Функциональные последовательности и ряды. Сходимость функциональных последовательностей и рядов

1.

Функциональные последовательности и ряды
Функциональная последовательность (ФП) – последовательность f n x , элемен-
тами которой являются функции f1 x , f 2 x ,..., f n x ,... , определенные в некоторой
области A , называемой областью определения этой последовательности.
Функциональным рядом (ФР) – формально записанная сумма
u x u x u x ... u x ... ,
k 1
k
1
2
k
в которой все функции u1 x , u2 x ,..., uk x ,... определены на некотором множестве A ,
называемом областью определения этого ряда.
n
Sn x uk x – n-ая частичая сумма,
k 1
k 1
k n 1
rn un k x uk x – n-й остаток ряда.
Каждому ФР соответствует ФП его частичных сумм S n x . И наоборот, каждой
ФП S n x соответствует ФР с членами u1 x S1 x , uk x Sk x Sk 1 x , k 2 ,
для которого эта последовательность является последовательностью частичных сумм.
Теоремы, доказанные для ФР, можно переформулировать в соответ1
ствующие теоремы для ФП, и наоборот.

2.

Сходимость
функциональных
последовательностей и рядов
2

3.

Сходимость в точке
Пусть ФП f n x (ФР uk x ) определена на множестве A и x0 A .
k 1
k 1
k 1
Если ЧП f n x0 (ЧР uk x0 ) сходится, то ФП f n x (ФР uk x ) сходится в точке x0 .
Сходимость на множестве
y
f
fn
f
f x0
1 Поточечная сходимость
Множеством поточечной сходимости (множеством сходимости ФП (ФР) – множество всех точек x0 , в которых сходится данная ФП (ФР).
Обозначения: f x lim f n x или f n x f x , n .
n
f x0
f
f x0
A
S
x
u
x
k
.
k 1
0
x0
x
2 Равномерная сходимость
fn x
f x , n
0 n0 n0 n n0 x A
0 0 k n k x A
fn x f x .
A
fn x
f x , n
f n x f x 0 ,
A
Если f n x f x , n , но f n x
f x , n , то ФП f n x сходится к f x на
A
множестве A неравномерно.
A
3

4.

Для практического исследования равномерной сходимости обычно
используют следующую теорему
Теорема 3.1. f n x
f x ,n
A
lim sup f n x f x 0.
n x A
П р и м е р 3 . 3 . Исследуем на сходимость и равномерную сходимость ФП
f n x sin ne nx на множестве E 1, .
x E
lim f n x limsin ne nx sin lim ne nx 0 f x ,
n
n
n
Покажем теперь, что f n x
f x :
E
n
sup f n x f x sup sin nx
e
x 1,
x 1,
n
n
sin nx убывает по x на множестве E sin n 0 .
e n
e
4

5.

ФР – равномерно сходится на множестве A к своей сумме S x , если
ФП S n x его частичных сумм сходится равномерно на множестве A к предельной функции S x .
Лемма 4.1. ФР равномерно сходится на множестве A к своей сумме S x
тогда и только тогда, когда остаток ряда равномерно на A сходится к нулю, т.е.
sup Sn x S x sup rn x 0 , n .
x A
x A
З а м е ч а н и е . Равномерная сходимость ФП (ФР) на множестве A – глобальное свойство, характеризующее поведение ФП (ФР) на множестве «в целом».
Недопустимые формулировки:
«ФП (ФР) равномерно сходится в точках множества A »,
«ФП (ФР) сходится неравномерно в точках множества A »
Определение равномерной сходимости имеет смысл и для множества
A x0 (что эквивалентно сходимости ФП (ФР) в точке x0 ), в этом случае
говорят:
«ФП (ФР) сходится равномерно на множестве A x0 ».
6

6.

Сходимость в среднем
ФП { f n x } сходится в среднем со степенью p на a, b к функции
f x , если
b
0 N N ( ) n N f n ( x) f x dx , p 1
p
(*)
a
b
или, что тоже самое, lim f n ( x) f x dx 0 .
n
p
a
ФР f n x , сходится в среднем на a, b к своей сумме S x ,
n 1
если сходится в среднем на a, b к S x последовательность его
частичных сумм.
З а м е ч а н и е . При p 2 сходимость в среднем обычно называют
средне квадратичной сходимостью.
7

7.

Сходимость ФП на множестве
ФП { f n x } сходится на a, b к функции f x :
– поточечно f n x f x , если x a, b lim f n ( x) f x 0
n
a ,b
или x a, b 0 n0 n n0 fn ( x) f x ;
m sup f n ( x) f x 0 ,
– равномерно f n x
f x , если lni
x a ,b
a ,b
или 0 n0 n n0 sup f n ( x) f x ,
x a ,b
или 0 n0 n n0 x a, b fn ( x) f x ;
b
– в среднем со степенью p, если lim
n
b
f ( x) f x dx 0
p
n
a
или 0 n0 n n0 f n ( x) f x dx .
a
p
8

8.

Связь между различными видами сходимости
Если f n x
f x , то
a ,b
1) f n x f x ;
a ,b
2) f n x сходится в среднем на a, b к функции f x .
З а м е ч а н и е . Обратные утверждения, в общем случае, не верны.
n
n
lim
sup
x
0
lim
lim
x
1.
0
1) x 0 , но x
,
так
как
n
n
x
1
0,1
x 0,1
n
n
0,1
n
f
x
x
2) x n 0 x n
,
но
ФП
сходится на 0,1 к f x 0
0
n
0,1
0,1
в среднем, так как:
1
1
x
1
lim
0 .
n np 1
n np 1
0
lim f n ( x) f x dx lim x np dx lim
n
0
p
n
0
np 1 1
9

9.

Признаки равномерной сходимости
1. Критерий Коши равномерной сходимости
Теорема 3.2. f n x
f x , n
A
или
0 n0 n0 n, m n0 x A
0 n0 n0 n n0 p
fn x fm x
x A
f n p x f n x .
Теорема 4.1. «ФР uk x сходится равномерно на множестве A»
*
k 1
0 n0 n0 n n0 p
x A
n p
u x .
k n 1
k
Следствие. ФР uk x сходится равномерно на множестве A, то
k 1
ФР uk x сходится на множестве A равномерно и абсолютно.
k 1
11

10.

Теорема 4.2. Пусть члены ряда uk x непрерывны на замкнутом
k 1
множестве A и ряд сходитcя равномерно на int A . Тогда этот ряд сходится
равномерно и на A .
fn x
f x ,n
int A
0 n0 n0 n, m n0 x int A
fn x fm x
0 n0 n0 n, m n0 sup f n x f m x .
A
Следствие (достаточное условие неравномерной сходимости). Пусть
члены ряда uk x непрерывны на замкнутом множестве A , ряд сходитk 1
ся на int A и расходится в некоторой граничной точке множества A . Тогда
ряд сходится неравномерно на множестве A .
14

11.

2. Необходимое условие равномерной сходимости ФР
Теорема 4.3. Если ФР uk x сходится равномерно на множестве A , то
k 1
un x
0, n .
A
З а м е ч а н и е . Условие un x
0 , n , не является достаточным даже для
A
того, чтобы множество A входило во множество сходимости ряда uk x .
k 1
1
на множестве A 0,1 . В точке x 0 ряд рас2 2
k 1 k x k
Рассмотрим ряд
ходится, хотя un x
0 , n так как
A
1
1
lim
2 2
k k
x 0,1 k x k
lim
sup uk x 0 lim
sup
k
k
x 0,1
16

12.

Теорема 4.3. Если ФР uk x сходится равномерно на множестве A , то
k 1
un x
0, n .
A
n
k 1
k 1
Пусть S x uk x , Sn x uk x .
В силу равномерной сходимости ряда uk x
k 1
0 n n n x A S n x S x
,
2
Следовательно, 0 n n n x A
un 1 x Sn 1 x Sn x Sn 1 x S x S x S n x
.
2 2
17

13.

3. Достаточные признаки равномерной сходимости
Признак Вейерштрасса. Если ФР uk x определен на множестве A и сущеk 1
ствует сходящийся ЧР ck , такой, что
k 1
k x A uk x ck ,
(*)
то ФР uk x сходится равномерно и абсолютно на множестве A .
k 1
Следствие 1. Если к ряду uk x применим признак Вейерштрасса, то ряд
k 1
u x также будет равномерно сходящимся.
k 1
k
Следствие 2. Если ФР uk x сходится абсолютно в точках a и b , а функции
k 1
uk x монотонны на a, b , то ФР сходится абсолютно и равномерно на a, b .
З а м е ч а н и е . При анализе сходимости ФР uk x на множестве A с помоk 1
щью признака Вейерштрасса оптимальным – с наиболее точной оценкой – мажори
рующим рядом является ряд sup uk x . Однако часто бывает достаточно более
k 1 x A
грубой, но легче получаемой оценки для uk x .
18

14.

ФП f n x – ограниченна на множестве A, если
x A C
n f n x C .
ФП f n x – равномерно ограниченна на множестве A, если
C
n x A f n x C .
П р и м е р . ФП f n x 2 x cos nx ограничена на
функцией
g x 2 x , так как
C 2 x 1 n f n x 2 x cos nx 2 x C .
x
При этом f n x 2 x cos nx не является равномерно ограниченной на
, так как C
n C 1 x n A
f n x 2 C 1 cos n C 1 2 C 1 C .
20

15.

Признак Дирихле
Признак Абеля
Ряд vk x uk x сходится равномерно на множестве A , если:
k 1
1) ФП частичных сумм Vn x ,
n
1) ФР vk x сходится равномерно на A .
Vn x vk x
k 1
k 1
равномерно ограничена на A .
2) x A числовая последовательность uk x
монотонна относительно k ;
3) ФП uk x
0, n .
A
3) ФП uk x равномерно ограничена на A .
Замечания:
1 . Признаки Дирихле и Абеля, в отличие от признака Вейерштрасса, применимы и к условно сходящимся рядам.
2 . В признаках Дирихле и Абеля направление монотонности при разных x
21
может быть различным.

16.

Признак Дирихле
Признак Абеля
Ряд vk x uk x сходится равномерно по параметру на множестве A , если:
k 1
1) ФП частичных сумм Vn x ,
n
Vn x vk x
1) ФР vk x сходится равномерно
равномерно по параметру
ограничена на A .
по параметру на A .
k 1
k 1
2) x A числовая последовательность uk x
монотонна относительно переменной суммирования k ;
3) ФП uk x
0, n .
A
3) ФП uk x равномерно по параметру
ограничена на A .
Замечания:
1 . Признаки Дирихле и Абеля, в отличие от признака Вейерштрасса, применимы и к условно сходящимся рядам.
x
2 . В признаках Дирихле и Абеля направление монотонности при разных
22
может быть различным.

17.

Важные примеры
u x
k 1
1 ,
k
k x x 1,
k 1
1
k 1
сходится условно и
равномерно
сходится абсолютно и
равномерно, но ряд
k
k x k , x 0,1
2
sup u x расходится
2
k 1
1
k
y
x
1
k 1
1
k
k
x
сходится абсолютно и
равномерно, но не существует числового сходящегося ряда, мажориру-
uk x
0
k
1
u x
k 1
k
расходится
сходится
неравномерно
сходится
равномерно
Пример
4.6.
Примеры
4.2 и 4.8.
Пример
4.5.
ющего ряд uk x
k 1
23

18.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1. Если f n x
f x и gn x
g x , то
A
A
,
f n x gn x
f x g x ;
A
2. Если f n x
f x , то f n x
f x .
A
A
3. Если f n x
f x , то B A f n x
f x .
A
B
Следствие. Если ФП f n x , определена на множестве Q и для некоторого
A Q fn x
f x , то B A B Q f n x f x .
A
B
4. Если f n x
f x , то f n x
f x и fn x
f x . Для бесконечного
A
B
A B
объединения это утверждение неверно.
5. Числовую последовательность можно рассматривать как ФП, каждый
элемент которой есть константа на данном множестве. Сходимость такой ФП
на любом множестве равномерна.
27

19.

6. Если f n x
f x и функция g ( x ) ограничена на A , то
A
fn x g x
f x g x .
A
7. Если f n x
f x и все члены ФП являются многочленами степени
A
не выше k , то и предельная функция этой ФП также многочлен степени
не выше k .
8. Если f n x
f x и все члены ФП являются ограниченными на A
A
функциями, то и предельная функция будет ограничена на A .
9. Если f n x
f x и функция f x ограничена на A , то при некотоA
ром n0
ФП gn x f n0 n x равномерно ограничена на A .
28

20.

Предельный переход
Теорема 3.4. Пусть a – произвольная предельная точка множества A .
Если f n x
f x и все элементы ФП f n x имеют в точке a конечное
A
предельное значение, то и предельная функция f x имеет в точке a
предельное значение, причем
lim f x lim lim f n x lim lim f n x ,
x a
x a
n
n
x a
т.е. символ lim предела последовательности и символ lim предельного
n
x a
значения функции можно переставлять местами (или, как говорят,
к пределу при x a можно переходить поэлементно).
29

21.

Непрерывность предельной функции
Теорема 3.5. Если f n x
f x и n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
З а м е ч а н и е 1 . В теореме вместо сегмента a, b можно взять интервал,
полуинтервал, луч или всю вещественную прямую.
Пусть A произвольный промежуток и f n x
f x . Покажем, что из
A
непрерывности элементов ФП следует непрерывность предельной функции.
Пусть x0 – произвольная точка множества A . Тогда существует отрезок a, b
такой, что x0 a, b и a, b A . Для этого отрезка все условия теоремы выполнены, следовательно, f x непрерывна на a, b , и в частности в точке
x0 .
В силу произольности выбора точки x0 , получаем непрерывность
f x
на всем множестве A .
30

22.

Непрерывность предельной функции
Теорема 3.5. Если f n x
f x и n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
З а м е ч а н и е 1 . В теореме вместо сегмента a, b можно взять интервал,
полуинтервал, луч или всю вещественную прямую.
Пусть A произвольный промежуток и f n x
f x . Покажем, что из
A
непрерывности элементов ФП следует непрерывность предельной функции.
Пусть x0 – произвольная точка множества A . Тогда существует отрезок a, b
такой, что x0 a, b и a, b A . Для этого отрезка все условия теоремы выполнены, следовательно, f x непрерывна на a, b , и в частности в точке
x0 .
В силу произольности выбора точки x0 , получаем непрерывность
f x
на всем множестве A .
31

23.

Теорема 3.5.
Если f n x
f x и n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
----------------------------------------------------------------------------З а м е ч а н и е 2 . Для равномерно сходящейся ФП непрерывность ее
членов является достаточным условием непрерывности предельной функции, но не является необходимым. Например, все члены ФП
1, x ,
1
fn x g x , g x
n
0, x \
1
разрывны, но limsup f n x lim 0 , а значит, f n x
0 .
n x
n n
32

24.

Теорема 3.5.
Если f n x
f x и n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
----------------------------------------------------------------------------З а м е ч а н и е 3 . Теорема 3.5 может быть использована для доказательства
неравномерности сходимости. Если рассматривается сходящаяся ФП, члены
которой непрерывны на A, но предельная функция является разрывной, то ФП
сходится неравномерно на A.
П р и м е р 3 . 5 . На 0,1 последовательность непрерывных функций f n x x n
сходится к разрывной функции
0, x 1,
f x
1, x 1,
Следовательно сходимость неравномерная.
33

25.

Теорема 3.5. Если f n x
f x и n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
----------------------------------------------------------------------------З а м е ч а н и е 4 . Требование равномерной сходимости в тексте теоремы
не может быть опущено, доказательством этого может служить предыдущий пример. Однако равномерная сходимость фигурирует в теореме лишь
как достаточное условие непрерывности предельной функции.
nx
Например, ФП f n x
1 n2 x4
состоит из непрерывных функций,
сходится поточечно к непрерывной функции f x 0 , но
nx
0,
2 4
1 n x
так как
1
n
n 1 3n x
2
nx
nx
3
n
lim
lim sup
0 .
2
2
4
2
4
n x 0,1 1 n x
2
4
n
1
1 n x x 1 n x
2
1
n
2
3n
2
4
4
34

26.

Почленное интегрирование
Теорема 3.7. Если f n x
f x и n f n x R a, b , то f x R a, b и
a ,b
x
x
x
x0 a, b lim f n t dt lim f n t dt f t dt .
n
x0
x0
n
(*)
x0
З а м е ч а н и е 1 . В теореме 3.7 существенно условие равномерной сходимости.
nx
0 (см. пример 3.5), но при этом
2 4
1 n x 0,1
1 1
nt
1
lim f n t dt lim
dt
lim
arctg
nt
lim
arctg
n
.
0
n
n 1 n 2 t 4
n 2
n
2
4
0
0
1
1
З а м е ч а н и е 2 . Теорема дает лишь достаточное условие возмножности
почленного интегрирования последовательности.
n 0, x 0,1 ;
x
1, x 1.
0,1
При этом справедливость равенства (*) легко доказать непосредственным
интегрированием.
35

27.

Почленное дифференцирование
Теорема 3.9. Если ФП f n x дифференцируемых на a, b функций
сходится хотя бы в одной точке x0 a, b , а ФП f n x сходится равномерно на a, b , то сама ФП f n x сходится равномерно на a, b
к некоторой дифференцируемой функции f x и
x a, b f x lim f n x .
n
З а м е ч а н и е . В теореме под существованием производных подразумевается существование производной на
a, b , правой производной
в точке a справа и левой производной в точке b слева.
36

28.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
u x u x и v x v x сходятся равномерно на A , то
1. Если ФР
k 1
,
k
k 1
k
ФР uk x vk x сходится равномерно на A к u x v x ;
k 1
k 1
k 1
2. Если ФР uk x сходится равномерно на A , то и ряд uk x сходится равномерно на A .
3. Если ФР сходится равномерно на множестве A , то сходимость будет равномерной на любом его подмножестве.
4. Если ФР сходится равномерно на каждом из множеств A1 и A2 , то на множестве
A A1 A2 этот ФР сходится равномерно. Для бесконечного объединения это утверждение неверно.
5. Числовой ряд можно рассматривать как ФР, каждый элемент которого есть константа на данном множестве. Сходимость такого ФР на любом множестве равномерна.
6. Если ФР uk x на A сходится равномерно к функции u x , а функция v x
k 1
равномерно ограничена на A , то ряд uk x v x сходится равномерно на A
к функции u x v x .
k 1
37

29.

ФП
ФР
1. Если ФР
1. Если
fn x
f x и gn x
g x ,
A
A
то ,
f n x gn x
f x g x
A
u x u x и v x v x
k 1
k
k
k 1
сходятся равномерно на A , то
,
ФР
u x v x схоk 1
k
k
дится равномерно на A к u x v x
2. Если f n x
f x , то
A
fn x
f x .
2. Если ФР uk x сходится равноk 1
мерно на A , то и ряд uk x сходится
k 1
A
равномерно на A .
38

30.

ФП
ФР
3. Если f n x
f x , то B A
fn x
f x .
A
3. Если ФР сходится равномерно на A ,
то сходимость будет равномерной B A .
B
4. Если
fn x
f x ,
f x и fn x
B
A
то f n x
f x
4. Если ФР сходится равномерно на каждом из множеств A1 и A2 , то на множестве
A A1 A2 этот ФР сходится равномерно.
A B
Для бесконечного объединения это утверждение неверно
5. Числовую последовательность
5. Числовой ряд можно рассматривать
можно рассматривать как ФП, каж- как ФР, каждый элемент которого есть кондый элемент которой есть константа станта на данном множестве. Сходимость
на данном множестве. Сходимость такого ФР на любом множестве равномерна
такой ФП на любом множестве равномерна
39