Приложения производной

1.

2.

Предел отношения двух бесконечно
малых или бесконечно больших
функций равен пределу отношения
их производных (конечному или
бесконечному).

3.

То есть если существует неопределенность вида
0
0
или
то
f ( x)
f ( x)
lim
lim
x x
x x
g
(
x
)
g
(
x
)
x
x
0
0

4.

Рассмотрим неопределенность вида
0
при x x0
0
Будем предполагать, что функции f(x) и g(x), и их
производные непрерывны в точке х0, причем
lim f ( x) lim f ( x0 ) 0
x x0
x x0
lim g ( x) lim g ( x0 ) 0
x x0
x x0

5.

Тогда
f ( x)
f ( x) f ( x0 )
lim
lim
x x
g ( x) x x g ( x) g ( x0 )
0
0
Применим теорему Лагранжа на отрезке
[x,x0]:
f ( x)
lim
lim
x x
g ( x) x x
0
где
0
f ( 1 ) ( x x0 )
lim
g ( 2 ) ( x x0 ) x x
0
x 1 x0
x 2 x0
f ( 1 )
g ( 2 )

6.

При
x x0
в силу непрерывности производных
f ( x) и
имеем
g ( x)
f ( 1 ) f ( x0 )
g ( 2 ) g ( x0 )
следовательно
f ( x)
f ( x)
lim
lim
x x
g ( x) x x g ( x)
0
0

7.

1
x
lim x
x
e
x
x
1
lim x lim x lim x 0
x
e x (e ) x e

8.

2
sin x
lim
x 0
x
sin x 0
(sin x)
cos x
lim
lim
lim
1
x 0
x 0
x
1
0 x 0 ( x)