Функциональные последовательности

1.

Функциональные последовательности
f x
n
Функциональная последовательность (ФП) – последовательность
f x ,
n
элементами которой являются функции f1 x , f 2 x ,..., f n x ,... , определенные в
некоторой области A , называемой областью определения этой последовательности.
Функциональным рядом (ФР) – формально записанная сумма
u x u x u x ... u x ... ,
k 1
k
1
2
k
(0.1)
в которой все функции u1 x , u2 x ,..., uk x ,... определены на некотором множестве A ,
называемом областью определения этого ряда.
n
k 1
k 1
k n 1
Sn x uk x – n-ая частичая сумма, rn un k x uk x – n-й остаток ряд.
Каждому ФР соответствует ФП его частичных сумм S n x . И наоборот, каждой
ФП S n x соответствует ФР с членами u1 x S1 x , uk x Sk x Sk 1 x , k 2 ,
для которого эта последовательность является последовательностью частичных сумм.
Теоремы, доказанные для ФР, можно переформулировать в
1
соответствующие теоремы для ФП, и наоборот.

2.

Сходимость
функциональных
последовательностей и рядов
2

3.

Сходимость в точке
Пусть ФП f n x (ФР uk x ) определена на множестве A и x0 A .
k 1
k 1
k 1
Если ЧП f n x0 (ЧР uk x0 ) сходится, то ФП f n x (ФР uk x ) сходится в точке x0 .
Сходимость на множестве
y
f
fn
f
f x0
1 Поточечная сходимость
Множеством поточечной сходимости (множеством сходимости ФП (ФР) – множество всех точек x0 , в которых сходится данная ФП (ФР).
Обозначения: f x lim f n x или f n x f x , n .
n
f x0
f
f x0
A
S
x
u
x
k
.
k 1
0
x0
x
2 Равномерная сходимость
fn x
f x , n
0 n0 n0 n n0 x A
0 0 k n k x A
fn x f x .
A
fn x
f x , n
f n x f x 0 ,
A
Если f n x f x , n , но f n x
f x , n , то ФП f n x сходится к f x на
A
множестве A неравномерно.
A
3

4.

Теорема. f n x
f x , n
A
lim sup f n x f x 0.
n x A
Лемма 3.1. Если f n x
f x , то f n x f x .
A
A
З а м е ч а н и е . Обратное утверждение не верно, например, x n 0 ,
0,1
n
n
n
lim
sup
x
0
lim
lim
x
1
x
0.
но
,
а
значит,
n x 0,1
n x 1
0,1
Лемма 3.2.
1) если f n x
f x , то B A f n x
f x ;
A
B
2) если ФП f n x определена на множестве Q и для некоторого
множества A Q f n x
f x , то B A B Q f n x f x .4
A
B

5.

ФР – равномерно сходится на множестве A к своей сумме S x , если
ФП S n x его частичных сумм сходится равномерно на множестве A к предельной функции S x .
Лемма 3.3. ФР равномерно сходится на множестве A к своей сумме S x
тогда и только тогда, когда остаток ряда равномерно на A сходится к нулю, т.е
sup Sn x S x sup rn x 0 , n .
x A
x A
З а м е ч а н и е . Равномерная сходимость ФП (ФР) на множестве A – глобальное свойство, характеризующее поведение последовательности (ряда) на множестве «в целом».
Недопустимые формулировки:
«Последовательность (ряд) равномерно сходится в точках множества A »,
«Последовательность (ряд) сходится неравномерно в точках множества A »
Определение равномерной сходимости имеет смысл и для множества
A x0 (что эквивалентно сходимости последовательности (ряда) в точке x0 ):
«Последовательность (ряд) сходится равномерно на множестве A x0 ».
6

6.

Сходимость в среднем
ФП { f n x } сходится в среднем на a, b к функции f x , если
b
0 N N ( ) n N f n ( x) f x dx ,
2
a
b
или, что тоже самое, lim f n ( x) f x dx 0 .
n
2
a
ФР f n x , сходится в среднем на a, b к своей сумме S x ,
n 1
если сходится в среднем на a, b к S x последовательность его
частичных сумм.
З а м е ч а н и е . Сходимость в среднем также называют средне квадратичной сходимостью.
7

7.

Сходимость ФП на множестве
ФП { f n x } сходится на a, b к функции f x :
– поточечно, если x a, b lim f n ( x) f x 0
n
или x a, b 0 n0 n n0 fn ( x) f x ;
– равномерно, если lim sup f n ( x) f x 0 ,
n x a ,b
или 0 n0 n n0 sup f n ( x) f x ,
x a ,b
или 0 n0 n n0 x a, b fn ( x) f x ;
b
– в среднем, если lim
n
f ( x) f x dx 0
2
n
a
b
или 0 n0 n n0 f n ( x) f x dx .
a
2
8

8.

Теорема. Если ФП f n x сходится на a, b к f x равномерно, то она
сходится к этой же функции в среднем. Обратное, в общем случае, неверно.
Пусть f n x
f x , n , тогда lim sup f n ( x) f x 0 .
n x a ,b
a ,b
b
b
lim f n ( x ) f x dx lim sup f n ( x ) f x dx
n
2
n
a
a
2
x a ,b
b
2
lim sup f n ( x ) f x dx 0.
n x a ,b
a
Для опровержения обратного утверждения достаточно рассмотреть
ФП f n x x n на 0,1 . Ранее было показано, что она не является равномерно
сходящейся на 0,1 . Но она сходится в среднем на 0,1 к f x 0 :
1
x 2 n 1
1
2n
lim f n ( x) f x dx lim x dx lim
lim
0 .
n
n
n 2n 1
n 2 n 1
0
0
0
1
2
1
З а м е ч а н и е . В качестве предельной функции для ФП f n x x n можно
взять любую функцию, отличную от f x 0 в конечном количестве точек.
9

9.

Признаки равномерной сходимости
1. Критерий Коши равномерной сходимости
Теорема. f n x
f x , n
A
или
0 n0 n0 n, m n0 x A
0 n0 n0 n n0 p
fn x fm x
x A
f n p x f n x .
Теорема. «ФР uk x сходится равномерно на множестве A»
k 1
0 n0 n0 n n0 p
x A
n p
u x .
k n 1
k
Следствие. ФР uk x сходится равномерно на множестве A, то
k 1
ФР uk x сходится на множестве A равномерно и абсолютно.
k 1
10

10.

Теорема. Пусть члены ряда uk x непрерывны на замкнутом
k 1
множестве A и ряд сходитcя равномерно на int A . Тогда этот ряд сходится
равномерно и на A .
fn x
f x ,n
int A
0 n0 n0 n, m n0 x int A
fn x fm x
0 n0 n0 n, m n0 sup f n x f m x .
A
Следствие (достаточный признак неравномерной сходимости).
Пусть члены ряда uk x непрерывны на замкнутом множестве A , ряд
k 1
сходится на int A и расходится в некоторой граничной точке множества A .
Тогда ряд сходится неравномерно на множестве int A .
13

11.

2. Необходимое условие равномерной сходимости ФР
Теорема. Если ФР uk x сходится равномерно на множестве A , то
k 1
un x
0, n .
A
n
k 1
k 1
Пусть S x uk x , Sn x uk x .
В силу равномерной сходимости ряда uk x
k 1
0 n n n x A S n x S x
Следовательно, 0 n n n x A
,
2
un 1 x Sn 1 x Sn x Sn 1 x S x S x S n x
.
2 2
З а м е ч а н и е . Условие un x
0 , n , не является достаточным даже для
A
того, чтобы множество A входило во множество сходимости ряда uk x . 15
k 1

12.

3. Достаточные признаки равномерной сходимости
Признак Вейерштрасса. Если ФР uk x определен на множестве A и
k 1
существует сходящийся ЧР ck , такой, что
k 1
k x A uk x ck ,
(*)
то ФР uk x сходится равномерно и абсолютно на множестве A .
k 1
Согласно критерию Коши для сходящегося числового ряда
0 n0 n0 n n0 p
n p
c ,
k n 1
k
а значит, в силу (*) выполняется критерий Коши для ФР uk x :
k 1
0 n0 n0 n n0 p
n p
n p
n p
x A
n p
u x u x c c .
k n 1
k
k n 1
k
k n 1
k
k n 1
k
ФР uk x сходится равномерно и абсолютно.
k 1
17

13.

ФП f n x – ограниченна на множестве A, если
x A C
n f n x C .
ФП f n x – равномерно ограниченна на множестве A, если
C
x A n f n x C .
Признак Дирихле
Признак Абеля
Ряд vk x uk x сходится равномерно на множестве A , если:
k 1
1) ФП частичных сумм Vn x ,
n
1) ФР vk x сходится равномерно на A .
Vn x vk x
k 1
k 1
равномерно ограничена на A .
2) x A числовая последовательность uk x
монотонна относительно k ;
3) ФП uk x
0, n .
A
3) ФП uk x равномерно ограничена на A .
18

14.

Замечания:
k 1
k 1
1 . Если к ряду uk x применим признак Вейерштрасса, то и ряд uk x
также будет равномерно сходящимся в силу признака Вейерштрасса, а значит, признак Вейерштрасса применим лишь к абсолютно сходящимся рядам.
Признаки Дирихле и Абеля, в отличие от признака Вейерштрасса, применимы и
к условно сходящимся рядам.
2 . При анализе сходимости функционального ряда uk x на множестве A
k 1
с помощью признака Вейерштрасса оптимальным – с наиболее точной оценкой –
мажорирующим рядом является ряд sup uk x . Однако часто бывает достаточно
k 1 x A
более грубой, но легче получаемой оценки для uk x .
3 . В признаках Дирихле и Абеля направление монотонности при разных x может
быть различным.
4 . Признаки Вейерштасса, Дирихле и Абеля являются достаточными признаками
равномерной сходимости, но не являются необходимыми даже для обычной сходимости.
19

15.

Важные примеры
u x
k 1
1 ,
k
k x x 0,
k 1
1
k 1
сходится условно и
равномерно
сходится абсолютно и
равномерно, но ряд
k
k x k , x 0,1
2
sup u x расходится
2
k 1
1
k
y
uk x
x
0
1
k 1
1
k
1
k
k
x
сходится абсолютно и
равномерно, но не существует числового сходящегося ряда, мажориру
u x
k 1
k
расходится
сходится
неравномерно
сходится
равномерно
Пример
3.8.
Примеры
3.3 и 3.10.
Пример
3.7.
ющего ряд uk x
k 1
20

16.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
1. Если f n x
f x и gn x
g x , то
A
A
,
f n x gn x
f x g x ;
A
2. Если f n x
f x , то f n x
f x .
A
A
3. Если f n x
f x , то B A f n x
f x .
A
B
Следствие. Если ФП f n x , определена на множестве Q и для некоторого
A Q fn x
f x , то B A B Q f n x f x .
A
B
4. Если f n x
f x , то f n x
f x и fn x
f x . Для бесконечного
A
B
A B
объединения это утверждение неверно.
5. Числовую последовательность можно рассматривать как ФП, каждый
элемент которой есть константа на данном множестве. Сходимость такой ФП
на любом множестве равномерна.
24

17.

6. Если f n x
f x и функция g ( x ) ограничена на A , то
A
fn x g x
f x g x .
A
7. Если f n x
f x и все члены ФП являются многочленами степени
A
не выше k , то и предельная функция этой ФП также многочлен степени
не выше k .
8. Если f n x
f x и все члены ФП являются ограниченными на A
A
функциями, то и предельная функция будет ограничена на A .
9. Если f n x
f x и функция f x ограничена на A , то при некотоA
ром n0
ФП gn x f n0 n x равномерно ограничена на A .
25

18.

Предельный переход
Теорема 3.4. Пусть a – произвольная предельная точка множества A .
Если f n x
f x и все элементы ФП f n x имеют в точке a конечное
A
предельное значение, то и предельная функция f x имеет в точке a
предельное значение, причем
lim f x lim lim f n x lim lim f n x ,
x a
x a
n
n
x a
т.е. символ lim предела последовательности и символ lim предельного
n
x a
значения функции можно переставлять местами (или, как говорят,
к пределу при x a можно переходить поэлементно).
26

19.

Непрерывность предельной функции
Теорема 3.5. Если f n x
f x n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
З а м е ч а н и е 1 . В теореме вместо сегмента a, b можно взять интервал,
полуинтегрвал, луч или всю вещественную прямую.
Пусть A произвольный промежуток и f n x
f x . Покажем, что из
A
непрерывности элементов ФП следует непрерывность предельной функции.
Пусть x0 – произвольная точка множества A . Тогда существует отрезок a, b
такой, что x0 a, b и a, b A . Для этого отрезка все условия теоремы выполнены, следовательно, f x непрерывна на a, b , и в частности в точке
x0 .
В силу произольности выбора точки x0 , получаем непрерывность
f x
на всем множестве A .
27

20.

Теорема 3.5.
Если f n x
f x n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
----------------------------------------------------------------------------З а м е ч а н и е 2 . Теорема 3.5 может быть использована для доказательства неравномерности сходимости. Если рассматривается сходящаяся ФП,
члены которой непрерывны на A, но предельная функция является разрывной, то ФП сходится неравномерно на A.
П р и м е р . На 0,1 последовательность непрерывных функций f n x x n
0, x 1,
сходится к разрывной функции f x
1, x 1,
сходимость неравно-
мерная.
28

21.

Теорема 3.5.
Если f n x
f x n f n x C a, b , то f x C a, b .
a ,b
----------------------------------------------------------------------------З а м е ч а н и е 3 . Требование равномерной сходимости в тексте
теоремы не может быть опущено, доказательством этого может
служить предыдущий пример. Однако равномерная сходимость
фигурирует в теореме лишь как достаточное условие непрерывности
предельной функции.
nx
0.
П р и м е р 3 . 5 . Покажем, что
1 n 2 x 4
0,1
1
n 1 3n x
2
nx
nx
3
n
lim
0 .
lim sup
2
2
4
2
4
n x 0,1 1 n x
1 n x x 1 n 2 x 4 n 1 n 2 1
3n 2
29
2
4
n 4

22.

Почленное интегрирование
Теорема 3.7. Если ФП f n x сходится равномерно на a, b к функции
f x , а каждая из функций f n x интегрируема на a, b , то предельная функция
f x интегрируема на a, b и
x
x
x
x0 a, b lim f n t dt lim f n t dt f t dt .
n
x0
x0
n
(*)
x0
З а м е ч а н и е 1 . В теореме 3.7 существенно условие равномерной сходимости.
nx
0 (см. пример 3.5), но при этом
2 4
1 n x 0,1
1 1
nt
1
lim f n t dt lim
dt
lim
arctg
nt
lim
arctg
n
.
0
n
n 1 n 2 t 4
n 2
n
4
2
0
0
1
1
З а м е ч а н и е 2 . Теорема дает лишь достаточное условие возмножности
почленного интегрирования последовательности.
0, x 0,1 ;
n
x
0,1 1, x 1.
При этом справедливость равенства (*) легко доказать непосредственным
30
интегрированием.

23.

Почленное дифференцирование
Теорема 3.9. Если ФП f n x дифференцируемых на a, b функций
сходится хотя бы в одной точке x0 a, b , а ФП f n x сходится равномерно на a, b , то сама ФП f n x сходится равномерно на a, b
к некоторой дифференцируемой функции f x и
x a, b f x lim f n x .
n
З а м е ч а н и е . В теореме под существованием производных подразумевается существование производной на
a, b , правой производной
в точке a справа и левой производной в точке b слева.
31

24.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
u x u x и v x v x сходятся равномерно на A , то
1. Если ФР
k 1
,
k
k 1
k
ФР uk x vk x сходится равномерно на A к u x v x ;
k 1
k 1
k 1
2. Если ФР uk x сходится равномерно на A , то и ряд uk x сходится равномерно на A .
3. Если ФР сходится равномерно на множестве A , то сходимость будет равномерной на любом его подмножестве.
4. Если ФР сходится равномерно на каждом из множеств A1 и A2 , то на множестве
A A1 A2 этот ФР сходится равномерно. Для бесконечного объединения это утверждение неверно.
5. Числовой ряд можно рассматривать как ФР, каждый элемент которого есть константа на данном множестве. Сходимость такого ФР на любом множестве равномерна.
6. Если ФР uk x на A сходится равномерно к функции u x , а функция v x
k 1
равномерно ограничена на A , то ряд uk x v x сходится равномерно на A
к функции u x v x .
k 1
32

25.

ФП
ФР
1. Если ФР
1. Если
fn x
f x и gn x
g x ,
то ,
A
A
f n x gn x
f x g x
A
u x u x и v x v x
k 1
k
k
k 1
сходятся равномерно на A , то
,
ФР
u x v x схоk 1
k
k
дится равномерно на A к u x v x
2. Если f n x
f x , то
A
fn x
f x .
2. Если ФР uk x сходится равноk 1
мерно на A , то и ряд uk x сходится
k 1
A
равномерно на A .
33

26.

ФП
ФР
3. Если f n x
f x , то B A
fn x
f x .
A
3. Если ФР сходится равномерно на A ,
то сходимость будет равномерной B A .
B
4. Если
fn x
f x ,
f x и fn x
B
A
то f n x
f x
4. Если ФР сходится равномерно на каждом из множеств A1 и A2 , то на множестве
A A1 A2 этот ФР сходится равномерно.
A B
Для бесконечного объединения это утверждение неверно
5. Числовую последовательность
5. Числовой ряд можно рассматривать
можно рассматривать как ФП, каж- как ФР, каждый элемент которого есть кондый элемент которой есть константа станта на данном множестве. Сходимость
на данном множестве. Сходимость такого ФР на любом множестве равномерна
такой ФП на любом множестве равномерна
34