Интеграл ошибок. Лекция 14

1.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Доцент кафедры
экспериментальной физики
Ерина Марина Васильевна

2.

Лекция № 14
• Интеграл ошибок.
• Доверительный интервал.
• Распределение Стьюдента. Надежность.

3.

Интеграл ошибок
Найдем вероятность попадания результата измерений, распределенных
нормально, в интервал
x ; x
b
Вероятность попадания в интервал дается известным выражением: P(a, b) f ( x)dx
a
x
x
1
P( x , x ) f ( x)dx
e
2 x
x
x x
x x 2
2 2
dx
z
dx dz
1
1
e
2 1
z2
2
dz
Обобщим случай: найдем вероятность попадания в интервал шириной не в одно
стандартное отклонение, а в t – стандартных отклонений.
P( x t , x t )
t
1
e
2 t
z2
2
dz erf (t )
Такая вероятность называется интегралом
ошибок

4.

1,2
f x , (x)
1,0
Как видно из графика в интервалы
попадает:
0,8
x ; x 68%
x 2 ; x 2 95%
x 3 ; x 3 99,7%
0,6
0,4
0,2
x
0,0
0
1
x t
2
x
3
x
4
x
5
x t
6
7
P(t)
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
t
0%
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5

5.

Пример: нормированное нормальное распределение
роста мужчин с параметрами: х=0; σ = 1.
х

6.

t
z2
1
exp dz , выраженные в процентах
2 t
2
Значения функции
erf (t )
t
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
0
7,97
15,85
23,58
31,08
38,29
45,15
51,61
57,63
63,19
1
68,27
72,87
76,99
80,64
83,85
86,64
89,04
91,09
92,81
94,28
2
95,45
96,43
97,22
97,86
98,36
98,76
99,07
99,31
99,49
99,63
3
99,73
–
–
–
–
99,95
–
–
–
–
4
99,994
–
–
–
–
99,999
–
–
–
–

7.

Пример:
Студент измеряет некоторую величину y много раз и вычисляет среднее