Введение в тригонометрию

1.

Введение в тригонометрию
Числовая окружность

2. Радианная мера угла

В
R
R
0
А
R
1 рад
Центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу окружности, называется
углом в один радиан.
Найдем градусную меру угла в 1 радиан. Так как дуга
длиной R (полуокружность) стягивает центральный
угол в 180 0, то дуга длиной R стягивает угол в раз
меньший, т.е.
1800
1 рад (
).
Так как =3,14, то 1 рад=57,3 .
Если угол содержит а радиан, то его градусная мера
180 0
равна
рад (
) .
0

3.

Положительные и отрицательные
углы в окружности
У
Начало отсчета углов - в точке (1;0)
+
Р
0
R=1
IV
-
Ро х
Р ( >0)
0Р
повернули на угол
против часовой стрелки
I
+
III
( >0)
0Ро
-
II
ОРо
ОР
повернули на угол
по часовой стрелки
Угол поворота радиуса ОРо против
часовой стрелки считается положительным,
а по часовой --- отрицательным
( >0)
( >0)

4.

Радианная мера угла
Единичной окружностью
называется окружность с центром в начале
координат и радиусом, равным единице.
06.12.2021
4

5.

Начало отсчета числовой
прямой, единичный отрезок
которой равен радиусу
единичной окружности,
2
совместим с концом
одного из радиусов
.
2
1 1
1
R
3
Затем будем
«наматывать»
числовую прямую
на окружность
0
Мы получили
числовую окружность
1 1
2
И так далее…
0
1
2
1

6.

Начало отсчета числовой
прямой, единичный отрезок
которой равен радиусу
единичной окружности,
2
совместим с концом
одного из радиусов
Таким образом, каждой
точке числовой прямой
будет поставлена
в соответствие точка
единичной окружности.
1
3
Затем будем
«наматывать»
числовую прямую
на окружность
Мы получили
числовую окружность
2
И так далее…
0
1
1

7.

Проследите за тем как откладываются на числовой
окружности положительные числа.
8
2
1
7
9
1 рад 57 0
3
0
1
И так далее…
6
10
12
4
11
5
Очевидно, что каждой точке числовой
окружности соответствует бесконечно много
чисел

8.

Проследите за тем как откладываются на числовой
окружности отрицательные числа.
5
4
6
И так далее…
0
1
3
2
1
1 рад 57 0

9.

Числовой окружностью
называется единичная
окружность, для II
которой указано
начало отсчета
и положительное
направление
I
1
III
IV
Начало
отсчета

10.

5 5
Пример. Отметим число
. Для
. Для
этого
этого
от
от
начала
начала
отсчета
отсчета
против
по
46
55
Окружность поделена на восемь
Окружность поделена на
часовой
стрелки
отложим
отложим
дугу
дугу длины
длины
.. Конец
Конец
этой
этой дуги
дуги
будет
будет
равныхстрелке
дуг (каждая
дуга =π/4)
двенадцать
равных
дуг
4
6
соответствовать данному числу.
(каждая дуга=π/6)
5
4
Отмечаем числа со знаменателем
1, 2, 4
5
6
Отмечаем числа со знаменателем
1, 2, 3, 6

11.

Точке числовой окружности, в отличии от точки
числовой прямой, соответствует не одно число.
4
7
4
?
7
2
4
4
11 5
2
3
3
5
3
Числам t и t +2πk (k ϵ Z) соответствует одна
точка числовой окружности
11
3
?
назад

12.

Симметрия относительно центра окружности
4
2
3
3
4
4
3
4
Числам t и t +πk (k ϵ Z) соответствуют точки,
симметричные относительно центра окружности
?
?
5 2
3
3
5
3

13.

Симметрия относительно
горизонтального диаметра
3
4
3
?
3
4
Числам t и –t соответствуют точки, симметричные
относительно горизонтального диаметра.
?
3

14.

Симметрия относительно
вертикального диаметра
3
4
4
?
3
4
4
7
( )
6
6
6
+
7
6
Числам t и π–t соответствуют точки, симметричные
относительно вертикального диаметра.
?
6

15.

7
115
7
7
?
18
18
9 2
6
6
6
6
1 свойство:числам t и t +2πk (k ϵ Z)
соответствует одна точка числовой
окружности
Подумай, как воспользоваться
свойством и составь алгоритм
Потренируйся выполнять
первый шаг алгоритма
1
37
6 6
6
6
6
5
173
5
56 56
3
3
3
5
1085
270
4
4
1) Выделить целую четную часть
2) Воспользоваться первым свойством
(числам 115
6
и 7 соответствует
6
одна точка окружности)
270
2π =3600
967 0 2 360 0 247 0
50780 14 360 0 38 0
5
4

16.

Для проверки кликни по выбранному числу
7
3
11
5
2
4
4
3
3
3
2
2
25
6
2
13
2
4
3
2
2
3
4
16
3
11
4
11
4
2
3
0
113
6

17.

Для проверки кликни по выбранной точке
3
4
2
4
5
6
0
2
5
4
3
2
7
4
2
3
2
очистить
3
6
0
2
7
6
4
3
3
2
5
3
11
6

18.

Для проверки кликни по выбранной точке
5
4
3
2
7
4
7
6
2
0
3
4
2
4
4
3
3
2
очистить
5
3
2
0
11
6
5
6
2
3
2
3
6

19.

Для проверки кликни по выбранной точке
11
4
5
2
9
4
17
6
2
4
3
13
4
7
2
15
4
8
3
5
2
очистить
7
3
13
6
2
4
3
19
6
10
3
7
2
11
3
23
6

20. Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Косинусом угла называется абсцисса точки, полученной
поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол
(обозначается cos )
Синусом угла называется ордината точки, полученной
поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол
(обозначается sin )
В этих определениях угол может выражаться как в градусах,
так и в радианах.

21. Определение синуса, косинуса и тангенса угла

Тангенсом угла называется отношение синуса угла к его
косинусу (обозначается tg )
Таким образом,
sin
tg
cos
Иногда используется котангенс угла (обозначается ctg ),
который определяется формулой
sin
сtg
cos

22.

У
II
III
I
II
Х
IV
III
cos t
II
III
tgt
I
Х
IV
ctgt
Х
IV
sin t
У
I

23. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

sin 2 cos 2 1- основное тригонометрическое тождество.
Из него можно выразить sin через cos и cos через sin :
cos
1 sin
2
sin
1 cos
2
В этих формулах знак перед корнем определяется знаком
выражения, стоящего в левой части формулы.

24. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Выясним теперь зависимость между тангенсом и
котангенсом. По определению тангенса и котангенса
sin
cos
tg
,
ctg
.
cos
sin
Перемножая эти равенства, получаем tg ctg 1
.
Из этого равенства можно выразить tg через ctg и наоборот:
1
1
tg
ctg
ctg
tg

25.

06.12.2021
25

26. Синус, косинус и тангенс углов и

y
M1
P(1;0)
o
х
М2
Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом
точки Р(1;0) на углы и соответственно). Тогда ось 0х делит
угол М10М2 пополам, и поэтому точки М1 и М2 симметричны
относительно оси 0х.
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только
знаками. Точка М1 имеет координаты (cos ; sin ), точка М2 имеет
координаты(cos( ); sin( )).
Следовательно, sin( ) sin cos( ) cos
Используя определение тангенса, получаем
sin( ) sin
tg ( )
tg
cos( ) cos
Таким образом,
tg ( ) tg
ctg ( ) ctg
.

27. Формулы сложения

Теорема. Для любых и справедливо равенство
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin

28. Синус, косинус и тангенс двойного угла

Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя
формулы сложения.
1.
sin 2 sin( )
2.
sin cos sin cos
cos cos sin sin
cos 2 sin 2
2 sin cos
Итак, cos 2 cos 2 sin 2
Итак, sin 2 2 sin cos
Полагая в формуле
получаем
cos 2 cos( )
tg tg
tg ( )
1 tg tg
2tg
tg 2
2
1 tg

29. Тригонометрические функции числового аргумента.

y = sin x
y = cos x

30.

Построение графика функции y = sin x.
2
3
2
3
6
5
6
6 3 2
3
2
3
2
2

31.

Построение графика функции y = sin x.
2
3
5
6
7
6
2
3
6
4
3
3
2
5
3
11
6
6 3 2
3
2
2

32.

Построение графика функции y = sin x.
2
3
5
6
7
6
2
3
6
4
3
3
2
5
3
11
6
6 3 2
3
2
2

33. Функция у = sin x.

1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений) - [ - 1; 1 ].
3. Функция у = sin α нечетная, т.к. sin (- α) = - sin α
4. Функция периодическая, с главным периодом 2π.
sin ( α + 2π ) = sin α.
5. Функция непрерывная
6. Возрастает: [ - π/2; π/2 ]. Убывает: [ π/2; 3π/2 ].
+
+
-
+
-
-

34.

Построение графика функции y = cos x.
6 3 2
3
2
2
График функции у = cos x получается переносом
графика функции у = sin x влево на π/2.
Sin (x + π/2) = sin x cos π/2 + sin π/2 cos x = cos x

35. Функция у = соs x.

1. Областью определения функции является множество
всех действительных чисел ( R )
2. Областью изменений (Областью значений) - [ - 1; 1 ].
3. Функция у = cos α четная, т.к. cos (- α) = cos α
4. Функция периодическая, с главным периодом 2π.
cos ( α + 2π ) = cos α.
5. Функция непрерывная
6. Возрастает: [ π; 2π ].
Убывает: [ 0; π ].
+
+
-
+
-
+
-