Полный расчёт фермы

1.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН
a
a
a
a
F2=8кН
Необходимо определить усилия во всех стержнях фермы.
Размеры и приложенная к ферме нагрузка указаны на чертеже.

2.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
2
A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=8кН
Прежде всего необходимо обозначить все
узлы фермы и пронумеровать все стержни

3.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
2
A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=8кН
Полный расчёт фермы, при котором необходимо определить усилия во
всех стержнях, имеет смысл начать с определения реакций опор.
Для этого рассматривается равновесие всей фермы.

4.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ФЕРМЫ
F1=5кН G
2
A
5
3
1
a
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=8кН
Выбор формы условий равновесия зависит от количества и
расположения опор. Нужно составлять уравнения таким образом,
чтобы из каждого уравнения определялась одна составляющая
реакций опор.

5.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
2
1
a
∑ Fkx= 0 :
5
3
XA (-5) A
C
E
6
4
9
7
D
a
8
a
B
a
YA (1)
F2=8кН YB (7)
XA+F1= 0
XA = – F1 = – 5 (кН)
∑ MAz(Fk) = 0 : – F1∙a – F2 ∙2a + YB ∙3a = 0
5∙1 + 8 ∙2
= 7(кН)
3
YA = F2 – YB = 8 – 7= 1(кН)
1
YA – F2 + YB= 0
YB =
∑ Fky= 0 :

6.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
2
XA (-5) A
5
3
1
a
C
E
6
4
9
7
D
a
8
B
a
F2=8кН
YA (1)
a
YB (7)
Проверка:
Для проверки правильности полученных результатов
составим уравнение моментов относительно такой точки,
относительно которой все вычисленные силы реакций
создают ненулевые моменты.

7.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
2
XA (-5) A
5
3
1
a
C
E
6
4
9
7
D
a
8
a
B
a
F2=8кН YB (7)
YA (1)
Проверка:
∑ MЕz(Fk) = XA∙a – YA ∙2a + YB ∙a = –5∙a – 1 ∙2a + 7 ∙a = 0

8.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
МЕТОД ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ
F1=5кН G
2
XA (-5) A
a
YA (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=8кН YB (7)
Метод вырезания узлов состоит в том, что рассматривается
равновесие каждого узла

9.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН
На каждый узел действует плоская система
2
3
сходящихся сил, состояXA (-5) A
щая из приложенных к
1 C
данному узлу активных
a
сил и реакций стержней,
присоединённых к данному
YA (1)
узлу.
Для такой системы сил можно
составить только два уравнения
равновесия:
∑ Fkx= 0; ∑ Fky= 0 .
G
E
6
5
D
4
9
7
a
8
a
B
a
F2=8кН YB (7)
F1
S2
G
S3
S6
S5
Поэтому равновесие узлов нужно рассматривать в определённой
последовательности, позволяющей на каждом шаге решения задачи
определять две очередные неизвестные.

10.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
На каждый узел дейF1=5кН G
ствует плоская система
сходящихся сил, состоя2
3
щая из приложенных к
XA (-5) A
данному узлу активных
1 C
сил и реакций стержней,
a
присоединённых к данному узлу.
Для такой системы сил можно
составить только два уравнения
равновесия:
∑ Fkx= 0;
E
6
5
4
D
a
8
a
B
a
F2=8кН YB (7)
YA (1)
∑ Fky= 0 .
9
7
F1
S2
G
S3
S6
S5
Поэтому равновесие узлов нужно рассматривать в определённой
последовательности, позволяющей на каждом шаге решения задачи
определять две очередные неизвестные.

11.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
2
XA (-5) A
Правило знаков:
«+» – растягивающие усилия
(направлены от узла);
«–» – сжимающие усилия.
a
YA (1)
5
3
1
C
E
6
4
a
9
7
D
8
a
B
a
F2=8кН YB (7)
Изначально при расчете все усилия предполагаются положительными
и направляются от узлов.

12.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
Узел B:
y
F1=5кН G
E
6
S9
2
S8
450
B
XA (-5) A
x
1
C
a
YB = 7
5
3
D
4
a
= 0 ; ∑ Fky= 0 :
YB + S9 sin
450
= – 7√2 (кН);
0
45Y
B
=
sin 450
a
B
8
a
F2=8кН YB (7)
YA (1)
∑ Fkx= 0 : –S8 – S9 cos
9
7
=0.
7
√2/2
√2
= 7 (кН).
(1) => S8 = – S9 cos 450 = 7√2∙
2
Запишем найденные усилия в таблицу
(2) => S9 =
№ стержня
Усилие, кН
1
2
3
4
5
6
7
8
9
7
– 7√2

13.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
Узел Е:
F1=5кН G
E
6
y
2
E
S6
S7
XA (-5) A
x
450
1
C
a
S9 = – 7√2
5
3
9
7
D
4
a
a
B
8
a
F2=8кН YB (7)
YA (1)
√2
∑ Fkx= 0 : –S6 + S9 cos 450 = 0 => S6 = S9 cos 450 = – 7√2∙ 2 = – 7 (кН);
√2
∑ Fky= 0 : – S7 – S9 sin 450 = 0 => S7 = – S9 sin 450 = 7√2∙ 2 = 7 (кН).
Добавим найденные усилия
№ стержня
Усилие, кН
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–7
7
7
– 7√2

14.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
Узел D :
F1=5кН G
y
S5
S7 = 7
450
S4
2
XA (-5) A
D
S8 = 7
x
∑ Fky= 0 : S5 sin
450 +
C
a
F2 = 8
5
3
1
E
6
4
a
B
8
a
F2=8кН YB (7)
F2 – S7
sin
D
a
YA (1)
S7 – F2 = 0 => S5 =
9
7
450
= (8 – 7)√2 = √2 (кН);
√2
∑ Fkx= 0 : – S4 – S5 соs 450 + S8 = 0 => S4 = – S5 соs 450 + S8 = – √2 2 + 7 = 6
(кН)
№ стержня
Усилие, кН
Добавим найденные усилия
1
2
3
4
5
6
7
8
9
6
√2
–7
7
7
– 7√2

15.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
Узел С:
F1=2кН G
y
2
S3
XA (-2) A
С
S1
S4 = 6
C
a
x
5
3
1
E
6
4
9
7
D
a
a
B
8
a
F2=5кН YB (4)
YA (1)
∑ Fkx= 0 : – S1 + S4 = 0 => S1 = S4 = 6 (кН)
;
∑ Fky= 0 :
S3 = 0.
Добавим найденные усилия
№ стержня
1
Усилие, кН
6
2
3
4
5
6
7
8
9
0
6
√2
–7
7
7
– 7√2

16.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
Узел А:
E
6
y
S2
А
2
XA (-5) A
450
S1 = 6
XA =–5
C
a
YA = 1
∑ Fky= 0 : S2 sin
1
x
5
3
D
4
a
YA = 0 => S2 = –
a
B
8
a
F2=8кН YB (7)
YA (1)
450 +
9
7
YA
sin
450
= –√2 (кН).
Проверка
Узел А:
∑ Fkx= XA + S1 + S2 sin 450 = –5 + 6 –√2 √2 = 0
2
Добавим найденные усилия
№ стержня
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Усилие, кН
6
– √2
0
6
√2
–7
7
7
– 7√2

17.

ПРИМЕР РАСЧЕТА
F1=5кН G
Проверка
E
6
Узел А:
2
∑ Fkx= XA + S1 + S2 sin 450 =
= –5 + 6 –√2
Узел G:
F1 = 5
XA (-2) A
√2
=0
2
1
C
a
y
5
3
4
D
a
x
450
S2 = –√2
B
8
F2=8кН YB
∑ Fkx= F1 + S6 – S2 cos450 + S5 cos450 =
G S6 = – 7
S5 = √ 2
√2
√2 = 0
+ √2∙
2
2
∑ Fky= – S2 sin450 – S5 sin450 =
= 5 – 7 + √2∙
S3 = 0
= √2∙
a
a
YA (1)
450
9
7
√2
√2 = 0
– √2∙
2
2
№ стержня
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Усилие, кН
6
– √2
0
6
√2
–7
7
7
– 7√2