Выпуклость графика функции. Точки перегиба

1. Выпуклость графика функции. Точки перегиба.

2. Цель и задачи урока

Цель: знакомство с второй производной
функции и её применением.
Задачи:
1. Нахождение производной второго
порядка, определение точек перегиба и
выпуклостей графика функции при его
построении.
2. Воспитание умения работать в группах.
3. Применение полученных знаний для
решения жизненных задач.

3. Ролевая игра «Один день из жизни делового человека»

4.

16 x 4 x
2
3 cos(
6
3x )
4
28 (7 x 3) 5
2
15x ( x 1)
6e 2 x 2 32 x 1 ln 3
3e 3
2 x 1
8
8x
x
3x )
45 x 30 x
(7 x 3)
2x
sin(
6
2

5. Блиц- опрос

Блицопрос
1. При каких значениях х функция
возрастает?
2. Каков знак производной функции
на этих интервалах?
3. При каких значениях х функция
убывает?
4. Каков знак производной функции
на этом интервале?
5. Назовите точки экстремума.
6. Что происходит с производной
функции в точках минимума и
максимума?
7. Чему равно значение производной
функции в точках экстремума?
8. Как проходит график касательной
в точках экстремума?
9. Каков геометрический смысл
производной функции?

6. Производная второго порядка

f (x) – функция
дифференцируема на (a;b)
f ‘ (x) – производная
функции f(x) на (a;b)
f ‘‘ (x) – вторая
производная функции f(x)
на (a;b)
f(x) = x3
f ‘‘ (x) = (f ‘ (x)) ‘
f “(x) = 6x
f ‘(x) = 3x2

7. Точки перегиба

Если f ‘‘(x) > 0, то график
функции выпуклый вниз.
Если f ‘‘(x) < 0, то график
функции выпуклый вверх.
х0 – точка перегиба
х0
дифференцируемой
f(x) = x3
функции f (x), если в этой
точке функция меняет
направление выпуклости.
х0 = 0
(точка
перегиба)

8. Выпуклость графика функции

Выпуклость вниз
f ‘‘(x) > 0
Выпуклость вверх
f ‘‘(x) < 0

9. Исследование функции y=-3x5+5x3+2

Исследование функции
5
3
y=-3x +5x +2
f ’(x ) = -15 x4+ 15 x2
x=0, x=-1, x=1 точки, в которых первая
производная равна 0
0
x=-1, x=1 точки экстремума
f ’’(x ) = -60 x3+ 30 x
точки перегиба графика функции x= 0, x=
-1 x
2
2
2
2
x
x<-1
-1
f”(x)
-
0
+
+
f”(x)
+
+
+
0
f(x)
2
x 0
2
2
2
2
,x= - 2
0
0 x
+
0
+
-
0
+
2
2
2
x 1
2
1
x>1
+
+
0
-
0
-
-
-
2
2
0
≈0,8
2
≈3,2
4
min
пере
-гиб
перегиб
перегиб
max

10.

Алгоритм построения
графика функции:
1. Найти область определения функции
2. Найти первую производную функции
3. Приравнять первую производную к нулю,
4. Найти стационарные точки,
5. Определить знаки первой производной
6. Определить промежутки возрастания и убывания функции
7. Найти вторую производную функции
8. Приравнять вторую производную к нулю
9. Определить точки перегиба функции
10.Определить знаки второй производной на интервалах
11.Определить промежутки выпуклости графика функции
12.Найти значения функции в стационарных точках и точках перегиба
13.Данные внести в сводную таблицу
14.Найти корни функции и, если необходимо, дополнительные точки
15.Построить график функции

11. Составляющие успеха

• Компетентность
• Пунктуальность
• Мобильность
• Практичность
• Творческий подход
• Конструктивность
• Креативность
• Оптимизм
• Коммуникабельность

12. Проектная деятельность

4
2
f(x) = x - 4х

13. Проектная деятельность

3
2
f(x) = -x - 3х +3

14. Проектная деятельность

4
3
f(x) = х - 3х +4

15. Проектная деятельность

5
3
f(x) = x - 4х

16. Завершение работы - максимум успеха

Максимум
Импульс
Позитив
Энергия
Шанс
Благодарю за урок! Желаю удачи!