Применение производной

1.

2.

Предел отношения двух бесконечно
малых или бесконечно больших
функций равен пределу отношения
их производных (конечному или
бесконечному).

3.

То есть если существует неопределенность вида
0
или
0
то
f ( x)
f ( x)
lim
lim
x x
x x
g
(
x
)
g
(
x
)
x
x
0
0

4.

Вычислить пределы, используя правило
Лопиталя:
1
x
lim
x x
e

5.

x
x
1
lim x lim x lim x 0
x
e x (e ) x e

6.

2
sin x
lim
x 0
x

7.

sin x 0
(sin x)
cos x
lim
lim
lim
1
x 0
x 0
x
1
0 x 0 ( x)

8.

9.

Если производная дифференцируемой
функции положительна внутри
некоторого промежутка Х, то она
возрастает на этом промежутке.

10.

Если производная дифференцируемой
функции отрицательна внутри
некоторого промежутка Х, то она
убывает на этом промежутке.

11.

Если касательные к кривой на некотором
промежутке направлены под острыми
углами к оси х, то функция возрастает.
если они направлены под тупыми углами,
то функция убывает.

12.

y
y
x
x

13.

Найти интервалы монотонности
функции
y x 4x 3
2

14.

Найдем производную этой функции:
y ( x 4x 3) 2 x 4
2
Исследуем знак этой производной:
y 2 x 4 0 при
x 2
y 2 x 4 0 при
x 2

15.

Следовательно, функция будет
возрастать на промежутке
( 2 ; )
Функция будет убывать на промежутке
( ; 2)

16.

Точка х0 называется точкой максимума
функции
f(x),
если
в
некоторой
окрестности точки х0 выполняется
неравенство
f ( x) f ( x0 )

17.

Точка х1 называется точкой минимума
функции
f(x),
если
в
некоторой
окрестности точки х1 выполняется
неравенство
f ( x) f ( x1 )

18.

Значения функции в точках х0 и х1
называются соответственно точками
максимума и минимума.
Максимум и минимум функции называется
экстремумом функции.

19.

y
y f (x)
x1 x2
x3
x

20.

Если в некоторой точке х0 дифференцируемая
функция f(x) имеет экстремум, то в
некоторой
окрестности
этой
точки
выполняется теорема Ферма и производная
функции в этой точке равна нулю:
f ( x0 ) 0

21.

Однако, функция может иметь экстремум в
точке, в которой она не дифференцируема.
Например, функция
y x
имеет минимум в точке
x 0
но она в этой точке не дифференцируема.

22.

Для того, чтобы функция y=f(x) имела
экстремум в точке х0 , необходимо, чтобы
ее производная в этой точке равнялась
нулю или не существовала.

23.

Точки, в которых выполняется необходимое
условие экстремума, называются
критическими или стационарными.
Если в какой-либо точке имеется экстремум,
то эта точка является критической.
Но критическая точка не обязательно является
точкой экстремума.

24.

Найти критические точки и экстремумы
функций:
1
y x
2

25.

Применим необходимое условие экстремума:
y ( x ) 2 x
2
y 2 x 0 при
x 0
y 0
x 0
- критическая точка

26.

y
x 0
y x
2
x

27.

2
y x 1
3

28.

Применим необходимое условие экстремума:
y ( x 1) 3x
3
2
y 3x 0 при x 0
2
x 0
y 1
- критическая точка

29.

y
y x 1
3
y 1
x

30.

Если при переходе через точку х0 производная
дифференцируемой функции y=f(x) меняет
знак с плюса на минус, то х0 есть точка
максимума, а если с минуса на плюс,
то х0 есть точка минимума.

31.

1
Найти производную функции
y f (x)

32.

2
Найти критические точки функции, в
которых производная равна нулю или
не существует.

33.

3
Исследовать знак производной слева и
справа от каждой критической
точки.

34.

4
Найти экстремум функции.

35.

Исследовать функцию на экстремум:
y x( x 1)
3

36.

Применим схему исследования функции на
экстремум:
1
Находим производную функции:
y ( x( x 1) ) ( x 1) 3x ( x 1)
3
3
2
( x 1) ( x 1 3x) ( x 1) (4 x 1)
2
2

37.

2
Находим критические точки:
( x 1) (4 x 1) 0
2
x1 1
1
x2
4

38.

3
Исследуем знак производной слева и
справа от каждой критической
точки:
y
y
1
4
1
В точке х=1 экстремума нет.
x

39.

4
Находим экстремум функции:
27
1
f min
256
4

40.

Если первая производная дифференцируемой
функции y=f(x) в точке х0 равна нулю, а
вторая производная в этой точке
положительна, то х0 есть точка
минимума, а если вторая производная
отрицательна, то х0 есть точка максимума.

41.

Схема исследования функции на экстремум
в этом случае аналогична предыдущей, но
третий пункт следует заменить на:
3
Найти вторую производную и
определить ее знак в каждой
критической точке.

42.

Согласно теореме Вейерштрасса, если функция
непрерывна на отрезке [a;b], то на достигает
на нем наибольшего и наименьшего
значений.
Эти значения могут быть достигнуты на
концах отрезка или в точках экстремума.

43.

1
Найти производную функции.

44.

2
Найти критические точки, в которых
производная равна нулю или не существует.
3
Найти значения функции в критических
точках и на концах отрезка, и выбрать из
них наибольшее и наименьшее значения.

45.

Найти наибольшее и наименьшее
значения функции
y ( x 2) e
2
на отрезке
0 ; 5
x

46.

1
Находим производную функции:
y ( x 2) e
2
x
2( x 2) e
x
e x ( x 2) ( x 4)
2
Находим критические точки:
x
y e ( x 2) ( x 4) 0
x1 2
x2 4
x
( x 2) e
2

47.

3
Находим
значения
функций
в
критических точках и на концах
отрезка:
f (2) 0
4
f (4) 4
e
f наиб (0) 4
f (0) 4
f наим (2) 0
9
f (5) 5
e

48.

Если функция непрерывна на интервале (а;в),
то она может не принимать на нем наибольшее
и наименьшее значения. В частности, если
дифференцируемая функция y=f(x) на интервале
(а;в) имеет лишь одну точку максимума (или
минимума), то наибольшее (или наименьшее)
значение функции совпадает с максимумом
(минимумом) этой функции.