Гравитационные волны (жидкость неограниченной глубины). Звуковые волны

1. Лекция 4 «Волны в идеальной жидкости»

Содержание
:
1. Гравитационные волны
(жидкость неограниченной
глубины).
2. Звуковые волны.

2.

1. Гравитационные волны (жидкость
неограниченной глубины)
• В современной физике волны – краеугольный камень
в изучении линейных (а благодаря компьютерным технологиям
и нелинейных) динамических процессов.
• Оптика, акустика, электродинамика (радиофизика) –
полностью волновые разделы физики.
• Гидромеханика – волны (ударные и акустические) в
атмосфере и гидросфере, волны на поверхностях и
внутренних границах жидких сред (гравитационные волны,
капиллярные волны, внутренние волны, волны в каналах и
пр.).
• Сфера приложений: метеорология, волнозащита прибрежных
сооружений, кораблестроение (волнообразование при
движении кораблей), защита от акустического шума,
гидролокация.

3.

Гравитационные волны – волны на поверхности воды (рис. 1), для
существования которых фундаментальную роль играет сила тяжести
(отсюда название; не путать с
гравитационными волнами
специальной теории
относительности - предсказаны,
обнаружены 2016 г. )
Рис. 1
Рис. 2
Возбуждаются: при ударе по
поверхности жидкости, ветровом
воздействии, движении кораблей.
Сила тяжести при вертикальных
отклонениях поверхности жидкости
– возвращающая сила.
Частицы жидкости во впадинах
выдавливаются вверх. Горбы и
впадины аналогичны сжатым и
растянутым пружинам осцилляторов.

4.

Исходные допущения:
1. Жидкость неограниченно большой глубины z 0
2. Отклонения поверхности настолько малы, что им сопутствуют
малые скорости v, позволяющие пренебречь нелинейным членом
в уравнении Эйлера и в силу условия |v| c (с скорость звука)
принять жидкость несжимаемой ( const), а течение
потенциальным (v ).
2
0
P 0 0
t
Основная трудность решения заключается в формулировке
граничного условия, поскольку поверхность жидкости не
остается фиксированной и испытывает отклонения.
0
P 0
Обратимся с этой целью к уравнению,
t
которое должно выполняться во всей
области z , включая и саму границу.
от координат
не зависит

5.

p 0 gz P (t )
t
Производимая волной разность давлений P P (t ) p 0
0 gz
t
в точках границы z должна отсутствовать независимо от вида
возмущений (граница с вакуумом). Отсюда имеем граничное условие
0
P 0
t
0
p 0 gz 0
t
t
0
z g 0
Решение уравнения Лапласа ищем в виде
f ( z ) exp[i(kx t )]
2
d
f
2
Подстановка к ОДУ
что дает f ( z ) exp[ k ( z )]
k
f
0
dz2
В области решения из-за возмущения границы волной z 0 и по
требованию ограниченности выбираем положительный знак

6.

В итоге имеем решение вида:
0 exp[ k ( z )] exp[ i (kx t )]
Вывод дисперсионного соотношения
По условиям возбуждения величины 0 ,
число k еще подлежит определению.
vz
t
z
t
z
i
z
z
z
z g 0
известны. Волновое
Преобразованное
граничное условие
i
z g z 0
z
t
i
Подстановка в ГУ: i exp[i (kx t )] g k exp[i (kx t )] 0
2
приводит к дисперсионному соотношению
k
g
Дисперсионное соотношение дает
недостающее значение k и завершает построение решения

7.

Особенности гравитационных волн на глубокой воде
v
1. Частотная дисперсия: (k ) вида kg
g /
k
2. Искажение импульсов, цугов волн
1
2
1
1
2
2
Групповая скорость
U
v
k 2

8.

Траектории частиц
Компоненты вектора скорости
[Re( )]
0e k ( z ) cos( kx t ) 0e k ( z ) k sin( kx t )
x
x
v z [Re( )]
0e k ( z ) cos( kx t ) 0e k ( z ) k cos( kx t )
z
z
vx
В каждой точке (x, z) области жидкости вектор скорости v вращается
равномерно, оставаясь неизменным по величине: |v| const
В лагранжевом представлении (x,z – координаты выделенной частицы)
vx
dx
0e k ( z ) k sin( kx t )
dt
vz
dz
0e k ( z ) k cos( kx t )
dt

9.

x(t ) v x dt x x0 0e k ( z0 )
k
cos( kx0 t )
z (t ) v z dt z z0 0e k ( z0 )
k
sin( kx0 t )
Уравнения движения частицы жидкости в параметрической форме.
Показывают, что частицы жидкости в гравитационной волне описывают
вокруг точек x0 , y0 окружности с радиусами, экспоненциально
уменьшающимися с удалением вглубь жидкости. При совершении еще
и равномерного горизонтального перемещения со скоростью волны v
образующаяся при z0 0
кривая изображает поверхностный
профиль волны.
2. Звуковые волны
Звуковые волны – малые возмущения сжатия. Принципиально
важен учет сжимаемости среды. Уравнения гидродинамики
v
1
( v ) v p,
( v) 0
t
t
рассматриваются обычно с учетом адиабатической связи
p p( )

10.

Адиабатическая связь p( ) следствие обычно быстрого протекания
акустических процессов, когда теплопередача между участками
среды практически отсутствует
Равновесное состояние и отклонения от равновесия
В отсутствие звуковой волны жидкость характеризуют равновесными
p0 p( 0 )
значениями плотности 0 и давления
Под действием звуковой волны возникают отклонения
0 , p p p0
Зависимость p p( ) разлагают в ряд по этим отклонениям
p
1 2 p
2
p p0 0 ( 0 )
(
)
0
0
2
2
s
s
В линейном приближении по малым отклонениям
0 , p p0

11.

2
2 p
p c , c 0
s
имеет место связь
всегда 0
Линеаризация уравнений гидродинамики.
Вывод волнового уравнения
v скорость акустического смещения частиц жидкости величина
такого же порядка малости, как , p
v
1
( v ) v
p
t
0
v
1
p
t
0
0
(
v) 0
t
0
p c 2
1 p
c 2
2
t
t
t
0
0
2v
0 v 0
t
2v
c2
0 v
2
0
t
t

12.

2v
t
2
c 2 2 v
Так как v
v
1
p
t
0
2 p
t 2
c 2 2 p
волновое уравнение
2
t 2
c 2 2
1
p
t
0
и благодаря связи
2
t 2
p 0
t
p c 2
c 2 2
Предпочтение отдается записи волнового уравнения для давления
(оно обычно измеряется в эксперименте)

13.

Плоские звуковые волны
Опуская далее штрихи у звуковых давления и плотности, имеем
2
p
1 2 p
2
c t
2
0
В плоской звуковой волне, распространяющейся в направлении
вектора n
p PF ( ct ), n r
координата, отсчитываемая
по направлению распространения
z
с скорость распространения
волны (скорость звука)
F функция, описывающая
волновой профиль
x
r
n
y
*

14.

Продольность звуковых волн
Обратимся к представлению волны потенциалом
Тогда скорость частиц в волне
v
F (n r ct )
n F (n r ct )
r
Отсюда: v||n - частицы движутся по направлению
распространения волны, т.е. звуковые волны являются
продольными.
sin( n r ct )
cos(n r ct )
Плоские гармонические волны F (n r ct )
p P cos[ k (n r ct )] p P cos[(k r t )]
k nk волновой вектор, kc частота
p P exp[ i (k r t )] экспоненциальная
форма записи
0
k
Спектр звуковых волн в
идеальной жидкости

15.

Шаровые и цилиндрические звуковые волны
Решение волнового уравнения в сферических координатах в случае
независимости поля от угловых координат
p P exp[ i (k r t )]
p
p
P
exp[ i (kr t )]
r
P
exp[ i(kr t )]
r
Шаровая волна
Цилиндрическая
волна
Линейный
пульсирующий
источник
Цилиндрический фронт
волны

16.

Волновое поле колеблющегося
кварца размером в 4
Отражение и преломление
ультразвукового пучка на
границе «керосин-вода»
Интерференция полей
излучателей
Дифракция Френеля ультразвуковой
волны на краю экрана и шаре