Равномерная по параметру сходимость функций

1.

Равномерная по параметру сходимость функций
Пусть f ( x, ) определена на X и x0 X . Если
1) при любом для функции f ( x, ) при x x0 существует конечная
предельная функция lim f ( x, ) ,
x x0
2) 0 0 x X x x0 f x, ,
то говорят, что функция f ( x, ) при x x0 стремится к предельной функции
равномерно относительно в области .
З а м е ч а н и е . Второе условие означает, что lim sup f ( x, ) 0 .
x x0
1

2.

Критерий равномерной сходимости Коши.
Для того чтобы функция f ( x, ) при x x0 имела предельную функцию и
стремилась к ней равномерно относительно в области , необходимо и
достаточно, чтобы
0 0 x X x X
x x f x, f x , .
Теорема 2. Для того чтобы функция f ( x, ) при x x0 стремилась к
равномерно относительно в области , необходимо и достаточно, чтобы
к равномерно сходилась каждая ФП
f ( xn , ) ,
где xn – произвольная
сходящаяся к x0 последовательность.
2

3.

Непрерывность и интегрируемость.
Если f x, x X непрерывна (интегрируема) по на
1 , 2
и при
x x0 равномерно стремится к функции , то и будет непрерывна
(интегрируема).
Обобщение теоремы Дини.
Пусть f x, x X непрерывна по на 1 , 2 и при возрастании x ,
возрастая, сходится к непрерывной функции . Тогда f x, сходится
к равномерно относительно .
3

4.

Перестановка двух предельных переходов.
Пусть f x, определена на X , x0 X , 0 ,
lim f ( x, ) ,
x x0
x X lim f ( x, ) x .
0
Если при
x x0
функция
f x, сходится к равномерно
относительно в области , то существуют двойной и оба повторных
предела
lim f ( x, ) lim lim f ( x, ) lim lim f ( x, ) .
x x0
0
x x0 0
0 x x0
4

5.

Собственные интегралы, зависящие от параметра
Пусть в прямоугольнике П a, b 1 , 2 определена функция
f ( x, ) ,
интегрируемая по x на a, b при любом фиксированном 1 , 2 . Тогда на
1 , 2 определена функция
b
I ( ) f ( x, ) dx ,
a
называемая интегралом, зависящим от параметра .
Общий случай. Если при любом фиксированном
1 , 2 функция f ( x, ) интегрируема по x
на a( ), b( ) , то на 1 , 2 определена функция
I ( )
b ( )
П
D
f ( x, ) dx ,
a( )
называемая интегралом, зависящим от параметра,
у которого пределы интегрирования также зависят
от параметра.
0
a
a( )
x
b( )
b
5

6.

П a, b 1 , 2
Теорема 6. Если f ( x, )
b
П , то функция I ( ) f ( x, )dx :
a
1) непрерывна на сегменте 1 , 2 ;
2) интегрируема на сегменте 1 , 2 и справедливо равенство
b 2
b
I ( )d a f ( x, )dx d a f ( x, )d dx .
1
1
1
2
2
З а м е ч а н и е . Теорема остается справедливой, если f ( x, ) может
быть доопределена до непрерывной на прямоугольнике Ï изменением ее
значений не более чем на конечном множестве прямых x const .
6

7.

П a, b 1 , 2
Следствие 1. Если
1) f ( x, ) определена на a, b ;
2) 1 , 2 f x,
П ,
b
то функция I ( ) f ( x, )dx непрерывна на .
a
Покажем, что I ( ) непрерывна в произвольно взятой точке 0 .
Так как точка 0 – предельная, то для нее может быть выбран сегмент
1 , 2
такой, что 0 1 , 2 и 1 , 2 . Функция f ( x, ) согласно
условию непрерывна на П , а значит, в силу теоремы 6, функция I ( ) непрерывна на 1 , 2 и в том числе в точке 0 .
9

8.

Следствие 2 (предельный переход)
Если f ( x, ) a, b , то 0 int справедливо равенство
b
b
b
lim I ( ) lim f ( x, ) dx lim f ( x, ) dx f ( x, 0 ) dx .(*)
0
0
a
a
0
a
Если 0 , то в выражении (*) все пределы надо заменить на соответствующие односторонние.
З а м е ч а н и е . Применять формулу (*) для граничных точек, не входящих во множество , на котором подынтегральная функция непрерывна, нельзя. Например, для функции
1
2 2
x
I ( ) 2 e x / dx
0
оба предела в выражении (*) существуют, но не равны:
x x2 / 2
1 x2 / 2 x 2
1 x2 / 2
lim I lim 2 e
dx lim e
d 2 lim e
0
0
0 2
0
2
0
0
1
1
x x2 / 2
e
dx 0 .
0 lim
0 2
1
,
x 0
2
x 1
1
10

9.

Теорема 7. Если f ( x, )
П и
f ( x, )
П a, b 1 , 2
П , то функция
b
I ( ) f ( x, )dx
a
непрерывно дифференцируема на 1 , 2
Следствие.
Если 1 , 2 f ( x, )
П и
dI
f ( x, )
dx .
и
d a
b
f ( x, )
П , то функция
b
I ( ) f ( x, )dx
a
непрерывно дифференцируема на отрезке 1 , 2
dI
f ( x, )
dx .
и
d a
b
З а м е ч а н и е . Утверждение теоремы и ее следствия остаются справедливым,
f ( x, )
если f ( x, ) и
могут быть доопределены по непрерывности в прямоуголь
11
нике П .

10.

Теорема 8. Пусть
f ( x, )
Тогда функция I ( )
П ,
b ( )
a( )
1
, 2 , b( )
1
, 2 .
f ( x, )dx непрерывна на сегменте 1 , 2 .
a( )
Следствие 2 (предельный переход). Если
f ( x, )
a, b
a( )
, b( ) ,
то 0 int
lim I ( ) lim
0
0
b ( )
a( )
lim b ( )
f ( x, ) dx
0
lim a ( )
0
lim f ( x, ) dx
0
b ( 0 )
a(
f ( x, 0 ) dx
0)
.
13

11.

Теорема 9. Если
1) f ( x, )
2)
f
П a, b 1 , 2
П ,
П ,
3) a ( ) и b( ) дифференцируемы на 1 , 2 ,
то функция I ( )
b ( )
f ( x, )dx непрерывно дифференцируема на 1 , 2 и
a( )
f x,
I ( )
dx b ( ) f (b( ), ) a ( ) f (a( ), ) .
a ( )
b ( )
15

12.

П р и м е р 1 . Найдем функцию g x ax b , которая минимизирует интеграл
3
I a, b x 2 g x dx .
2
1
Подынтегральная функция имеет непрерывные частные производные при любых a и b , поэтому можно применять формулу Лейбница.
3
I a, b
52a
2 x 2 ax b xdx 40
8b 0 ,
a
3
1
3
I a, b
52
2 x 2 ax b dx 8a 4b 0 .
b
3
1
Отсюда находим
2
2
2
I
52
I
I
11
a 4, b ,
,
,
4
8,
3 a 2 3 b2
a b
а значит,
52 2
4
2
db 4 da 2db db 2 0 .
3
3
11
Таким образом, при a 4 , b функция I a, b принимает минимальное
3
11
18
значение. Следовательно, g x 4 x .
3
d 2 I a, b 4da 2 16dadb

13.

П р и м е р 2 . Применяя дифференцирование по параметру, вычислить интеграл
1 a cos x dx
I a ln
, a 1.
1 a cos x cos x
0
2
(3)
1 a cos x 1
. Так как
1 a cos x cos x
Пусть f x, a ln
1 ay 1
2ay 1
1 a cos x 1
lim
ln
lim
2a ,
lim
f
x
,
a
lim
ln
y
cos
x
y
0
y
0
1
ay
y
1
ay
y
x 0
x 0
1 a cos x cos x
2
2
подынтегральная функция может быть доопределена до непрерывной на произвольном прямоугольнике П 0, / 2 1,1 .
Функция
f
2
непрерывна на произвольном прямоугольнике
2
2
a 1 a cos x
П 0, / 2 1,1 .
Все условия теоремы 2 выполнены, поэтому
/2
dx
dt
I a 2
t
tg
x
2
.
2
2
2
2
2
1
a
cos
x
1
t
a
1 a
0
0
da
Следовательно, I a
arcsin a C .
2
1 a
Согласно (3), I 0
/2
0dx 0 , а значит, I a arcsin a .
0
19

14.

П р и м е р 3. Вычислим интеграл
b
a
1 x x
I a, b sin ln
dx , b a 0 .
x
ln
x
0
1
Преобразуем интеграл следующим образом
b
1 b
1 y
1
I a, b sin ln x dy dx x y sin ln dy dx .
x a
x
0
0 a
1
Так как
1
1
lim x y sin ln lim e y ln x sin ln 0 ,
x 0
x x 0
x
то подынтегральная функция может быть доопределена до непрерывной на прямоугольнике 0,1 a, b .
b
1
Для интеграла x y sin ln dy выполнены все условия теоремы 1, поэтому
x
a
b 1
b y 1
y 1
x
sin
ln
dy
dx
x sin ln dx dy .
0 a
x
x
a 0
1
Вычислим внутренний интеграл:
e t y 1 cos t y 1 e t y 1 sin t
1
1
t y 1
y
t
.
x
sin
ln
dx
x
e
e
sin
tdt
2
2
0
x
y 1 1
y 1 1
0
0
1
b
Следовательно, I
a
dy
y 1
2
1
arctg b 1 arctg a 1 .
20

15.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра
Интегралы от ограниченных функций
Пусть f ( x, ) задана на a, и несобственный интеграл I рода
f ( x, )dx сходится. Тогда на определена функция
a
I ( )
a
f ( x, )dx lim
A
A
f ( x, )dx ,
a
называемая несобственным интегралом I рода, зависящим от параметра .
Интегралы от неограниченных функций
Пусть f ( x, ) задана на a, b и несобственный интеграл II рода
b
f ( x, )dx сходится. Тогда на определена функция
a
b
I ( ) f ( x, )dx lim
a
A b 0
A
f ( x, )dx ,
a
называемая несобственным интегралом II рода, зависящим от параметра .
21

16.

Несобственный интеграл I рода называется равномерно
сходящимся по параметру на , если он сходится на и
выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
1) 0 a
f ( x, )dx ,
2) 0 a sup
f ( x, )dx ,
3) lim sup
f x, dx 0.
22

17.

Несобственный интеграл II рода называется равномерно
сходящимся по параметру на , если он сходится на и
выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
b
1) 0 a b
f ( x, )dx ,
b
2) 0 a b sup
f ( x, )dx ,
b
3) lim sup f x, dx 0.
b 0
23

18.

Сходимость и равномерная сходимость
несобственных интегралов
24

19.

Несобственные интегралы I рода
Пусть f x dx . Тогда
с особенностью в верхнем пределе
a
несобственный интеграл
f x dx сходится, если существует предел
a
0 a
lim , т.е.
f ( x)dx
a
f ( x)dx
f ( x)dx ε .
a
Пусть , f x, dx . Тогда
a
– несобственный интеграл
f x, dx , зависящий от параметра сходится на ,
a
если существует предел lim , , т.е.
0 a , ,
f ( x, )dx ε .
– несобственный интеграл
f x, dx , зависящий от параметра сходится равномерно на ,
a
если существует предел lim sup , , т.е.
0 a , ,
f ( x, )dx ε , или
0 a sup , , sup
f ( x, )dx ε
25

20.

Пусть
Несобственные интегралы II рода
f x dx . Тогда
с особенностью в верхнем пределе
a
b
несобственный интеграл
f x dx сходится, если существует предел lim , т.е.
b 0
a
0 a b b b 0
Пусть ,
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ε .
f x, dx . Тогда
a
b
– несобственный интеграл
f x, dx , зависящий от параметра сходится на ,
a
если существует предел lim , , т.е.
b 0
0 a b b , b 0,
b
f ( x, )dx ε .
b
– несобственный интеграл
f x, dx , зависящий от параметра сходится равномерно на ,
a
если существует предел lim sup , , т.е.
b 0
0 a b b , b 0,
b
f ( x, )dx ε , или
b
0 a b b sup , b 0, sup f ( x, )dx ε .
26

21.

Несобственные интегралы
Пусть
с особенностью в верхнем пределе
f x dx . Тогда
a
«несобств. инт-л
f x dx сходится»
«существует предел lim »
a
Пусть ,
f x, dx . Тогда
a
1) «несобств. инт-л
f x, dx , завис. от пар-ра сходится на »
a
« существует предел lim , »
2) «несобств. инт-л
f x, dx , завис. от пар-ра сходится равномерно на »
a
«существует предел lim sup , ».
27

22.

Признаки равномерной сходимости
несобственных интегралов I рода
28

23.

Критерий Коши. Для того чтобы интеграл I f ( x, )dx равномерно
a
сходился по параметру на множестве , необходимо и достаточно, чтобы
0 a f ( x, )dx ε .
или
0 a sup
f ( x, )dx ε .
Следствия:
1. Связь с функциональными рядами. Равномерная (относительно )
сходимость интеграла I ( ) , эквивалентна равномерной сходимости всех рядов вида
An 1
n 0 An
f ( x, )dx , где An – произвольная, сходящаяся к последовательность.
2. Необходимое условие равномерной сходимости. Для того чтобы интеграл
I ( ) равномерно сходился по параметру на множестве , необходимо, чтобы
lim sup f x, 0 .
x
29

24.

Достаточные признаки равномерной сходимости
Признак Вейерштрасса. Пусть
1) функция f ( x, ) интегрируема по x в несобственном смысле на a, ;
2) x, a, f ( x, ) g ( x) ( f ( x, ) равномерно ограничена на a, )
Тогда, если сходится
g ( x)dx , то
I ( ) f ( x, )dx сходится равномерно по
a
a
параметру на множестве .
Так как f x, g x , то
f ( x, )dx
g ( x)dx сходится
Критерий Коши
f ( x, ) dx
g ( x)dx .
I ( ) сходится равномерно.
a
30

25.

Признак Дирихле
Признак Абеля
Пусть функции f ( x, ) и g ( x, ) интегрируемы в несобственном смысле на a, .
Несобственный интеграл
f x, g x, dx сходится равномерно на , если:
a
1) C
sup sup
f x, dx C ;
a a
1)
f x, dx
сходится равномерно на ;
a
2) g x, монотонна по x ;
3) g x,
0 при x , т.е.
lim sup g x, 0 .
x
3) g x, равномерно ограничена на , т.е.
C
supsup g x, C .
x a
31

26.

Признак Дини
Пусть
1) f ( x, ) непрерывна и неотрицательна на a, ;
2) сходится несобственный интеграл I ( ) f ( x, )dx ;
a
3) функция I ( ) непрерывна на .
Тогда интеграл I ( ) f ( x, )dx сходится равномерно по на .
a
32

27.

Свойства равномерно сходящихся
несобственных интегралов
1. Если интегралы
a
f ( x, )dx и
g ( x, )dx равномерно сходятся на ,
a
то равномерно сходится на и интеграл
f ( x, ) g ( x, ) dx , ,
.
a
2. Если интеграл
f ( x, )dx равномерно сходится на , то он равно-
a
мерно сходится на любом его подмножестве.
3. Если интеграл
f ( x, )dx сходится на и сходится неравномерно
a
A , то он сходится неравномерно и на .
4. Если интеграл
a
f ( x, )dx равномерно сходится на каждом из мно-
жеств 1 , 2 , то он равномерно сходится на множестве 1
2 .
33

28.

П a, 1 , 2
Предельный переход.
Пусть 0 – предельная точка множества 1 , 2 . Тогда, если
П
1) f ( x, )
и A a f x,
g x при 0 ;
a , A
2) I ( ) f ( x, )dx сходится равномерно на 1 , 2 ;
a
то
a
a
lim f ( x, )dx lim f ( x, )dx g ( x)dx .
0
0
a
34

29.

Следствие. Пусть неотрицательная функция f ( x, ) непрерывна по x
в промежутке a, и стремится, возрастая по , к предельной функции
g x , также непрерывной в указанном промежутке. Тогда из существования интеграла
g ( x)dx
(*)
a
вытекает как существование интеграла I ( )
f ( x, )dx 1 , 2 , так и
a
справедливость формулы
lim
0
a
f ( x, )dx
lim f ( x, )dx g ( x)dx .
a
0
a
З а м е ч а н и е . Предположение о существовании интеграла (*) может
быть заменено предположением о существовании конечного предела
lim
0
a
f ( x, )dx .
36

30.

Непрерывность
П , а интеграл I ( ) f ( x, )dx сходится
Если f ( x, )
равномерно на 1 , 2 , то I ( )
, .
1
a
2
П a, 1 , 2
Следствие 1. Если
1) f ( x, ) определена на a, ;
2) 1 , 2 f x,
то функция I ( )
П ,
f ( x, )dx непрерывна на .
a
Следствие 2 (достаточный признак НЕравномерной сходимости)
Пусть – незамкнутое множество и
1) f x, a, ;
2) I
f x, dx
сходится на незамкнутом множестве , но расхо-
a
дится хотя бы в одной граничной точке этого множества.
Тогда интеграл I
f x, dx сходится на неравномерно.
a
38

31.

Дифференцируемость
Пусть
П и
1) f ( x, )
f
П a, 1 , 2
П ;
2) для некоторого из 1 , 2 сходится интеграл I ( ) f ( x, )dx ,
a
3) интеграл
f
a dx сходится равномерно по на 1 , 2 .
Тогда функция I ( ) дифференцируема на 1 , 2 и
f x,
I ( )
dx .
a
Следствие. Если теорема справедлива на любом сегменте 1 , 2 ,
то она остается справедливой и на самом множестве .
40

32.

П a, 1 , 2
Интегрируемость
П , а интеграл I ( ) f ( x, )dx
Если функция f ( x, )
сходится рав-
a
номерно на 1 , 2 , то интеграл I ( ) f ( x, )dx можно интегрировать по
параметру на 1 , 2 , причем
2
2
a
2
I ( )d d f ( x, )dx dx f ( x, )d .
1
1
a
a
(*)
1
Следствие. Если функция f ( x, ) непрерывна и неотрицательна в полу
полосе П и интеграл I ( ) f ( x, )dx является непрерывной функцией на
a
1 , 2 , то справедлива формула (*).
В силу признака Дини получаем формулировку теоремы.
41

33.

Интегрируемость в несобственном смысле
Пусть функция f : a, 1 , удовлетворяет условиям:
1) f
a, 1 , ;
f ( x, )dx сходится равномерно на , ;
2) 2 1
1
2
a
3) b a
f ( x, )d
сходится равномерно на a, b ;
1
4) x a сходится интеграл
f ( x, ) dx ;
a
5) 1 сходится интеграл
f ( x, ) d .
1
Тогда, если сходится хотя бы один из интегралов
a f ( x, ) dx d , a f ( x, ) d dx ,
1
1
то справедливо равенство f ( x, )dx d f ( x, )d dx , в котором все
1 a
a 1
интегралы сходятся.
42

34.

Следствие.
Пусть
1) функция f ( x, ) неотрицательна и непрерывна при x a и 1 ;
2) интеграл I ( ) f ( x, )dx непрерывен при 1 ;
a
3) интеграл K ( x) f ( x, )d непрерывен при x a .
1
Тогда из сходимости одного из следующих двух несобственных интегралов:
I ( )d a f ( x, )dx d и a K ( x )dx a f ( x, )d dx
1
1
1
вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов.
43

35.

1
Бета-функция B p, q x p 1 1 x
Сходимость
q 1
0
При p 1 и q 1 функция x p 1 1 x
1
p 1
x
1 x
q 1
q 1
непрерывна на 0,1
dx – собственный интеграл, зависящий от параметра
0
функция B p, q определена для всех p 1 , q 1 .
При 0 p 1 0 q 1 одна или обе точки x 0 и x 1 являются особыми
точками подынтегральной функции.
B p, q
1/ 2
x
p 1
1 x
q 1
1
dx
0
x p 1 1 x
q 1
dx I1 p, q I 2 p, q .
1/ 2
Интеграл I1 p, q имеет особенность в нижнем пределе, а интеграл I 2 p, q в верхнем.
1) Функция 1 x
q 1
1
0,
2
1/2
При 0 p 1
x
p 1
1 x
q 1
1
ограничена на 0,
2
1/2
I1 p, q C1 x p 1dx .
0
dx сходится I1 p, q сходится.
0
2) Функция x
p 1
1
,1 x p 1 ограничена на
2
1
При 0 q 1
1 x
1/2
q 1
1
2 ,1
1
I 2 p, q C2 1 x
dx сходится I 2 p, q сходится.
q 1
dx .
1/2
44
dx

36.

1
Бета-функция B p, q x p 1 1 x
q 1
dx
0
Симметричность
1
B p, q x
p 1
1 x
q 1
dx t 1 x
0
0
1 t
1
p 1 q 1
t
1
dt 1 t
dt B q, p .
p 1 q 1
t
0
45

37.

1
Бета-функция B p, q x p 1 1 x
q 1
dx
0
Непрерывность
Для доказательства непрерывности B p, q в квадранте p 0, q 0 достаточно
1
доказать равномерную сходимость интеграла
p 1
x 1 x
q 1
dx относительно парамет-
0
ров p и q при p p0 0 и q q0 0 для любых фиксированных значений p0 и q0 .
1) x 0,1 x p 1 1 x
1
2)
x 1 x
p0 1
q0 1
q 1
x p0 1 1 x
q0 1
,
dx B p0 , q0 сходится,
Вейерштрасс
0
1
B p, q x p 1 1 x
q 1
dx сходится равномерно относительно параметров
0
p и q при p p0 0 и q q0 0 для любых фиксированных значений p0 и q0 .
46

38.

1
Бета-функция B p, q x p 1 1 x
q 1
dx
0
Формулы приведения
Считая, что p 0, q 0 , интегрируем по частям функцию B p, q 1
1
1
xp
q p
q
q
q 1
p 1
B p, q 1 x 1 x dx 1 x x 1 x dx
p
0 p 0
0
1
1
q
q
q
q 1
q
x p 1 1 x x p 1 1 x dx B p, q B p, q 1 .
p0
p
p
Следовательно, B p, q 1
q
B p, q .
p q
Учитывая симметрию функции B p, q , получаем вторую формулу приведения
B p 1, q
p
B p, q .
p q
47

39.

Гамма-функция Г p
Сходимость
x p 1
e
x dx
0
1
0
1
Г p e x x p 1dx
x p 1
e
x dx I1 p I 2 p .
1) p 0 интеграл I1 p сходится так как:
а) x 0,1 e x x p 1 x p 1 ,
1
б) интеграл
x
p 1
dx сходится.
0
2) r lim e x xr 0
x
r x0 x x0
e x
1
xr
x p 1
p x0 x x0 e x
Учитывая сходимость интеграла
1
1
x
p 1
1
x1 p
1
x2
dx
, получаем сходимость интеграла I 2 p .
2
x
48

40.

Гамма-функция Г p
Непрерывность
x p 1
e
x dx
0
Для доказательства непрерывности Г p на полупрямой p 0 , достаточно
доказать равномерную сходимость интеграла
e
x
x p 1dx относительно параметра p
0
при 0 p0 p p1 для любых фиксированных значений p0 и p1 , удовлетворяющих
условию 0 p0 p1 .
1) x 0,1 x p x p0 x p0 x p1
x 1 x x x x
p1
p
p1
p0
Вейерштрасс
e x p e x p0
x x p1 e x x p0 1 x p1 1 .
x
x 0
x
x
2)
p0 1
p1 1
x
dx Г p0 Г p1 сходится.
e
x
x
0
Г p e x x p 1dx сходится равномерно относительно параметра
0
p . 49

41.

Гамма-функция Г p
x p 1
e
x dx
0
Формула приведения
Считая, что p 0 , интегрируем по частям для функцию Г p 1
Г p 1
x p
e
x dx
0
e x x p
0
p e x x p 1dx pГ p
0
50