Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

02.02.2022

2.

Определение: отрезок х называется средним пропорциональным
или средним геометрическим
между двумя отрезками а и в, если а : х = х : в.
Например, отрезок длиной 6 см является средним пропорциональным
между отрезками с длинами 9 см и 4 см, т.к. 9 : 6 = 6 : 4.
Равенство
а:х=х:в
можно записать в виде
или в виде
х – среднее геометрическое между а и в
х=
х2 = а в
ав
Реши задачи:
1. Является ли отрезок длиной 8 см средним пропорциональным
между отрезками с длинами 16 см и 4 см ?
2. Является ли отрезок длиной 9 см средним пропорциональным
между отрезками с длинами 15 см и 6 см ?
3. Является ли отрезок длиной 2 5 см средним пропорциональным
между отрезками с длинами 5 см и 4 см ?
да
нет
да

3.

Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между отрезками, на которые делится гипотенуза
этой высотой.
h ac bc
b c b c
a c ac
Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и отрезком
гипотенузы, заключённым между катетом и высотой,
проведённой из вершины прямого угла.

4.

Лемма (вспомогательная теорема)
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных
треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
С
Дано: АВС, АСВ = 900,
СН АВ.
Доказать:
А
Н
В
АСН и
АСН и
СВН и
СВН подобны,
АВС подобны,
АВС подобны.
Доказательство:
Пусть
А = , тогда
АСН = 900 - ,
В= 900 - ,
ВСН = 900 - ( 900 - ) = .
Итак, прямоугольные треугольники АСН и СВН подобны, т.к.
А=
прямоугольные треугольники АСН и АВС подобны, т.к.
А - общий,
прямоугольные треугольники СВН и АВС подобны, т.к.
В – общий.
ВСН,

5.

Свойство 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное
между отрезками, на которые делится гипотенуза
этой высотой.
С
Дано: АВС, АСВ = 900,
СН АВ.
Доказать: СН =
А
Н
AH HB
В
Доказательство:
По доказанному АСН и СВН подобны, значит,
сходственные стороны пропорциональны:
АН
CH
CH
HB
, следовательно, СН2 = АН · НВ, т. е. СН =
AH HB

6.

Свойство 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее
пропорциональное между гипотенузой и отрезком
гипотенузы, заключённым между катетом и высотой,
проведённой из вершины прямого угла.
С
Дано:
АВС,
СН АВ
Доказать: АС =
А
Н
В
ВС =
АСВ = 900,
AB AH
AB BH
Доказательство:
По доказанному АСН и АВС подобны, значит,
сходственные стороны пропорциональны:
Значит,
АС2
= АВ · АН, т. е. АС =
AB AH
По доказанному ВСН и АВС подобны, значит,
сходственные стороны пропорциональны:
Значит, ВС2 = АВ · ВН, т. е. ВС =
AB BH
АВ
АС
АС
АН
АВ
ВС
ВС
ВН

7.

Решение задачи
В трапеции АВСК АВ АК, АС СК, ВС = 6, АК = 8.
Найдите углы трапеции.
В
А
6
С
К
Н
Решение:
Проведём СН АК,
т. к. АВСК – трапеция и АВ АК, то
АВСН – прямоугольник, АН = ВС = 6,
НК = АК – АН = 8 – 6 = 2.
Т. к. АС
СК, то
АСК – прямоугольный,
8
СН – высота, проведённая из вершины прямого угла, значит,
СН =
AH HK 6 2 12 2 3
По теореме Пифагора (
СНК) СК2 = СН2 + НК2, СК2 = 12 + 4 = 16, СК = 4.
(2 способ нахождения СК из
АСК: СК =
AK HK 8 2 16 4 )
В прямоугольном треугольнике СНК НК = ½ СК, значит, КСН = 300,
К = 900 – 300 = 600.
В трапеции АВСК
А = В = 900, К = 600, ВСК = 1800 – 600 = 1200.
Ответ: 900; 900; 1200; 600.

8.

1.
Реши задачу
?
5
2
h ac bc
·

9.

2.
Реши задачу
9
?
4
h ac bc

10.

Реши задачу
3.
8
1
?
a c ac

11.

Реши задачу
4.
3
4
?
a c ac

12.

Реши задачу
5.
a c ac
8
1
a=?
b=?
b c b c

13.

Реши задачу
6.
a c ac
3
b=?
b c b c
4
a=?