3.12M

Category:

physics

Электромагнитные волны. Лекция 11

1.

Лекция 11. Электромагнитные волны
1.Волновое уравнение для электромагнитного
поля, его общее решение.
2.Скорость распространения электромагнитных
волн.
3.Энергия и импульс электромагнитного поля.
4.Вектор Пойнтинга.
5.Теорема Пойнтинга.

2.

Мы знаем действия многих причин, но
не знаем причин многих действий.
К. Колтон
Мысли философов – как звезды, они
не дают света, потому что слишком
возвышенны.
Ф. Бэкон
А.С. Чуев, 2020

3.

Уравнение волны
Уравнение волны – математическое выражение,
описывающее смещение колеблющейся частицы в
виде функции, зависящей от координат и времени.
( x, y , z , t )
Для одномерного случая возможное общее решение:
x
x ct
( x, t ) f ( x ct ) F (t ) F (
)
c
c
А.С. Чуев, 2020

4.

Гармоническая волна:
А.С. Чуев, 2020

5.

Уравнение плоской гармонической волны:
ξ a cos(ωt k r )
Уравнение плоской одномерной гармонической волны:
ξ a cos(ωt kx)
Уравнение плоской одномерной затухающей
гармонической волны:
ξ a0 e
x
cos(ωt kx)
Уравнение сферической гармонической волны:
a0
ξ cos(ωt kr)
r А.С. Чуев, 2020

6.

2 t ω
ξ Acos
r
v
T
t r
A cos 2
T
k
ω 2
k
- волновое число
v
λ
ω 2
k n n
v
λ
- волновой вектор
В направлении распространения волны
t r
T
- Фазовая скорость
Если общее выражение
дважды продифференцировать по
времени и координатам, то получим
волновое уравнение второго порядка
А.С. Чуев, 2020

7.

Уравнение плоской волны
Плоская волна при х = 0
Амплитуда волны на расстоянии l :
где:
Можем записать
А.С. Чуев, 2020

8.

Обозначая
- волновой вектор.
2π
k
λ
- волновое число.
Получим
Тут
Общее выражение для уравнения волны
Далее - вывод волнового уравнения из уравнения волны
А.С. Чуев, 2020

9.

Продифференцируем функцию дважды по каждой переменной
А.С. Чуев, 2020

10.

А.С. Чуев, 2020

11.

Для одномерной плоской волны волновое уравнение имеет
вид:
Запомнить:
2π
k
λ
А.С. Чуев, 2020

12.

А.С. Чуев, 2020

13.

Вибратор Герца
R – разрядник;
Т - газоразрядная трубка;
D – дроссели.
Вибратор
Резонатор
Движущийся с ускорением электрический
испускает электромагнитные волны.
А.С. Чуев, 2020
заряд

14.

Излучение диполя
А.С. Чуев, 2020

15.

А.С. Чуев, 2020

16.

А.С. Чуев, 2020

17.

sin θ
P
E
4πε 0 rc 2
sin θ
P
H
4πε 0 rc
Диаграмма излучения диполя не сферическая!!!
А.С. Чуев, 2020

18.

ФАР
А.С. Чуев, 2020

19.

А.С. Чуев, 2020

20.

А.С. Чуев, 2020

21.

Электромагнитная волна
Уравнения Максвелла при отсутствии источников поля
первого уравнения
А.С. Чуев, 2020

22.

Вывод волнового уравнения из уравнений Максвелла
Преобразуя векторное произведение в
правой части последнего уравнения:
И использовав для rot Н, выражение из ур-ий Максвелла
получим:
В левой части:
В итоге:
С учетом
А.С. Чуев, 2020

23.

Аналогичным путем можно получить
А.С. Чуев, 2020

24.

Второй вариант вывода волнового уравнения
E y
H z
μμ0
x
t
дифференцируем по х
E y
H z
εε0
x
t
дифференцируем по t
Исключая из полученных уравнений смешанную производную, получаем:
2 Ey
x
2
εε0μμ0
2 Ey
t 2
Используя соотношение
2 Ey
x 2
2
εμ E y
2
c t 2
1
ε 0μ 0 2
c
получим
Аналогично можно получить волновое
уравнение и для вектора Н.
А.С. Чуев, 2020

25.

Другой вид волновых формул для электромагнитных волн
1 d E
2
E 2 2
υ dt
2
1 d H
2
H 2 2
υ dt
2
2
где
2
2
d
d
d
2 2 2
dx dy
dz
2
υ – фазовая скорость.
А.С. Чуев, 2020
– оператор Лапласа,

26.

Еще один вариант записи волновых уравнений для
электромагнитных волн
А.С. Чуев, 2020

27.

Уравнения Максвелла можно решить подстановкой:
A
E grad
t
где
и
A
обязаны удовлетворять уравнениям:
1 A
2
A 2 2 0 j
c t
1
2 2
c t
0
2
2
2
Там, где
Верно общее
уравнение:
и
B rotA
j
равны нулю (в вакууме)
2
1
2
2 2 0
c t
В и Н тоже удовлетворяют этому общему уравнению.
А.С. Чуев, 2020

28.

Соотношение Е и В в плоской электромагнитной волне
E Emax cos kx t
B Bmax cos kx t
E
kEmax sin kx t
x
B
Bmax sin kx t
t
E
B
x
t
Из условия синфазности
векторов Е и В в волне
kEmax Bmax
Emax
c
Bmax
k
Emax E
c
Bmax B
В любой момент времени отношение напряженности электрического
поля к величине магнитной индукции в электромагнитной волне
равно скорости света в вакууме
А.С. Чуев, 2020

29.

Скорость распространения электромагнитных волн в среде зависит
от ее электрической и магнитной проницаемостей. Величину
n εμ
называют
абсолютным показателем преломления.
c
n
υ
и
1
υ
μ 0ε 0
1
c
με n
Показатель преломления есть физическая величина, равная
отношению скорости электромагнитных волн в вакууме к их
скорости в среде.
А.С. Чуев, 2020

30.

Электромагнитные волны – поперечные волны
Изменения Е и Н синфазны!!!
Для плоской гармонической волны:
А.С. Чуев, 2020

31.

Соотношение Е/Н
μμ0
E
H
εε0
Для вакуума
μ0
E
RВАК 377 Ом
H
ε0
А.С. Чуев, 2020

32.

Для Н будет аналогичная запись.
Бабочка Максвелла
А.С. Чуев, 2020

33.

Уравнение встречной волны:
Результат наложения прямой и встречной волн:
А.С. Чуев, 2020

34.

Схема образования стоячей волны
А.С. Чуев, 2020

35.

Узлы и пучности стоячей волны
А.С. Чуев, 2020

36.

С учетом,
Уравнение стоячей волны имеет вид:
Стоячие волны не переносят энергию !!!
А.С. Чуев, 2020

37.

Изображение стоячей ЭМ волны
А.С. Чуев, 2020

38.

Используя соотношения Е с Н, можно получить
А.С. Чуев, 2020

39.

Квадрат косинуса = 1/2
В результате:
А.С. Чуев, 2020
Интенсивность:

40.

Вектор Пойнтинга
направлен в сторону
распространения электромагнитной волны, а его
модуль равен энергии, переносимой электромагнитной
волной за единицу времени через единичную
площадку,
перпендикулярную
направлению
распространения волны.
А.С. Чуев, 2020
А.С. Чуев, 2020

41.

Для сферической волны:
А.С. Чуев, 2020

42.

Теорема Пойнтинга
Из уравнений Максвелла можно получить:
D B
Преобразуем
E,
H , ( E, rotH ) ( H , rotE )
левую часть:
t
t
D B εε 0 μμ0 w
E,
H,
( E, E )
(H , H )
t
t t 2
2
t
Используя векторное тождество:
div E , H ( H , rotE ) ( E , rotH )
и
S E, H
Получим уравнение баланса ЭМ энергии, переносимой ЭМ волной:
w
div S 0
t
А.С. Чуев, 2020

43.

Это уравнение похоже на уравнение непрерывности:
где
ρ
div j 0
t
- объемная плотность электрического заряда.
Применяя формулу Гаусса-Остроградского уравнение
баланса энергии можно выразить в интегральной форме:
wdV S N d
t V
- обозначена площадь.
S N - нормальная составляющая вектора Пойнтинга.
Это соотношение называют теоремой Умова-Пойнтинга.
А.С. Чуев, 2020