Пирамида

1. Пирамида

.

2. Содержание

• Примеры пирамид
• Определение пирамиды
• Виды пирамид
• Правильные пирамиды
• Построение правильной пирамиды
• Свойства правильной пирамиды
• Усеченная пирамида
• Площадь поверхности пирамиды

3. Пирамиды древности

4. Пирамиды древности

5. Пирамиды древности

6. Магические пирамиды

7. Пирамиды

8. Примеры пирамид

9. Пирамида (др. греч. πυραμίς) – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие

Пирамида (др. греч. πυραμίς) – многогранник,
основание которого – многоугольник, а остальные
грани – треугольники, имеющие общую вершину
S
вершина
боковые ребра
боковые грани
D
E
А
основание
C
B

10. Виды пирамид

11. Площадь поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды равна
сумме
площадей
основания
и
боковой
поверхности.
S
Sполн. = Sосн. + Sбок.
l
D
С
Н
А
а
О
В

12.

Пирамида называется правильной, если основанием
её является правильный многоугольник, а вершина
проецируется в центр основания.
S
В правильной пирамиде
все боковые грани –
равные равнобедренные
треугольники.
D
С
Н
О
А
В
Апофема – высота
боковой грани
правильной
пирамиды.

13. Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной
пирамиды равна половине произведения
периметра основания на апофему
S
Sбок. = ½ Pосн. SH
d
D
Док – во:
Sбок = (½ad + ½ad + ½ad + … ) =
= ½ d (a + a + a + …)= ½Pосн.d
Pосн.
А
С
а
Н
О
В

14. Объем пирамиды

Объем пирамиды равен 1/3 произведения
площади основания на высоту.
S
Vпир. = 1/3 Sосн h
h
D
А
С
а
О
В

15. Построение правильных пирамид

S
S
S
D
А
C
M
O
С
А
M
В
F
A
B
В
E
D
O
C
M
O

16. Задача №1

S
Дано: SABCD – пирамида, SB⊥ABCD
ABCD – квадрат, АВ = 2, ∠SAB = 60°.
Найдите: Sбок.
60º
С
В
А
2
2
D

17. Задача №2

Дано: SABCD – пирамида,
ABCD – ромб, АВ = BD, РABCD = 16,
SO⊥(АВС), SO = 1.
Найдите: Sбок.
S
1
В
С
В
O
А
H
D
А
С
O
D
H
М

18. Задача №3

Дано: SABCD – пирамида,
ABCD – ромб, АС = 8, BD = 6,
SO ⊥ (АВС), SO = 1.
Найдите: Sбок.
S
1
В
С
В
O
А
H
D
А
4
3
С
O
D
H
М

19. Усеченная четырехугольная пирамида

D1
C1
Верхнее основание
О1
A1
Апофема
B1
D
С
Боковые грани
(трапеции)
Нижнее основание
О
А
В

20. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной
усеченной пирамиды равна произведению
полусуммы периметров оснований на апофему.
D
A
D1
C
О
B
a
Sбок=½(P1осн.+ P2осн.) l
l
О1
А1
b
В1
С1
Док – во:
Sбок = (½(a+b)l + ½(a+b)l +
+½(a+b)l + … ) =
= ½ l ((a+a+…)+(b+b+…))=
=½(P1осн.+ P2осн.) l

21. Усеченная треугольная пирамида

A1
О1
В1
C1
Н1
А
С
F
О
E
В
Н