dt
d dt dt dt dt dt dt dt dt dt
dt
2
dx 2 dx dx dt dx dx
dx
dx
dt
dt
dt
dx dy d 2 x
dt dt dt 2
3
dx
dt

7.

Или
ytt'' xt' yt' xtt'' (3)
y
( xt' ) 3
''
xx
d3y d4y
,
,...
Аналогичным образом можно найти производные
dx 3 dx 4
Пример
''
x a cos t ; y b sin t ; y x' , y xx
?
Решение
x t' a sin t ; y t' b cos t ; x tt'' a cos t ; y tt'' b sin t ;
y x'
a sin t ( b sin t ) b cos t ( a cos t )
b
b
''
ctgt; y xx
a
( a sin t ) 3
a 2 sin 3 t
Формула Лейбница
На производные высших порядков распространяются общие правила
дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то
(u v) ( n ) u ( n) v ( n) , (cu) ( n) cu ( n)
Выведем формулу Лейбница, дающую возможность вычислить производную n – го
порядка от произведения двух функций, то есть (uv) ( n )
y=uv
y ' u ' v uv'
y ' ' u ' ' v u ' v' u ' v' uv' ' u ' ' v 2u ' v' uv' '
y ' ' ' u ' ' ' v u ' ' v' 2u ' ' v' 2u ' v' ' u ' v' ' uv' ' ' u ' ' ' v 3u ' ' v' 3u ' v' ' uv' ' '
y ' ' ' ' u ' ' ' ' v 4u ' ' ' v' 6u ' ' v' ' 4u ' v' ' ' uv' ' ' '
…

8.

Закон составления производных сохраняется для производных любого порядка и
заключается в следующем:
Надо выражение (u v) n разложить по формуле бинома Ньютона и в полученном
выражении, заменить показатели степеней для u и v указателями порядка
производных, причем нулевые степени (u 0 , v 0 ) входящие в крайние элементы
разложения, надо заменить самими функциями (то есть производными нулевого
порядка).
Получаем
y ( n ) (uv)( n ) u ( n ) v nu ( n 1)v'
n(n 1) ( n 2 )
u
v' ' ...nu ' v ( n 1) uv ( n ) - формула Лейбница
2!
Строгое доказательство этой формулы можно было бы провести методом
математической индукции.
Пример
y e ax x 2 y ( n) ?
Решение
u e ax , v x 2
u' ae ax , v' 2 x
u' ' a 2 e ax , v' ' 2
…
u ( n ) a n e ax , v' ' ' v' ' ' ' ...v ( n) 0
y ( n ) a n e ax x 2 na n 1e ax 2 x
тогда
n(n 1) n 2 ax
a e 2 e ax a n 2 (a 2 x 2 2nax n(n 1))
2!

9.

Производные высших порядков для функции заданной неявно
Рассмотрим на примере вычисление производной второго порядка для функции
заданной неявно.
Пример
x 2 2 xy 2 ln
Решение
y
y' ' ?
x
x 2 2 xy 2 ln y ln x 2 x 2 y 2 4 x y y'
(2 x 2 2 xy 2 1) y
(2 x 2 2 xy 2 1) y
y'
y
'
'
2
x(1 4 xy 2 )
x
(
1
4
xy
y' 1
1
1
y ' (4 x y ) 2 x 2 y 2
y x
y
x
'
Далее в выражении для второй производной используем найденное выражение
производной первого порядка.
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема о корнях производной (теорема Ролля)
Если функция y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и на концах
отрезка f(a)=f(b)=0, то существует внутри отрезка [a,b] по крайней мере одна
точка x=c, a<c<b, в которой производная f’(x) обращается в 0.
Доказательство
Так как f(x) непрерывна на [a,b], то она имеет на этом отрезке наибольшее (М) и
наименьшее (m) значения.
Если M=m, то f(x) постоянна, то есть при всех значениях х - f(x)=0 и для

10.

x [a, b] f ' ( x) 0
Теорема доказана.
Если M m ,то пологая M>0 и f(x) принимает наибольшее значение при х=с, то есть
f(c)=M, при этом c a, c b так как по условию f(a)=f(b)=0
Учитывая, что f(c) - наибольшее значение функции, то f (c x) f (c) 0 при x 0, x 0
Отсюда следует
при x 0
(1')
f (c x) f (c)
x
0
f (c x) f (c)
0
x
при
x 0 (1’’)
Так как по условию теоремы f’(x) существует при х=с, то переходя к пределу при
получим
x 0
f (c x) f (c)
f ' (c) 0, x 0
x
f (c x) f (c)
lim x 0
f ' (c) 0, x 0
x
lim x 0
Но соотношения f ' (c) 0, f ' (c) 0 совместимы лишь в том случае, когда f’(c)=0.
Следовательно, внутри отрезка [a,b] имеется точка с, в которой f’(c)=0.
Геометрическая интерпретация
Если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекается с осью
ОХ в точках x=a,x=b, то на этой кривой найдется, по крайней мере одна точка с
абсциссой x=c, a<c<b, в которой касательная параллельна оси ОХ.

11.

2.Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа)
Если y=f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b], то внутри отрезка [a,b]
найдется, по крайней мере, одна точка c, a<c<b, что
f(b)-f(a)=f’(c)(b-a) (1)
Доказательство
Обозначим Q f (b) f (a) (2)
b a
Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(x-a)Q (3)
Геометрический смысл F(x) следующий:
Напишем уравнение хорды AB. Учитывая, что ее угловой коэффициент равен
f (b) f (a )
и, что она проходит через точку (a,f(a)).
Q
b a
y-f(a)=Q(x-a) y f (a) Q( x a) ,но F(x)=f(x)-[f(a)+Q(x-a)]
следовательно, F(x) для каждого значения х равняется разности ординат кривой f(x) и
хорды y=f(a)+Q(x-a) для точек с одинаковой абсциссой.
Так как F(x) непрерывна и дифференцируема на [a,b] и F(a)=F(b)=0, то к ней можно
применить теорему Ролля, согласно которой существует точка c [a, b] что
F’(c)=0. Но F’(x)=f’(x)-Q F’(c)=f’(c)-Q=0 Q
равенство (2) получаем
f ' (c )
Подставляя это в

12.

f (b) f (a)
f ' (c) f (b) f (a) f ' (c)(b a)
b a
Теорема доказана.
Геометрическая интерпретация
Если во всех точках дуги AB существует касательная, то существует точка с, в которой
касательная параллельна хорде AB.
C
f(b)
f(a)
a)
a
c
b
3.Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши)
Если f ( x), ( x) непрерывные и дифференцируемые функции на отрезке [a,b], причем
' ( x) 0 при x [a, b] то найдется такая точка x=c, a<c<b, что f (b) f (a) f ' (c)
(b) (a)
(1). Доказательство
Обозначим
Q
f (b) f (a)
(b) (a)
(2).
' (c )

13.

Отметим, что (b) (a) 0
так как в противном случае по теореме Ролля обращалась
бы в 0 внутри отрезка [a,b], что противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-Q (3). Так как F(x) непрерывна и
дифференцируема на [a,b] и F(a)=F(b)=0, то к ней можно применить теорему Ролля,
согласно которой существует точка c [a, b] что что F’(c)=0.
f ' (c )
f (b) f (a)
f ' (c )
Но F’(x)=f’(x)-Q F’(c)=f’(c)-Q=0 Q ' (c) (b) (a) ' (c)
Понятие о правиле Лопиталя
Теорема доказана.
Рассмотрим отношение f ( x) ( x)
где функции ( x), ( x) определены и
( x)
дифференцируемы в окрестности U a точки а. Может случиться, что при
стремятся к 0 или к
то есть обе функции одновременно
являются бесконечно малыми или бесконечно большими. Тогда в точке а функция
f(x) имеет неопределенность вида 0 или
(1)
x a, ( x), ( x)
0
В этом случае, используя производные
' ( x), ' ( x)
можно сформулировать простое
x a
,
правило для нахождения предела функции f(x) при то есть дать способ
раскрытия неопределенностей вида (1). Это правило Лопиталя.

14.

Теорема
Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен
пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если
последний существует.
Доказательство
0
Доказательство проведем для случая неопределенности вида и для простоты будем
0
( x), ( x), ' ( x), ' ( x)
предполагать, что
- непрерывны в точке а и ' (a) 0
lim x a ( x) (a) 0
(2)
lim x a ( x) (a) 0
(2’)
Разность ( x) (a) можно рассматривать как приращение (x ) в точке а,
соответствующее приращению аргумента x x a
Поэтому lim x a ( x) (a) ' (a) (3) lim x a ( x) (a) ' (a) (3’)
x a
x a
Учитывая (2), (2’) при x a получим
( x) (a )
( x) ( x) (a )
x a
( x) ( x) (a ) ( x) (a)
x a

15.

Отсюда переходя к пределу при x aи используя (3) и (3’) получим
( x) ' (a) (4)
lim
x a
( x)
' (a)
Но по предположению ( x), ( x), ' ( x), ' ( x) непрерывны при x a , причем ' (a) 0, поэтому
' ( x) lim x a ' ( x) ' (a) (5)
lim
x a
' ( x)
lim x a ' ( x)
' (a)
Сопоставляя формулы (4) и (5) получим правило Лопиталя
lim x a
( x)
' ( x)
lim x a
( x)
' ( x)
0
Указанные виды неопределенностей или не являются единственными. Возможны
0
неопределенности 0 то есть f ( x) ( x) ( x) причём ( x) 0, ( x) , x a
Или неопределенность то есть
f ( x) ( x) ( x)
причем ( x) , ( x) , x a
Возможны и другие неопределенности. Для раскрытия этих неопределенностей их
стараются с помощью тождественных преобразований свести к неопределенностям
вида
0
0 или
и затем применить правило Лопиталя
.

16.

Примеры
x
x
1. lim x 0 2 1 0 lim x 0 2 ln 2 ln 2 ln 2
sin x
2.
lim x
0
cos x
1
x 2
2x
2
lim x x lim x x 0
x
e
e
e
ln x
lim x 0
1
x
1
x lim
x 0 x 0
1
x2
3.
lim x 0 x ln x 0 lim x 0
4.
1
x cos x sin x 0
cos x 1
lim x 0 (ctgx ) lim x 0
lim x 0
x
x sin x
sin x x
0
lim x 0
cos x x sin x cos x
x sin x
sin x
0
lim x 0
lim x 0
0
sin x
sin x x cos x
sin x x cos x
1 1
cos x
x
Для функции f ( x) ( x) ( x ) в случаях при x a
( x) 0, ( x) 0
( x) , ( x) 0
( x) 1, ( x)
Получаем неопределенности вида 0 0 , 0 ,1
Для нахождения предела удобно логарифмировать функцию f(x).

17.

Пример
lim (sin x) tgx 1
x
5.
Логарифмируя выражение и используя непрерывность
2
логарифмической функции находим
ln A ln lim
lim
x
2
x
2
(sin x) tgx lim
x
2
[ln(sin x) tgx ] lim
x
2
( sin x cos x) 0 ln A 0 A 1
(tgx ln(sin x)) lim
x
2
ln(sin x)
lim
x
ctgx
2
cos x
sin x
1
2
sin x