Производная второго порядка. Выпуклости, точки перегиба

1. ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

ГБОУ №1392 имени Д. Рябинкина
Давтян Римма Артемовна
ПРОИЗВОДНАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
ВЫПУКЛОСТИ, ТОЧКИ ПЕРЕГИБА.

2. Содержание

Производные второго порядка
Вогнутость, выпуклости и точки перегиба

3.

Понятие касательной
к данной непрерывной
Определение: Касательной
кривой в данной ее точке М (точка
касания) называется предельное
положение секущей ММ', проходящей
через точку М, когда вторая точка
пересечения М' неограниченно
приближается по кривой к первой.
Рис. 1

4.

Общее определение производной
Определение: Производной функции у = f(х)
называется предел отношения
приращения функции к приращению
аргумента при условии, что
приращение аргумента стремится к
нулю, если этот предел существует
y
x 0 x
y f ( x) lim
Найти производную функции у = х2
x 0
y = (х + x )2
y lim
x 0
y ( x x) 2 x 2 2 x * x ( x) 2
y
lim
(2 x x) 2 x
x 0
x
(х2)' = 2х

5.

Смысл производной
Физический
Геометрический
Если функция описывает f ( x) k касательной к
какой-либо физический
графику функции y=f (x) в
процесс, то y f (x) есть точке, абсцисса которой
скорость
протекания
равна x.
y
этого процесса.
Например
Точка движется
прямолинейно по закону S t 2
.Найти скорость движения
в момент времени t=3
y=kx+b
Уравнение
касательной к кривой
y x2 1
в точке А(1;2)
k y ( x) ( x2 1) 2 x
k=2*1=2
2=2*1+b
b=0
y=2x

6.

Производная сложной функции
ТЕОРЕМА:
Если у = f(z)и z= (x)— дифференцируемые
функции от своих аргументов, то производная
сложной функции
y f (x)
существует и равна производной данной
функции у по промежуточному аргументу z,
умноженной на производную самого промежуточного
аргумента г по независимой переменной х, т. е.
y x y z z x
Например
y ln( x 3x 1)
2
1
y x y * x (2 x 3)
u
y ln
x 2 3x 1
2x 3
x 2 3x 1

7.

Производная обратной функции
ТЕОРЕМА. Для дифференцируемой функции с
производной, не равной нулю, производная обратной
функции равна обратной величине производной данной
функции.
Доказательство. Пусть у = f(х) Например y=arctg x
y 0
x=tg x обратная для y
y x f ( x) 0
1
1
x ( y)
y x
x
1
(tgy)
cos 2 x
x
y
2
1:
cos
y
cos 2 y
y
x
cos 2 y sin 2 y
1
x
y
2
lim
1 : lim
cos
y
y 0 y
x 0 x
2
1
2
1
ctg
y
sin y
1
1
1
xy
2
1
tg
x
yx
1 x2

8.

Производная неявной функции
Определение:
Если y как функция от x задается
соотношением F(x, y)=0, где F(x, y) выражение, содержащее x и y, то y
называется неявной функции от x.
Алгоритм нахождения производных заданных
функций в неявном виде.
1) Находим производную от
Пример. Найти y
левой части равенства F(x,
y)=0, рассматривая y как
x 3 y 2 5 xy 4
функцию от x и
3 2
приравниваем ее к нулю.
(5xy) 4
(
x
y
)
2) Решаем полученное уравнение
относительно y, в
( x3 ) y 2 x3 ( y 2 ) (5x) y 5xy 0
результате будем иметь
выражение производной от
2 2
3
неявной функции в виде
3x y x 2 yy 5 y 5xy
y=f(x)

9.

Производная функции, заданной
параметрически
ТЕОРЕМА:
Если
функция
параметрически
у
от
x (t )
где функции (t ) и
и
аргумента
задана
y (t )
(t )
дифференцируемы и (t )
0 , то производная
y
этой функции есть
x
yt
xt
x
y
х
t2
t3
Например
yt 3t 2
xt 2t
3
y x yt : xt 3t : 2t t
2
2

10.

Понятие о производных высших порядков
Производная f '(х) от
Пример
функции f (х) называется
производной первого порядка
1)Пусть y = sin x
и представляет собой
Тогда имеем последовательно
некоторую новую функцию.
y cos x, y sin x, y cos x, y IV sin x,.....
Может случиться, что эта
3
функция сама имеет
2)Пусть y( x) 4 x 2 cos x
производную. Тогда
Найти: y
производная от производной
y 12 x 2 2 sin x
первого порядка называется
производной второго порядка
y 24 x 2 cos x
или второй производной и
y 24 x 2 sin x
обозначается так: f "(х).
Итак,
f ( x) f ( x)
f ( x) f ( x)

11.

Вогнутость и выпуклость графика
функции. Точки перегиба
Определение: График дифференцируемой функции у =
f(х) называется вогнутым вверх (или
выпуклым вниз) в промежутке (а, b), если
соответствующая часть кривой
y f ( x)( x a, b )
расположена выше касательной,
проведенной в любой ее точке М(х, f(x)).
Аналогично, график дифференцируемой
функции у = f(х) называется выпуклым вверх
(или вогнутым вниз) в промежутке (а, b),
если соответствующая часть кривой
расположена ниже касательной,
проведенной к любой ее точке М(х, f(х))
Определение: Точкой перегиба графика дифференцируемой
функции у = f(х) называется его точка, при
переходе через которую кривая меняет свою
вогнутость на выпуклость или наоборот

12.

ТЕОРЕМА:
Если для дважды дифференцируемой функции y =
f(х) вторая ее производная f "(х) положительна внутри
промежутка (а,b), то график этой функции вогнут
вверх в данном промежутке.
Доказательство: Пусть f "(х) > 0 при а<х<bих0 — любая
точка промежутка (а, b). Сравним в
точке х ординату у кривой y=f(x)
ординатой у ее касательной MоN,
проведенной в точке

13.

Достаточные условия вогнутости
(выпуклости) графика функции.
Теорема: Если же вторая
производная f"(х) отрицательна
внутри промежутка (а, b), то
график функции у = f(х) вогнут
вниз в этом промежутке.
Доказательство:
Аналогично
доказывается, что если
f "(x) < 0 при а < х < b,
то график функции у =
f(х) вогнут вниз на
промежутке (а, b).