Пропорциональные отрезки (метрические соотношения) в прямоугольном треугольнике

1. Пропорциональные отрезки (метрические соотношения) в прямоугольном треугольнике

2.

Важное свойство.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных
треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
С
А
Н
АСН и
АСН и
СВН и
В
СВН подобны,
АВС подобны,
АВС подобны.

3.

Свойство 1. Квадрат
высоты прямоугольного
треугольника, проведенной к гипотенузе, равен
произведению проекций катетов.
№ 163
С
Дано: АВС, АСВ = 900,
СН АВ.
А
9см
Н
В
25 см
Решение.
По метрическим
соотношениям
СН2 = АН · НВ
АН=9см
НВ=25см
Найти :СН
СН2 =9 ·25
СН 9 25 3 5 15(см)
Ответ: 15см

4.

Свойство 2. Квадрат катета равен
произведению гипотенузы и проекции этого катета
на гипотенузу
С
А
№ 164
6см Н 24 см
Решение.
По метрическим
соотношениям
АС2 = АВ · АН
ВС2 = АВ · ВН
В
Дано:
АВС,
СН АВ
АН=6м
НВ=24см
АСВ = 900,
Найти : катеты АС и ВС
АВ=АН+НВ = 6+24= 30 (см)

5.

№ 164
АВ=АН+НВ = 6+24= 30 (см)
АС2 = АВ · АН
АС2 =30·6=180
С
А
6см
Н
В
24 см
30 см
АС 180 36 5 6 5 (см)
ВС2 = АВ · ВН
ВС2 = 30·24=720
ВС 720 144 5 12 5 (см)
Ответ : 6 5см,12 5см

6.

№ 165
А
Н
Решение.
С
По метрическим соотношениям
12 см
ВС2 = АВ · ВН
8 см
122 = АВ · 8
В
?
144 = АВ · 8
АВ= 144: 8=18(см)
Ответ: 18см
·

7.

В
12 см
№ 166 Решение.
?
А
16
20 см
Так как трапеция
равнобедренная, то
? высоты ВМ и СН отсекают
равные прямоугольные
треугольники.
D
4
Тогда
АМ=НD=(20-12):2=4(см)
Тогда, АН=20-4=16(см)
С
Н
По метрическим соотношениям
СН2 = АН · НD=16*4
DС2 = АD · DН
СН=4*2=8(см)
DC2 = 20· 4=80
DС 80 16 5 4 5 (см)

8.

В
12 см
№ 166 Решение.
С
?
?
А
16
Н
4
D
20 см
По метрическим соотношениям
DС2 = АD · DН DC2 = 20· 4=80
DС 80 16 5 4 5 (см)

9.

№ 167
Диагонали ромба
перпендикулярны
Расстояние от точки до
прямой –перпендикуляр
Рассмотреть метрические
соотношения в
прямоугольном
треугольнике,
найти катеты .
Найти диагонали ромба.

10.

№ 168
В
С
5 см
О
А
М
Решение.
Проведем радиус в точку
касания ОМ, он будет
перпендикулярен стороне
трапеции.
Проведем отрезки ОС и
20см ОD.
Так как эти отрезки
D
являются биссектрисами
углов и так как сумма
односторонних углов равна
180º при ВСll АD, имеем,
∟СОD=90º

11.

№ 168
К 5
В 10
С
5 см
10
10
М
По метрическим
соотношениям
ОМ2 =СМ · МD
ОМ2 = 5·20=100
ОМ =10 см
10
20см
АВ=КТ= 2R=20см
D
(
двум
радиусам)
А
20
10 Т
По т. Об отрезках касательных к
окружности, проведенных из одной очки:
СК=СМ=5см, ТD=DМ=20 см.
Также АТ=ВК=R=10 см
20
О

12.

№ 168
К 5
В 10
О
10
10
А
С
5 см Р = 5+20+20+10+20+10+5=
10
20
Периметр
Р = СМ+CD+DT+ТА+АВ+ВК+КС
10 Т 20
=90(см)
Ответ: 90см.
М
20см
D

13. Проверочная работа 15 мин

14. «Теорема Пифагора»

c² = a² + b²
с
b
а

15. Исторический экскурс Рассказ о Пифагоре(стр 115-прочитайте)

Исторический экскурс
Рассказ о Пифагоре(стр 115прочитайте)
Пифагор жил в
VI в. до н. э. в
Древней Греции
Основал
философскую
школу –
пифагорейский
союз.

16.

Пифагорейцы занимались
математикой, философией,
естественными науками.
Ими были сделаны важные
открытия в арифметике и
геометрии. В школе
существовало правило, по
которому авторство всех
работ приписывалось
Пифагору. Так что
достоверно неизвестно,
какие открытия
принадлежат самому
ученому.

17. Из истории теоремы Пифагора

Во времена самого ученого её
формулировали так:
«Площадь квадрата,
построенного на гипотенузе
прямоугольного треугольника,
равна сумме площадей
квадратов, построенных на его
катетах».
Или в виде задачи:
« Доказать, что квадрат,
построенный на гипотенузе
прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов,
построенных на катетах: S =
S1 + S2».

18.

Учащиеся средних
веков считали
доказательство
теоремы очень трудным
и прозвали его
«ослиным мостом» или
«бегством убогих»

19. Теорема Пифагора:

с
b
c² = a²+ b²
а
В
прямоугольном
треугольнике
квадрат
гипотенузы равен
сумме квадратов
катетов.

20. Закрепление материала

С
2
1. Вычислите, если
возможно:
а) сторону АС
треугольника АВС.(рис.1)
АС²=АВ²+ВС²
А
1
Рис. 1
В
АС²=1²+2²
АС²=5
АС= 5

21. Закрепление материала

МК²=МТ²+ТК²
МТ²= МК² - ТК²
б) сторону МN треугольника КМN.
(рис. 2)
МТ²= 13² - 12²
МТ²=169-144
МТ²= 25
Т
МТ=5
К
12
13
М
Рис. 2

22. В классе №529(1) №530(2) Дома п.16. учить т. Пифагора с док-вом, знать ответы на вопросы решить № 531

В КЛАССЕ
№529(1)
№530(2)
ДОМА П.16.
УЧИТЬ Т. ПИФАГОРА С ДОКВОМ,
ЗНАТЬ ОТВЕТЫ НА
ВОПРОСЫ
РЕШИТЬ № 531