Тригонометрия. Учебное пособие для техникума

1. Тригонометрия

Учебное пособие для техникума

2. Тригонометрия

Учебный элемент № 1
Учебный элемент № 2
Учебный элемент № 3
Учебный элемент № 4
Учебный элемент № 5
Учебный элемент № 6
Учебный элемент № 7
Учебный элемент № 8
Учебный элемент № 9
Учебный элемент № 10
Учебный элемент № 11
Учебный элемент № 12

3. Понятие радиана и градуса. Формулы перевода градусной меры угла в радианную меру и обратно.

–
Цели
Усвоить понятие радиана
Познакомится с формулами перевода
градусной меры угла в радианную
меру и обратно
Вычислять значение градусной меры
угла и радианной меры угла
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
–
Содержание обучения:
Понятие радиана.
Связь радианной и градусной мер
углов.
Распределение точек на единичной
окружности.
ДАЛЬШЕ

4. § 1. Радианное измерение угловых величин.

При радианном измерении дуг (и соответствующих им центральных углов) за единицу
измерения принимается радиан– дуга, длина которой равна радиусу этой дуги.
Радианная мера дуги вычисляется по формуле:
a=l/R,
(1)
где а– радианная мера дуги, l – длина дуги окружности, R – радиус этой дуги.
Формула перехода от градусного измерения к радианному имеет вид:
a=(π/1800 )β
(2),
где β – градусная мера дуги (угла).
0
Радианная мера 1 равна 0,0175 радиана.
Формула перехода от радианного измерения к градусному имеет вид
β=(1800 /π)a
(3)
градусная мера 1 радиана равна 57 017’44’’,8 ≈570 ,3.
Длина дуги окружности равна радианной мере дуги, умноженной на радиус этой дуги:
l=aR
(4)
Площадь кругового сектора равна половине радианной меры дуги сектора,
умноженной на квадрат радиуса круга: Sсект=aR2 /2
(5)
Полный круг составляет 360 градусов, т.е.2п (2*1800).
Если рассматриваемый угол больше 2п, то обозначение 2пn, где n – градусы.
Положительным направлением отсчета углов считается поворот по единичной
окружности (т.е. окружности с радиусом равным 1) против часовой стрелки, а
отрицательным – по часовой стрелке.
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
ДАЛЬШЕ

5. ТРЕНИНГ

1. Выразить в радианной мере величину
угла в 900.
По формуле (2) a = ( π / 1 8 0 0 ) β ,
. 2. Выразить в градусной мере величину
угла в
7п /6 рад.
По формуле (3) β = ( 1 8 0 0 / π ) a
900 = (п/1800 ) 900=п / 2 (рад)
7п / 6 =(1800 /п)( 7п / 6 ) = 2100
0 = 00
п / 6 = 300
п / 4 = 450
п / 3 = 600
п / 2 = 900
2п / 3 = 1200.
. 3. Построить на единичной окружности
точки:
0, п/ 6, п / 4, п / 3, п / 2, 2п / 3.
Построить единичную окружность;
Зная, что п = 1800, посчитать чему
равны углы в градусах;
Поставить значения углов на
окружности.
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
ДАЛЬШЕ

6. ТЕСТ

задания
ответы
1. переведите градусную меру угла в
радианную: 3000, - 1350, 2100.
5п / 3; - 3п / 4; 7п / 6.
2. переведите радианную меру угла в
градусную: 5п / 4; 3,5п; - 5п / 9.
2250; 6300; - 1000.
3. назовите координатную четверть,
которой принадлежит угол a , равный
10000, 20000.
4. Вычислите радиус окружности, если ее
дуга длиной 0,84 м содержит 1,5 радиана.
IV четверть, III четверть.
0,56
5. Поставьте точки на окружности.
-2000; 5000; 5п / 9; - п / 2.
Посттест на «3»
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
Посттест на «4» и «5»

7. ПОСТТЕСТ на «3»

–
1-й вопрос
выразите в радианной мере величину угла в 220.
а) 90 ; б) 11 ; в) 4 .
90
30
11
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
Посттест на «4» и «5»

8. 2- й вопрос

выразите в градусной мере величину угла в
а)250;
б)
220;
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
в)
150.
12
.

9. 2 вопрос

выразите в градусной мере величину угла в
а)250;
б)
220;
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
в)
150.
12
.

10. 3- й вопрос

2
3
2
3
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
4
6
Выберите ответ на
вопрос: щелкните по
значению угла в 600.

11. 3 вопрос

2
3
2
3
НА ОГЛАВЛЕНИЕ
4
6
Выберите ответ на
вопрос: щелкните по
значению угла в 600.

12.

На оглавление

13.

На оглавление

14. НА «4» и «5»

Выразите в радианной мере величины углов: а) 400;
б) 1200; в) 200; г) 1350
Выразите в градусной мере величины углов: а) ;
2
б) 2 ; в) .
3
Угловая величина дуги АВ равна 2п/3, а ее радиус
равен 3 м. Найдите длину дуги АВ.
Найдите координаты точки единичной окружности,
полученной поворотом точки (1;0) на угол:
а)
; б) ; в) 3 ; г) 2 .
2
2
Найдите все углы, на которую нужно повернуть точку
(1;0), чтобы получить точку с координатами (-1;0).
НА ОГЛАВЛЕНИЕ

15. Тригонометрические функции числового аргумента. Основные тригонометрические тождества.

–
Цели
Познакомиться с определением
тригонометрических функций;
Находить значения
тригонометрических функций
числового аргумента;
Применять основные
тригонометрические тождества для
нахождения тригонометрических
функций.
На оглавление
–
Содержание обучения:
Тригонометрические функции
числового аргумента;
Основные тригонометрические
тождества.
Дальше

16. § 1. Тригонометрические функции числового аргумента

Абсцисса Х точки Мα числовой единичной окружности (см.рис.) называется
косинусом числа α: Х = cos α
(1)
Ордината Y точки Мα числовой единичной окружности называется синусом
числа α:
Y = sin α
(2)
Областью определения косинуса и синуса служит множество всех
действительных чисел, т.е. D(cos α)=R, D(sin α)=R.
Отношение синуса числа α к его косинусу называется тангенсом числа α:
sin a
tga
(3)
cos a
Область определения тангенса – множество всех действительных чисел за
исключением чисел вида.
Отношения косинуса числа α к его синусу называется котангенсом числа α:
соsa
сtga
(4)
sin a
Область определения котангенса – множество всех действительных чисел за
исключением чисел вида.
Функции cosa и sina ограничены, т.к. Е(cosa) = [–1;1], E(sina) = [-1;1].
Функции tga и ctga неограничены, т.к. каждая из них может принимать
любое действительное значение , т.е. E(tga) = R, E(ctga) = R.
На оглавление
Дальше

17. § 2. Основные тригонометрические тождества

sin a cos a 1;
2
2
tga ctga 1, a
k
2
.k ;
1
1 tg a
, a k , k ;
2
cos a
2
1
2
1 ctg a
, a k , k .
2
sin a
2
На оглавление
Дальше

18. Тренинг

Найти область определения
функций:
1) у=sin3x
2) y=1/sinx
3) y=tg4x
На оглавление
1) Здесь х – любое
действительное число, т.к. график
синуса расположен вдоль оси
абсцисс;
2) sinx не равен 0 (т.к. он в
знаменателе), значит x не равно
пk, k€Z;
3) т.к. область определения
тангенса (-п/2; п/2), то 4x не
должно быть равно п/2+пk,
значит x не должно быть равно
п/8 + пk/4, k€Z;
Дальше

19. Дано: sinx=3/5, x принадлежит (п/2; п). Вычислить: 1) cosx; 2) tg x; 3) ctgx.

1)Выразим косинус из первого
тригонометрического тождества:
(во второй четверти косинус
имеет знак “–“).
Подставляем известное значение
синуса и вычисляем косинус.
2) Используем определение
тангенса (см.1 параграф);
подставим значение синуса и
найденное значение косинуса.
1) cos x 1 sin 2 x
cos x 1 (3 / 5) 2 = – 4/5.
2) tg x = (3/5) : (–4/5) = – 3/4
3) ctg x = – 4/3.
3) аналогично 2) найдем
котангенс.
На оглавление
Дальше

20. Доказать тождество:

sin x
1 cos x
2
1 cos x
sin x
sin x
1 cos x
2 sin 2 x 1 2 cos x cos 2 x
2
sin x
sin x
sin x
(1 cos x) sin x
sin x
1 cos x
1 1 2 cos x
2 2(1 cos x)
2
(1 cos x) sin x sin x (1 cos x) sin x sin x
2
2
;
sin x sin x
На оглавление
Дальше

21. Тест

Упростите выражения:
1. sin a tg a cos a;
2
2
2
2. sin 4 a cos 4 a cos 2 a;
cos 3 a sin 3 a
3.
;
1 sin a cos a
4. sin a cos a(tga ctga).
Ответы:
1.
1
2
cos a
2. sin2 a.
3. cos a – sin a.
4. 1
Посттест на «3»
На оглавление
Посттест на «4» и «5»

22. ПОСТТЕСТ НА «3»

1 вопрос
При каких значениях аргумента принимает
наименьшее и наибольшее значения
следующая функция:
Y = 0,5 cos2x
Ответы:
А) Унаиб.= 0,5; Унаим. = -0,5.
Б) Унаиб.= 2; Унаим. = -2.
В) Унаиб.= 5; Унаим. = -5.
На оглавление

23. 2 вопрос

Найдите область определения функции
Y = sinx + cosx ;
Ответы:
А) х € [- 1; 1];
Б) х € [- 0,5; 0,5];
В) х – любое действительное число.
На оглавление

24. 2 - й вопрос

Найдите область определения функции
Y = sinx + cosx ;
Ответы:
А) х € [- 1; 1];
Б) х € [- 0,5; 0,5];
В) х – любое действительное число.
На оглавление

25. 3 вопрос

Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить
sinx, cosx, ctgx.
Ответы:
А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3.
Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3.
В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5.
На оглавление

26. 3 – й вопрос

Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить
sinx, cosx, ctgx.
Ответы:
А) sinx =-3/5; сosx = -4/5; ctgx = 4/3.
Б) sinx =3/5; сosx = -4/5; ctgx = -4/3.
В) sinx =4/3; сosx = -3/5; ctgx = -4/5.
На оглавление

27. НА «4» и «5»

1. Дано: tgx = – ¾, II четверть. Вычислить
остальные тригонометрические функции.
2. Докажите тождества:
cos x(1 tgx)(1 tgx) cos x sin x;
tgx
sin 4 x
tgx ctgx
2
3.
4
4
1 (sin x cos x) 2
2tg 2 x;
sin x cos x ctgx
Упростите выражения:
(sin x cos x) 2 (sin x cos x) 2 ;
sin 2 x cos 4 x sin 4 x
На оглавление

28. Основные свойства тригонометрических функций.

Цели
1. Находить знаки значений
тригонометрических функций;
Содержание обучения:
1. Знаки значений тригонометрических
функций.
2. Четные и нечетные функции.
2. Какие функции являются четными,
нечетными и периодическими;
3.
Находить период функции.
3. Периодичность тригонометрических
функций.
4. Свойства и графики
тригонометрических функций.
На оглавление
Дальше

29. § 1. Знаки значений тригонометрических функций.   Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены в таблице:

§ 1. Знаки значений тригонометрических функций.
Знаки тригонометрических функций по четвертям приведены в таблице:
II
III
IV
0<a<п/2
п/2<a<п
п<a<3п/2
3п/2<a<2п
Функция
sina
+
+
–
–
cosa
+
–
–
+
tga
+
–
+
–
ctga
+
–
+
–
Четверть
I
На оглавление
Дальше

30. Значения тригонометрических функций некоторых углов приведены в таблице:

I четверть
90
0
30
45
60
0
6
4
3
1
2
2
2
sina
0
cosa
1
tga
0
ctga
-
На оглавление
3
2
3
3
3
2
3
2
1
2
1
1
3
-
1
3
3
0
2
2
Дальше
0

31. § 2. Четные и нечетные функции.

Опр.1: функция f называется четной, если с каждым значением переменной х из области
определения f значение ( - х) также входит в область определения этой функции и при
этом выполняется равенство: f (- x) = f (x).
Опр.2: функция f называется нечетной, если с каждым значением переменной х из
области определения f значение ( - х) также входит в область определения этой функции
и при этом выполняется равенство: f (- x) = --f (x).
График любой четной функции симметричен относительно оси ординат, а гарфик любой
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Теорема: косинус – четная функция, а синус, тангенс и котангенс – нечетные функции.
Свойства четности и нечетности тригонометрических функций выражаются
следующими формулами: sin(–a) = – sina;
cos(–a) = cosa;
tg(–a) = – tga;
ctg(–a) = – ctga.
На оглавление
Дальше

32. § 3. Периодичность тригонометрических функций.

Опр.: функция f называется периодической, если существует такое число , что при
любом из области определения f числа ( – ) и ( + ) также принадлежат этой
области и при этом выполняется равенство f ( - ) = f ( ) = f ( + ).
В этом случае число называется периодом функции f. Ее периодами являются также
числа вида n , n , n 0.
Теорема: функции синус, косинус, тангенс и котангенс являются периодическими.
Наименьший положительный период синуса и косинуса равен 2 .
Наименьший положительный период тангенса и котангенса равен ..
Свойства периодичности тригонометрических функций можно выразить тождествами:
sin = sin ( +2 k), k ;
cos = cos ( +2 k), k ;
tg = tg ( + k), k ;
На оглавление
ctg = ctg ( + k), k ;
Дальше

33. § 4. Свойства и графики тригонометрических функций.

1.
Синус
F(x) = sin x.
Свойства:
1) Область определения: R;
2) Область значений: [– 1; 1];
3) Четность (нечетность): Нечетная;
4) Наименьший положительный период: 2 ;
5) Координаты точек пересечения графика f с осью Ох: ( n; 0);
6) Координаты точек пересечения графика f с осью Оy: (0; 0);
7) Промежутки, на которых f принимает положительные значения: (2 n; + 2 n);
8) Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения: (– + 2 n; 2 n);
2 2 n; 2 2 n
;
3
10) Промежутки убывания:
;
2 2 n; 2 2 n
11)Точки минимума: 1; 2 2 n; ; 12) Точки максимума:
9) Промежутки возрастания:
На оглавление
.
1; 2 n
2
Дальше

34.

1.
Косинус
F(x) = cos x.
Свойства:
1) Область определения: R;
2) Область значений: [– 1; 1];
3) Четность (нечетность): Четная;
4) Наименьший положительный период: 2 ;
5) Координаты точек пересечения графика f с осью Ох: (
2
+ n; 0);
6) Координаты точек пересечения графика f с осью Оy: (0; 1);
7) Промежутки, на которых f принимает положительные значения: (
2
+2 n; 2 + 2 n);
8) Промежутки, на которых f принимает отрицательные значения: ( 2 + 2 n; 3 +2 n);
9) Промежутки возрастания:
10) Промежутки убывания:
11)Точки минимума:
2 n;2 n
2 n; 2 n
1; 2 n; ;
На оглавление
2
;
;
12) Точки максимума: 1;2 n
Дальше
.

35. Тренинг. Решение упражнений.

Алгоритм решения
Решение
Какие знаки имеют следующие выражения:
1) cos 150;
1)
90<150<180 (II четверть), cos 150<0;
2) sin 320;
2)
270<320<360 (IV четверть), sin320<0;
3) tg 220;
3)
180<220<270 (III четверть), tg220>0;
4) ctg 400.
4)
360<400<360+90 (I четверть), ctg
400>0.
Используя формулы параграфа
Упростить:
1) sin 2 ( a) cos( a) tg ( a);
3
2) sin( ) cos( ) tg ( 2 ).
2
Вычислить:
tg 2 ( / 3) ctg ( / 6) 2 sin( / 3)
sin 4 cos(3 / 2) 2 cos( / 3).
На оглавление
1) sin 2 ( a ) cos( a ) tg ( a ) ( sin a ) 2 cos a tga
sin 2 a cos a tga.
3
3
) cos( ) tg ( 2 ) sin
cos tg 2
2
2
1 ( 1) 0 0.
2) sin(
По таблице значений находим значение аргумента
каждой тригонометрической функции:
( 3) 2 3 2
3
1
0 4 0 2 2
2
2
Дальше

36. ТЕСТ

Какие знаки имеют следующие выражения:
1. 1. sin 170
2. cos 300
3. tg 160
4. ctg 315
5. tg 450
6. sin 400
7. sin (7п/3)
8. cos (4п/3)
9. 9. sin (5п/4)
10. cos (7п/5)
11. tg (8п/3)
12. ctg(9g/4)
Ответы:
2. +
3. –
4. –
5. Не сущ. 6. +
7. +
8. –
9. –
11. –
12. +.
1.
+
10. –
Упростите:
1) cos( ) sin( / 2) sin( 3 / 2);
2)2 cos( ) cos( 2 ) sin( 3 / 2).
1. 1
–2
Посттест на «3», «4» и «5»
На оглавление

37. Формулы сложения

Цели
Содержание обучения:
Повторить определения
тригонометрических функций;
1.
Косинус и синус суммы и
разности.
Познакомится с формулами
сложения тригонометрических функций;
2.
Тангенс суммы
Научиться применять формулы
сложения
На оглавление
Дальше

38. § 1. Косинус и синус суммы и разности.

Формула косинуса суммы:
cos(a + в) = cosa cosв – sin а sin в.
(1)
Так как cos (– в) = cos в и sin(–в) = – sin в, из этой формулы следует:
cos(a – в) = cosa cosв + sin а sin в.
(2)
Формула синуса суммы имеет вид:
sin(а + в) = sin а cosв + cosa sin в.
(3)
заменив в формуле (3) в на (–в), приходим к формуле синуса разности:
sin(а – в) = sin а cosв – cosa sin в.
(4)
На оглавление
Дальше

39. § 2. Тангенс суммы.

Вывод формулы тангенса суммы дается с помощью предыдущих формул
косинуса и синуса суммы и определения тангенса.
Формула тангенса суммы:
Tg (а + в) = tg а +tg в
1 – tg a tg в , а = п/2(2к+1), в= п/2(2к + 1), tga tgв = 1
(5)
подставляя в формулу (5) вместо в (–в) получим
формулу тангенса разности:
Tg (а – в) = tg а –tg в
1 + tg a tg в, а = п/2(2к+1), в= п/2(2к + 1), tga tgв = 1
На оглавление
Дальше
(6).

40. Тренинг. Решение упражнений

Вычислить:
3
5
1. sin( ), если sin , cos ,
5
13
3
( ; ), ( ; ).
2
2
ответы
3
4
5
12
cos 1 ( ) 2 , sin 1 ( ) 2
5
5
13
13
sin( )
3
5
4
12
33
( ) ( ) ( ) .
5
13
5
13
65
вычислим sin 750 и cos 750.
Заметим, что 750 = 450 + 300
Поскольку синусы и косинусы
углов 45 и 30 градусов известны,
с помощью формул синуса и
косинуса суммы находим, чему
равны синус 750 и косинус 750.
На оглавление
Sin750 =sin(300+45)=sin30 cos45 +
cos30 sin45 = 1 2 3 2 2 6
2
2
2
2
4
Cos75=cos(30 +45 )=cos30 cos45 –
sin30 sin45 = 3 2 1 2 6 2
2
2
Дальше
2
2
4

41.

Вычислим выражения:
1) sin 20 0 cos 40 0 cos 20 0 sin 40 0 sin( 20 0 40 0 )
1) sin 20 0 cos 40 0 cos 20 0 sin 40 0
sin 60 0 3 / 2.
2) cos 47 0 cos 17 0 sin 47 0 sin 17 0.
2) cos 47 0 cos 17 0 sin 47 0 sin 17 0 cos( 47 0 17 0 )
cos 30 0 3 / 2.
Доказать тождества:
2 cos 2 cos( )
4
1)
tg ;
2 sin( ) 2 sin
4
Упрощая левую часть равенства, получим
2
cos cos( )) cos cos cos cos
2
4
4
4
2
2(sin( )
sin ) sin cos cos sin
4
4
4
2
2(
sin
cos
4
4
sin
sin
sin
sin
4
4
sin
tg .
cos
тождество доказано.
На оглавление
Дальше

42. ТЕСТ

задания
1. вычислите: а)sin1050; б)cos150.
ответы
а)sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin60=
б)cos(60-45)= 6 2
4
2. вычислите:
а) cos250 sin650 +sin250 cos650;
б) cos 7п/10 cosп/5 + sin 7п/10 sinп/5
а) sin(65+25)= sin90 = 1;
б) cos (п/2) =0
3. Докажите тождество:
а) cos(a+в)cos(a – в)+ sin(а + в) sin(а – в)=cos2в
б) tga + tg(450 – a) = 1
1 – tgatg(450 –a)
Посттест на «3»
На оглавление
Посттест на «4» и «5»
6 2
4

43. ПОСТТЕСТ НА «3»

1 вопрос
1. вычислите:
sin п/6 cos п/3 + cos п/6 sin п/3
Ответы:
А) 1
Б) 0,5
В)-1

44.

2 вопрос
2. вычислите cos(a + в), если известно, что
sin а =sin в = 5/13 и 0<а<п/2, п/2<в<п
Ответы:
А) 1
Б) –1
В) 0

45.

2-й вопрос
2. вычислите cos(a + в), если известно, что
sin а =sin в = 5/13 и 0<а<п/2, п/2<в<п
Ответы:
А) 1
Б) –1
В) 0

46. ПОСТТЕСТ НА «4» И «5»

1. вычислите:
cos п/7 sin8п/7 – sin п/7 cos8п/7
2. вычислите cos(п/3 – a), если известно,
что cos а = 2/5 и 3п/2<а<2п.
3. докажите тождество:
cos(а + в) cos (a – в)= сos2 в – sin 2a
4.упростите выражение:
cos(а + п/3) – cos(а – п/3)
На оглавление

47. Формулы двойного и половинного аргументов

Цели:
Повторить определения тригонометрических
функций;
Содержание обучения:
1.
Тригонометрические функции
двойного аргумента.
Повторить формулы сложения
тригонометрических функций;
2. Тригонометрические функции
половинного аргумента
Познакомится с формулами двойного и половинного
аргументов тригонометрических функций;
Научиться применять формулы двойного и
половинного аргументов
На оглавление
Дальше

48. § 1. Тригонометрические функции двойного аргумента

Формулы сложения позволяют выразить sin 2a, cos 2a и tg 2a через тригонометрические функции
угла а. Положим в формулах:
cos(a + в) = cosa cosв – sin а sin в; sin(а + в) = sin а cosв + cosa sin в;
Tg (а + в) = tg а + tg в
1 – tg a tg в
в равным а. Получим тождества:
sin 2a = 2 sin a cos a,
(1)
cos 2a = cos2 a – sin2 a,
(2)
tg 2a = 2 tg a , а= п/2+пk, а=п/4+пk/2.
(3)
1 – tg2 a
ctg2a = ctg2 a –1 , а= пk/2
(4)
2 ctga
Эти тождества называют формулами двойного угла.
Если выразить правую часть формулы (2) через синус или косинус, то приходим к следующим
тождествам:
cos 2a = 2 cos2 a – 1
(5)
2
cos 2a = 1 – 2 sin a
(6)
На оглавление
Дальше

49. § 2. Тригонометрические функции половинного аргумента

sin2 a = 1 – сos 2a
Если из формул (5) и (6) выразить cos2 a и sin2 a, получим:
cos2 a = 1 + cos 2a
2
заменим теперь а на а/2, получим:
sin2 a = 1 – сos 2a
cos2 a = 1 + cos 2a
2
2
2
2
значит :
sin a = + 1 – сos a
(7)
cos a = + 1 + cos a
(8)
2
2
2
tg a = sin a/2 = sin a
(9)
2
tg a = + 1 – cos a
,
а=п(2k+1) (10)
2
cos a/2
1+cos a.
ctg a = cos a/2 = sin a
2
(11)
1 + cos a
ctg a = + 1 + cos a , а=2п
(12)
2
sin a/2
1–cos a.
2
1 – cos a
В формулах (7) и (8), знак перед корнем определяется по знаку четверти, которой
На
оглавление
Дальше
принадлежит дуга а/2.
В формулах (10) и (12), знак перед корнем берется так, чтобы он совпадал со знаком
tg(a/2), т.е. +, если I

50. Тренинг. Решение упражнений

известно, что sin a = 0,6, и 0<a<п/2. Вычислите sin2a, cos2a, tg2a.
Из основного тригонометрического тождества: cos2 a+ sin2 a = 1 выразим cosa и
вычислим его значение: cosa = 0,8
найдем sin 2a = 2 sin a cos a: sin 2a = 2*0,6*0,8 =0,96
Найдем cos 2a = cos2 a – sin2 a: cos 2a = 0,64 – 0,36 = 0,28
Найдем tg 2a = sin 2a :
tg 2a = 0,96/0,28 = 24/7
сos 2a
1.
упростите: 1 + cos a tg2 a – cos2 a
1 – cos a
2
разложим тангенс половинного угла: tg2 a = 1 – cos a
2 1 + cos a
Сократим, приведем подобные: 1 + cos a 1 – cos a – cos2a=1–cos2a = sin2 a
1 – cos a* 1 + cos a
2.
3.
Вычислить tg(a/2), если: sina = 4/5 и п/2<a<п;
4
3
Находим cos 1 ( ) 2
5
5
На оглавление
По формуле (9)
tg
2
4
3
(1 ) 2.
5
5
Дальше

51. ТЕСТ

Задания
1. известно, что cos a = –5/13 и sin a >0.
Найдите sin2a, cos2a, tg2a.
Ответы
sin2a= 120 ; соs2а=
tg2a=
2. найдите sina/2, cosa/2 и tga/2, если
cosa= – 12/13 и а принадлежит
IIIчетверти.
sin
169
120
119
119
169
;
а
25
а
1
а
25
5
; соs
; tg
2
26
2
26
2
1
3.упростите выражение:
1 – cos a . сtg a – sin2 a
1 + cos a
2
соs2 a
4. упростите выражение:
1 – 2 sin2 a + cos2a
2 cos2a
На оглавление
Дальше

52. ПОСТТЕСТ

На «3» решить первые 3 задания.
На «4-5» решить соответственно 4 и 5 заданий.
I вариант
II вариант
1. пусть cos a= –0,6 и а – угол III
четверти, найдите sin2a, cos2a, tg2a.
1. пусть tg a= 3/4 и а – угол III
четверти, найдите sin2a, cos2a, tg2a.
2. вычислите 2 sin 15 cos 15
2. вычислите 2 sin 30 cos 30
3. докажите тождество:
(sin a + cos a) – sin 2a = 1
3. докажите тождество:
4 sin a cos a cos 2a = sin 4a.
4. Упростите выражение:
4.упростите выражение:
4 сos a/4 cos (2п + а)/4 cos (2п +а)/2
4 sin a/2 sin (п – а)/2 sin (3п/2 – а)
5. упростите выражение:
sin cos
cos 2 sin 2
На оглавление
5. упростите выражение:
2 sin 2 1
1 2 cos 2

53. Формулы приведения

Цели
Содержание обучения:
Узнать свойства полупериода синуса и
косинуса.
1. Свойства полупериода синуса и косинуса.
Познакомиться с формулами приведения;
2. Формулы приведения.
Применять формулы для нахождения
тригонометрических функций
На оглавление
Дальше

54. § 1. Свойства полупериода синуса и косинуса

Функции синус и косинус при уменьшении или увеличении аргумента на изменяются
только по знаку:
Sina = – sin(a + )
(1)
Cosa = – cos(a + )
(2)
Если к аргументу прибавить , умноженное на любое нечетное число, то получатся формулы:
Sina = – sin[a + (2k+1)]
(3)
Cosa = – cos[a + (2k+1)]
(4)
Т.е. функции синус и косинус при изменении аргумента на (2k+1) изменяются только
по знаку.
На оглавление
Дальше

55. § 2. Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрические функции углов
3
, ,
,2 через тригонометрические функции угла .
2
2
Функция
Аргумент
–
(90 – )
(90 + )
2
2
sin
cos
tg
ctg
– sin
cos
– tg
–ctg
cos
sin
ctg
tg
cos
– sin
– ctg
– tg
(180 – )
sin
– cos
– tg
– ctg
(180 + )
– sin
– cos
tg
ctg
На оглавление
Дальше

56. Тренинг. Решение упражнений

Вычислить:
1) sin 150 0 ;
2) sin( 120 0 );
0
3) cos 225 ;
4) cos( 240 0 ).
В примерах 1) – 4) используем формулы (1) и (2), а также свойства
четности и нечетности тригонометрических функций:
1) sin 150 0 sin( 150 0 180 0 ) sin( 30 0 ) 1 / 2;
2) sin( 120 0 ) sin( 120 0 180 0 ) sin 60 0
3
;
2
2
;
2
4) cos( 240 0 ) cos( 240 0 180 0 ) cos( 60 0 ) cos 60 0 1 / 2.
3) cos 225 0 cos( 225 0 180 0 ) cos 45 0
Вычислить:
7
1) sin( );
6
2
2) cos( ).
3
7
1
1
) sin( 1 ) sin( ) sin ;
6
6
6
6 2
2
2
1
2) cos( ) cos(
) cos .
3
3
3
2
1) sin(
На оглавление
Дальше

57. ТЕСТ

Вычислить:
0
1) sin 135 ;
2)ctg150 0 ;
0
3) cos 70 .
Вычислить:
2
);
3
3
2) cos( ).
4
1) sin(
2
;
2
2) 3 ;
1)
3) sin 20 0.
3
;
2
2
2)
.
2
1)
Вычислить:
1) sin( 810 0 ) cos( 900 0 ) tg( 3950 ) ctg5750 ;
13
17
22
37
2) sin(
) cos(
) tg(
) ctg(
).
6
3
3
4
На оглавление
1) 3;
2) 3 1.
Посттест на «3»
Посттест на «4» и «5»

58. Посттест на «3»

1. Вычислить:
cos 2400.
Ответы:
А) -1/2
Б) 1/2
В) 1

59. 2 задание

Вычислить:
sin( 23830 ) cos( 4950 ) sin( 20230 ).
Ответы:
2
А)
.
2
Б ) 3.
В) 1 / 2.

60. 2-е задание

Вычислить:
sin( 2383 ) cos( 495 ) sin( 2023 ).
0
2
А)
.
2
0
Б ) 3.
0
В) 1 / 2.

61. Посттест на «4» и «5»

Вычислить:
1) sin 1200 0 cos 1410 0 3tg930 0.
Упростите:
tg(
2
) ctg ( ) cos(
sin( )
Докажите тождество:
3
1 ctg 2 ( )
tg( )
3
)
2
2
2
1
1 ctg 2 ( 2 )
ctg( )
2
На оглавление

62. Формулы суммы и разности тригонометрических функций

Цели
Содержание обучения:
Познакомиться с формулами суммы и разностиФормулы суммы и разности
тригонометрических функций;
косинусов (синусов)
Применять формулы для нахождения
тригонометрических функций.
На оглавление
Преобразование произведения
тригонометрических функций в
алгебраическую сумму.
Дальше

63. § 1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.

Сумму и разность синусов и косинусов можно представить в виде произведения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin a + sin в, положим а = х+у и
в = х–у и воспользуемся формулами сложения. Получим:
Sin a + sinв = sin (x+y) + sin (x –y) = sinxcosy + cosxsiny + sinxcosy – cosxsiny = 2sinxcos
Из условий а = х + у и в = х– у находим, что х = (а + в) /2 и у = (а – в)/2. Тогда
sin a + sin в = 2 sin (a + в) сos (a – в)
(1)
2
2
получили формулу суммы синусов двух углов.
Аналогично можно вывести формулы разности синусов, суммы и разности косинусов.
sin a – sin в = 2 sin (a – в) сos (a + в)
(2)
2
2
cos a + cos в = 2 cos (a + в) сos (a – в)
(3)
2
2
cos a – cos в = –2 sin (a + в) sin (a – в)
(4)
2
2
На оглавление
Дальше

64.

sin( a b)
, a k , b k
cos a cos b
2
2
sin( a b)
tga tgb
, a k , b k
cos a cos b
2
2
tga tgb
Часто используются также следующие формулы:
a
;
2
a
1 cos a 2 sin 2 ;
2
1 cos a 2 cos 2
a
);
4 2
a
1 sin a 2 sin 2 ( ).
4 2
1 sin a 2 cos 2 (
На оглавление
Дальше

65. § 2. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму.

1
sin cos [sin( ) sin( )];
2
1
cos cos [cos( ) cos( )];
2
1
sin sin [cos( ) cos( )].
2
На оглавление
Дальше

66. Тренинг. Решение упражнений

Алгоритм решения
Решение
упростим сумму:
sin 10 + sin 50
воспользуемся формулой суммы
синусов
sin10+sin50=2sin(10+50)/2cos(10–50)/2
=2sin30cos(–20) = 2 * ½ * cos 20= cos 20
представьте в виде произведения:
cos 0,3п – sin 0,6п
1. sin 0,6п = sin 6п/10 = sin 3п/5,
переведем его в градусы.
2. сos 0,3п тоже переведем в градусы.
3. Представим синус в виде суммы
sin 108 = sin (90+18), разложим по
формуле синуса суммы.
4. Получилось выражение: cos 54 –
cos18, разложим его по формуле разность
косинусов.
5. Упростим выражение и получим:
–2 sin 36 cos 18
sin 3п/5= sin 108
2. cos 0,3п = cos 54
3. sin 108 = sin (90+18)=sin90cos18 +
+cos90 sin18 = cos18, т.к. косинус 90
равен нулю.
4. cos54–cos18= –2sin(54+18)/2*sin(54
–-18)/2
5. cos54–cos18= –2 sin 36 cos 18
1.
2.
На оглавление
1.
Дальше

67. Тест

Задания
Ответы
1. разложите на множители
выражение:
a)sin 3a + sin a; б) cos y – cos 3y.
а) 2sin(2a)cosa;
б) –2sin(2y)sin(-y)=2sin(2y)siny
2. представьте в виде
произведения:
sin 15 + cos 65.
Sin15 = sin(90-75) = sin90cos75–
cos90sin75 =
= cos75,
cos75 + cos65 = 2 cos70cos5
3. докажите, что:
sin a sin 2a sin 4a sin 5a
tg3a.
cos a cos 2a cos 4a cos 5a
4. вычислите:
4 sin
8
cos
8
; сos
2
8
sin
2
8
5. проверьте, что:
sin 10 + sin 50 – cos 20 = 0
На оглавление
.
.
2;
2
2
Посттест на «3», «4» и «5»
Выбрать 2 вариант

68. Обратные тригонометрические функции. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции.

Цели
Содержание обучения:
Узнать обратные тригонометрические функции. 1. Обратные
тригонометрические функции.
Познакомиться со способом построения и
2. Построение дуги (угла) по
нахождением дуги (угла) по данному значению
заданному значению
тригонометрической функции;
тригонометрической функции.
Применять формулы для нахождения дуг (углов).
На оглавление
Дальше

69. § 1. Обратные тригонометрические функции

Функция y = sinx на отрезке [– /2; /2] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая
называется арксинусом и обозначается y = arcsin x:
D (arcsin x)= [–1; 1], E (arcsin x) = [– /2; /2];
Sin (arcsin x)= x, где х [–1; 1]; arcsin (–x) = – arcsin x.
Функция y = cos x на отрезке [0; ] обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая
называется арккосинусом и обозначается y = arccos x:
D (arccos x)= [–1; 1], E (arccos x) = [0; ];
cos (arccos x)= x, где х [–1; 1]; arccos (–x) = – arccos x.
Функция y = tg x на промежутке (– /2; /2) обратима, т.е. имеет обратную функцию,
которая называется арктангенсом и обозначается y = arctg x:
D (arctg x)= R, E (arctg x) = (– /2; /2);
tg (arctg x)= x, где х R; arctg (–x) = – arctg x.
Функция y = ctg x на промежутке (0; ) обратима, т.е. имеет обратную функцию, которая
называется арккотангенсом и обозначается y = arcctg x:
D (arcctg x)= R, E (arcctg x) = (0; );
ctg (arcctg x)= x, где х R; arcctg (–x) = – arcctg x.
На оглавление
Дальше

70. § 2. Построение дуги (угла) по данному значению тригонометрической функции

Найти множество дуг , синус которых равен а.
На оси OY единичной окружности построим точку N (0;a)
и проведем через нее прямую, параллельную оси ОХ.
1.
Пусть |а| < 1; тогда прямая y = а пересечет единичную
окружность в точках М1 и М2 (см.рис.), симметричных
относительно оси OY.
Точке М1 соответствует дуга АМ1 = arcsin a, а точке М2
– дуга – arcsin a. Каждая из этих дуг имеет синус
равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М1 и
имеющих синус, равный а, выражается формулой:
= arcsin a +2 k (k ),
а множество дуг, оканчивающихся в точке М2 и имеющих синус, также равный а,
выражается формулой:
= – arcsin a +2 k (k ),
n
т.к. (–1) = 1 при n = 2k (т.е. если n – четное) и (–1) = –1 при n = 2k +1 (n – нечетное),
то эти две формулы можно объединить в одну: = (–1)n arcsin a + n (n ).
1.
Частные случаи: а) если а = 1, то
На
2
2 k , ( k Z )
б) если а = –1, то 2 k , ( k Z )
2
оглавление
Дальше

71.

2.
Найти множество дуг , косинус которых равен а.
На оси OX единичной окружности построим точку N (a;0)
и проведем через нее прямую, параллельную оси ОY.
1. Пусть |а| < 1; тогда прямая x = а пересечет единичную
окружность в точках М1 и М2 (см.рис.), симметричных
относительно оси OX.
Точке М1 соответствует дуга АМ1 = arccos a, а точке М2
– дуга – arccos a. Каждая из этих дуг имеет косинус
равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точке М1 и
имеющих косинус, равный а, выражается формулой:
= arccos a +2 k (k ),
а множество дуг, оканчивающихся в точке М2 и имеющих косинус, также равный а,
выражается формулой:
= – arccos a +2 k (k ),
эти две формулы можно объединить в одну:
= arccos a +2 n (n ).
Частные случаи: а) если а = 1, то
2 k , ( k Z )
б) если а = –1, то
На оглавление
2 k , (k Z )
Дальше

72.

3. Найти множество дуг , тангенс которых равен а.
На оси тангенсов построим точку N (1;a).Проведем через
эту точку и начало координат прямую, которая пересечет
единичную окружность в точках М1 и М2 (см.рис.).
Тангенс дуг АМ1 и АМ2 равен ординате а точки N –
точке пересечения продолжения радиуса ОМ1 с осью
тангенсов.
Точке М1 соответствует дуга АМ1= arctg a,
а точке М2 соответствует дуга АМ2= arctg a + .
Каждая из этих дуг имеет тангенс равный а.
Множество дуг, оканчивающихся в точках М1 и М2 записывается общей формулой:
= arctg a + n (n ).
На оглавление
Дальше

73.

4. Найти множество дуг , котангенс которых равен а.
На оси котангенсов построим точку N (a;1).Проведем через
эту точку и начало координат прямую, которая пересечет
единичную окружность в точках М1 и М2 (см.рис.).
Котангенс дуг АМ1 и АМ2 равен абсциссе а точки N –
точке пересечения продолжения радиуса ОМ1 с осью
котангенсов.
Точке М1 соответствует дуга АМ1= arcctg a,
а точке М2 соответствует дуга АМ2= arcctg a + .
Каждая из этих дуг имеет котангенс равный а.
Множество дуг, оканчивающихся в точках М1 и М2 записывается
общей формулой:
= arсctg a + n (n ).
На оглавление
Дальше

74. Тренинг. Решение упражнений

Алгоритм решения
Решение
Записать главные дуги, синус
которых равен: 1) 0; 2) –1;
3) 1; 4) 3/2; 5) –1/2.
1) = arcsin0 = 0;
2) = arcsin(–1)= –
arcsin1 = – /2;
3) = arcsin1 = /2;
4) = arcsin 3/2 = /3;
5) = arcsin(–1/2) = – arcsin(1/2)= – /6.
Записать множество дуг, синус
которых равен ½.
На окружности имеются две точки, служащие
концами дуг 1 и 2, синус которых равен ½:
1= arcsin1/2 = /6 и 2= – arcsin1/2 = – /6.
Следовательно, искомое множество дуг выражается
формулами: 2 k и 2 k ( 2k 1)
6
6
или ( 1) n 6
n, (n Z )
6
Построить главные дуги arcsin
(2/5) и arcsin (–2/5).
На оглавление
Дальше

75.

Записать главные дуги,
косинус которых равен: 1) 0;
2) 1; 3) –1; 4) – 2/2; 5)
1/2.
1) = arccos0 = /2;
2) = arccos1=0;
3) = arccos(–1) = ;
4) = arccos(– 2/2) = – arccos(– 2/2)= –
/4=3 /4 ;
5) = arccos1/2 = /3.
Записать множество дуг,
косинус которых равен ½.
На окружности имеются две точки,
служащие концами дуг 1 и 2, косинус
которых равен ½:
1= arccos1/2 = /3 и 2= – arccos1/2 = – /3.
Следовательно, искомое множество дуг
выражается формулой: .
Построить главные дуги
arccos (2/3) и arccos (–2/3).
На оглавление
Дальше
3
2 n, ( n Z )

76.

Записать главные дуги, тангенс
которых равен: 1) 0; 2) 1; 3)
–1; 4) – 3/3; 5) 3.
1) = arctg0 = 0;
2) = arctg1= /4;
3) = arctg(–1) = –arctg1= – /4;
4) = arctg(– 3/3) = – arctg( 3/3)= – /6 ;
5) = arctg 3= /3.
Записать множество дуг, тангенс
которых равен 3.
На окружности имеются две точки, служащие
концами дуг 1 и 2, тангенс которых равен 3:
1= arctg 3 = /3 и 2= arctg 3+ = /3+ .
Следовательно, искомое множество дуг
выражается формулой: .
n, ( n Z )
3
Построить главные дуги arctg
(4/3) и arctg (– 4/3).
На оглавление
Дальше

77.

Записать главные дуги, котангенс
которых равен:
1) 3/3; 2) –1;
3) 3; 4) –– 3.
1)
= arcctg( 3/3) = /3;
2)
= arcctg(–1)= – arcctg1= – /4=3 /4;
3) = arcctg 3 = /6;
4) = arcctg(– 3)= – arcctg 3= – /6= 5 /6.
Записать множество дуг,
котангенс которых равен 3.
На окружности имеются две точки, служащие
концами дуг 1 и 2, косинус которых равен 3:
1= arcctg 3 = /6 и 2= arcctg 3 + = /6 + .
Следовательно, искомое множество дуг
выражается формулой: .
6
Построить главные дуги arcctg1 и
arcctg (–1).
На оглавление
Дальше
n, ( n Z )

78. Тест

Задания
Записать главные дуги, синус которых
равен: 1) 1/2; 2) 2/2; 3) – 2/2.
Записать множество дуг, синус которых
равен 3/2.
Ответы
1) /6; 2) /4; 3) – /4.
( 1) k
3
k , ( k Z )
Построить главные дуги arcsin (1/3) и
arcsin (–1/3).
Записать множество дуг, косинус
которых равен 1)–½; 2) 3/2.
Построить главные дуги arccos (4/5) и
arccos (–4/5).
Записать главные дуги, тангенс
которых равен: 1) ½; 2) 3/3; 3) – 3.
На оглавление
1)
2)
2
2 k , ( k Z );
3
6
2 k , ( k Z ).
1)arctg(1/2); 2) /6;
Посттест
3)– /3.

79. Посттест на «3», «4» и «5»

На «3» выполнить первые два задания.
На «4» выполнить первые три задания.
На «5» выполнить все задания.
Построить дуги, косинус которых равен (0,6).
Записать множество дуг, тангенс которых равен
1)–1; 2) 3.
Записать главные дуги, котангенс которых
равен 3/3
Вычислить cos(a/2), если cos a= 369
и . 180 a 270
0
На оглавление
0
625

80. Тригонометрические уравнения и тригонометрические неравенства

Цели
Решать простейшие тригонометрические
уравнения.
Содержание обучения:
Тригонометрические уравнения.
Тригонометрические неравенства.
Решать простейшие тригонометрические
неравенства
На оглавление
Дальше

81. § 1. Тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения
sinx = m, cos x = m, tg x = m, ctg x = m,
где m – данное число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений
аргументов (дуг или углов), при которых данная тригонометрическая функция принимает
заданное значение m.
1. Решить уравнение sinx = m.
Решение: Если |m| 1, то на единичной окружности имеются
две дуги arcsin m и – arcsin m, синус которых равен m и
концы которых симметричны относительно оси OY.
Наименьшая по абсолютной величине дуга arcsin m из
промежутка ; , синус которой равен m, называется
2 2
главным решением уравнения sinx = m. Множество всех
искомых дуг, удовлетворяющих уравнению sinx = m, находится прибавлением к
найденным двум дугам любого целого числа периодов синуса:
arcsin m 2 k,
или
х
arcsin m 2 k ,
arcsin m 2 k,
х
arcsin m (2k 1).
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х = (–1)n arcsin m + n (n ).
На оглавление
Дальше

82.

Если |m|>1, то уравнение решения не имеет.
Частные случаи:
1) sinx = –1,
;
х 2 k , ( k Z )
2
2)
sinx = 0,х k , ( k Z )
3)
sinx = 1,х
2
На оглавление
;
2 k , ( k Z )
Дальше

83.

2.
Решить уравнение cosx = m.
Решение: Если |m| 1, то на единичной окружности имеются две дуги arccos m и – arccos m,
косинус которых равен m и концы которых симметричны относительно оси OХ.
0;
Наименьшая по абсолютной величине дуга arccos m из промежутка
, косинус которой
равен m, называется главным решением уравнения cosx = m. Множество всех искомых дуг,
удовлетворяющих уравнению cosx = m, находится прибавлением к найденным двум дугам
любого целого числа периодов косинуса
х = arccos m + k (k ).
Если |m|>1, то уравнение решения не имеет.
Частные случаи:
1)
cosx = –1,х 2 k , илих ( 2k 1), k Z
;
2)
3)
cosx = 0,х
k , ( k Z )
2
cosx = 1,х 2 k , ( k Z )
На оглавление
;
Дальше

84.

Решить уравнение tgx = m.
Решение: Наименьшая по абсолютной величине дуга arctg m из промежутка 2 ; 2
,
тангенс которой равен m, называется главным решением уравнения tgx = m. Множество
всех искомых дуг, удовлетворяющих уравнению tgx = m, находится прибавлением любого
целого числа периодов тангенса
х = arctg m + k (k ).
3.
Частный случай:
tgx = 0,х k , ( k Z )
4.
Решить уравнение сtgx = m.
Решение: Наименьшая положительная дуга arсctg m из промежутка
, котангенс
0;
которой равен m, называется главным решением уравнения сtgx = m. Множество всех
искомых дуг, удовлетворяющих уравнению сtgx = m, находится прибавлением любого
целого числа периодов котангенса
х = arcсtg m + k (k ).
Частный случай:
сtgx = 0,х k , (k Z )
2
На оглавление
Дальше

85.

§ 2. Тригонометрические неравенства.
Простейшими тригонометрическими неравенствами называются неравенства
sinx < m, sinx > m, cos x < m, cosx > m, tg x < m, tgx >m, ctg x < m, ctgx > m,
где m – данное число.
Решить простейшее тригонометрическое неравенство – значит найти множество всех
значений аргументов (дуг или углов), которые обращают данное неравенство в верное
числовое неравенство.
На оглавление
Дальше

86. Тренинг. Решение упражнений

Алгоритм решения
Решение
1) Решить уравнение sinx = ½.
Главным решением является дуга АМ1
= /6 из промежутка ; ,
2 2
синус которой ½.
Множество корней уравнения имеет
вид:
х = (–1)n arcsin 1/2 + n, (n )
х = (–1)n /6 + n, (n ).
2) Решить неравенство: sinx < ½.
Учитывая свойство ограниченности
синуса, данное неравенство можно
переписать так: –1< sinx < ½. Имеем:
АМ1 = /6, АМ2 = – – /6= – 7 /6.
Неравенству sinx < ½ удовлетворяют
дуги из промежутка 7 ; .
6
6
Т.к. синус периодическая функция, то
надо добавить период:
7
2 k ; 2 k , k .
6
6
На оглавление
Дальше

87.

3). Решить неравенство: |sinx| >
½.
Это неравенство выполняется
для всех дуг х1 < x < x2 и х3 < x <
x4 , где х1 = /6,
х2 = – /6 = 5 /6,
х3 = х1 + = /6 + ,
х4 = х2+ = 5 /6+ , т.е.
/6 < x< 5 /6, и /6+ < x <
5 /6+ . Общим решением служит
множество дуг вида:
5
, k .
k
k ;
6
6
4)
Решить уравнение cosx = –½.
Главным решением является дуга
АМ1 = – /3=2 /3 из промежутка
0;
косинус которой –½.
Множество корней уравнения
имеет вид:
х = arcсоs(–1/2) + 2 n, (n )
х = 2 /3 + 2 n, (n ).
На оглавление
Дальше

88.

5) Решить неравенство: соsx >– ½.
Перепишем данное неравенство
так: –1/2< cosx < 1.
Неравенству cosx >–½
удовлетворяют дуги из
промежутка 2 ; 2 . Общим
3 3
решением будет:
2
2
2 k ;
2 k , k .
3
3
6) Решить неравенство: соsx <– ½.
Перепишем данное неравенство
так: –1 cosx < -1/2. Имеем: АМ1 =
– /3=2 /3, АМ2 = + /3= 4 /3.
Неравенству cosx < –½
удовлетворяют дуги из
2 4
промежутка 3 ; 3
. Т.к.
косинус периодическая функция,
то:
4
2
2 k ;
2 k
3
3
, k .
На оглавление
Дальше

89.

7) Решить неравенство: |соsx| > 2/2.
Это неравенство выполняется для всех дуг х1 < x < x2 и
х3 < x < x4 , где х1 = /4,
х2 = – /4,
х3 = х1 + = /4 + ,
х4 = х2 – = – /4 – , т.е. для
– /4 < x< /4, и – /4– < x < /4+ .
Общим решением служит множество дуг вида:
k ; k
4
4
, k .
8) Решить уравнение tgx = 3.
Главным решением является дуга /3 из промежутка 2 ; 2
тангенс которой равен 3. Множество корней уравнения
имеет вид: х= /3+ k, k .
9) Решить неравенство: tgx > 3.
Учитывая свойство неограниченности тангенса, запишем
3< tgx <+ . Неравенству
tgx > 3 удовлетворяют дуги из
;
промежутка: 3 2 , учитывая период:
k ; k
2
3
На оглавление
, k .
Дальше

90.

10) Решить уравнение сtgx = –1.
Главным решением является дуга – /4=3 /4
из промежутка 0; , котангенс которой
равен –1. Множество корней уравнения имеет
вид: х=3 /4+ k, k .
11) Решите неравенство ctgx >1.
Учитывая свойство неограниченности
котангенса, запишем 1< сtgx <+ .
Неравенству сtgx > 1 удовлетворяют дуги из
промежутка: 0; , учитывая период:
4
k
;
k , k .
4
На оглавление
Дальше

91. Тест

Задания
Ответы
Решить уравнение sinx = 2/2;
х = (–1)n /4 + n, (n ).
Решите неравенства: 1) |sinx|<1/2;
2)sinx >– 3/2.
1)
Решить уравнение 1)cosx = – 2/2;
2) cosx = 3/2;
Решите неравенства: 1) |cosx|<1/2;
2)cosx >–1.
Решить уравнение tgx = – 3/3
Решите неравенство tgx<– 3
На оглавление
k ; k
6
6
, k .;
4
2 k ;
2 k
2) 3
3
, k .
1) х = 3 /4 + 2 n, (n ).
2) х = /6 + 2 n, (n ).
1)
2
k
k ;
3
3
, k .;
2) 2 k ;2 k , k .
6
k
, k
k ; k , k .
3
2
Дальше

92. Посттест

На «3» решить по 2 любых уравнения и неравенства (без построений), (всего 4 примера).
На «4» решить по три любых уравнения и неравенства (можно уравнения без построений),
(всего 6 примеров).
На «5» выполнить все с построениями.
Решить уравнения
1) sinx = – 3/2;
2) cosx = 1/2;
3)
tgx = 1;
4) ctgx = 3.
Решите неравенства
1) sinx < – 3/2;
2) cosx < 1/2;
3) |tgx| < 3;
4) |ctgx| < 1.
На оглавление

93. Решение тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств

Цели
1. Решать тригонометрические уравнения.
Содержание обучения:
Примеры решения различных
тригонометрических уравнений.
2. Решать тригонометрические неравенства
Примеры решения различных
тригонометрических неравенств
На оглавление
Дальше

94. § 1. Примеры решения различных тригонометрических уравнений

1.
Решить уравнение sin2 x = m.(0 m 1)
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям
sinx = m и sinx = – m. Записав решение каждого из них по общей формуле, получим:
х k ( 1) k arcsin m
и .х k ( 1) k arcsin m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х = n arcsin m , (n ).
2.
Решить уравнение cos2 x = m.(0 m 1)
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям cosx = m и cosx = – m.
Записав решение каждого из них по общей формуле, получим
х 2 k arccos m хи . 2 k ( arccos m ) (2k 1) arccos m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х = n arccos m , (n ).
На оглавление
Дальше

95.

3. Решить уравнение tg2 x = m.
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям tgx = m и tgx = – m.
Записав решение каждого из них по общей формуле, получим:
х k arctg m и х. k arctg m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х = k arctg m , (k ).
4.
Решить уравнение ctg2 x = m.
Решение: Данное уравнение сводится к двум простейшим уравнениям сtgx = m и сtgx = – m
Записав решение каждого из них по общей формуле, получим:
х k arcсtg m
и .х k arcсtg m
Множество корней уравнения можно записать одной формулой:
х = k arcсtg m , (k ).
На оглавление
Дальше

96. § 2. Примеры решения различных тригонометрических неравенств

sin
1)
3
х 1
2 2
4 k x
6
5
4 k ;
3
tg 2 x 1
2)
4
k
2
х 5
2 k ;
домножим выражение на 2:
2 6
5
или х ( 3 4 k ; 3 4 k )
, k .
. Имеем: 2 k
x
k 2 х k ;
. Имеем:
2
4
8
k
2
;
На оглавление
или х (
4
k
2
;
разделим все выражение на 2:
8
k
2
).
Дальше

97. Тренинг. Решение упражнений

Алгоритм решения
Решение
1) Решить уравнение sin2x = ½.
2х = (–1)n arcsin 1/2 + n, (n )
2х = (–1)n /6 + n, (n ). Разделим выражение
на 2.
Множество корней уравнения имеет
вид:
х = (–1)n /12 + n/2, (n ).
2)
Решить уравнение tg(3x + 2)= –1.
3х 2
3x
3)
4
4
k ;
2 k ;
Решить уравнение ctg x2 =0
х2
2
| k |,
4) Решить уравнение cos(cosx) = ½.
х = arcсоs(1/2) + 2 n, (n )
х = /3 + 2 n, (n ).
На оглавление
Множество корней уравнения имеет
вид:
2 k
x
;
(k ).
12
3
3
Множество корней уравнения имеет
вид:
х
| k |,
(k ).
2
Это уравнение не имеет корней, т.к.
при любом k его правая часть
превосходит единицу по
абсолютной величине.
Дальше

98.

Решить уравнение 2. sin 2 х 7 sin x 3 0
Сделаем замену: sinx = t. Имеем:
2 t2 – 7 t + 3 = 0. Данное квадратное
уравнение решаем относительно t.
Получаем корни: t1 = ½; t2 = 3.
Возвращаемся к исходной величине: sinx1 = ½;
sin x2 = 3.
sin x = ½; х = (–1)n /6 + n, (n )
Уравнение sinx = 3 решения не имеет, т.к.
область значений [–1;1].
6)Решить уравнение 4соs 2 х sin x 1 0
Воспользуемся тригонометрическим
2
тождеством и получим: 4(1 sin х) sin x 1 0 ,
после преобразования имеем: 4 sin 2 х sin x 3 0
Решаем аналогично предыдущему и получаем:
sin x = – ¾ и sin x = 1.
Множество корней данного
уравнения имеет вид:
х = (–1)n /6 + n, (n )
7) Решить уравнение 3. сtg3х tg3x 3 0
Из определения tgx и сtgx, знаем, что
знаменатели sin3x и cos 3x. Знаменатель не
должен быть равен 0, поэтому: 3х k , 3x
/2+ k, т.е. x k/3, x /6+ k/3. Заменяя ctg3x
на 1/tg3x, получим:
1
2
Множество корней данного
уравнения имеет вид:
пk пk
1
5)
2
На оглавление
tg3x
Множество корней данного
уравнения имеет вид:
х = (–1)n+1 arcsin3/4 + n, (n ) и
х = /2 + n, (n )
;
k Z
arctg 2
3 12 3
3
tg3x 3 0; tg 3x 3tg3x 2 0;
1
пk
tg3x 2,3x arctg 2 k , x arctg 2
;
3
3
пk
tg3x 1,3x k , x
4
12 3
Дальше

99.

tgх cos x tgx cos x 1 0
8)
Решить уравнение
.
По определению тангенса в знаменателе
cosx 0, x /2+ k. Разложим левую часть на
множители, а затем приравняем каждый из
сомножителей к нулю:
Уравнению удовлетворяет
множество корней вида:
(2k 1), x k | k Z
4
tgx(cos x 1) (cos x 1) 0; (cos x 1)(tgx 1) 0;
cos x 1 0, cos x 1, x (2k 1)
tgx 1 0, tgx 1, x
4
k
tg 3. х tgx
9)
Решить уравнение
По определению тангенса в знаменателе
cosx 0, x /2+ k. Имеем:
Уравнению удовлетворяет
множество корней вида:
k , x k | k Z
4
tg 3 х tgx 0, tgx(tg 2 x 1) 0, tgx 0, tg 2 x 1 0
х k , x
10)
4
k.
Решить уравнение
sin х сosx 0
Имеем sin х сosx,
sin х
1
сosx
,
.
x
4
k | k Z
сosx 0, ( х / 2 k ), tgx 1
На оглавление
Дальше

100.

11) Решить уравнение
sin. 2 х 4 sin xсosx 3 cos 2 х 0
Поделим все слагаемые на cos2 x, получим:
sin 2 х 4 sin xсosx 3 cos 2 х
0; ( х k ),
2
2
2
2
cos х
cos х
cos х
2
tg х 4tgx 3 0,
k , k Z
4
x arctg 3 k , k Z
х
решаем его аналогично 5) и 6) примерам,
получим: tgx = 1; tg x = 3.
х
4
k , x arctg 3 k , k Z
2 sin 2 х 5 sin xсosx cos 2 х 4 0
12) Решить уравнение
.Свободный член можно представить как 4*1,
где 1 разложить по основному
тригонометрическому тождеству. Получим:
. 2 sin 2 х 5 sin xсosx cos 2 х 4(sin 2 х соs 2 х) 0
После преобразований получим однородное
уравнение: 2 sin 2 х 5 sin xсosx 3 cos 2 х 0
Поделим все слагаемые на cos2 x, получим:
решаем его аналогично 5) и 6) примерам,
получим: 2 sin 2 х 5 sin xсosx 3 cos 2 х
х
4
k , x arctg
0; ( х k ),
2
cos 2 х
cos 2 х
cos 2 х
2
2tg х 5tgx 3 0,
tgx = 1; tg x = 3/2.х k , k Z
4
x arctg
3
k , k Z
2
На оглавление
Дальше
3
k , k Z
2

101. Тест

Задания
Решить уравнения:
х
1
sin(
1) 2 6 ) 4
2) tg(3x + 1) = 1;
3) sin(cosx)=0.
Решите неравенства:
1)
sin2x < –1/2;
2)
cos(x/2) >–1/2;
Решить уравнение
1) sin2 x = 1/2;
2) tg2 x = 1;
3) ctg2 x = 3.
Решить уравнения:
1) 2 sin 2 х 3 sin x 3 0
;
2) 2 sin х 3соsx 0
;
2
2
3) sin х 6 sin xсоsx 5 cos х 0
;
2
2
4) 9 sin х 32 sin xсоsx 25 cos х 25. ;
На оглавление
Ответы
1) х = 2(–1)n arcsin(1/4)– /3 + 2 n,
(n );
2) х = /12 – 1/3 + n/3, (n );
3)
1) 5 k ; k , k .;
2)
12
12
4
4
4 k ;
4 k
3
3
1)
2)
3)
х = /4 + n, (n ).
х = /4 + n, (n ).
х = /6 + n, (n ).
1)
2 k ;
, k .
2 k
3
, k .
x arctg1,5 k , k Z
2)
;
k , arctg 5 k | k Z
3)
4
4) k , arctg 2 k | k Z ;
;
Посттест (выбрать 3 вариант)

102. Смешанные задания

Цели
Повторить:
1. Решение тригонометрических уравнений.
2. Решение тригонометрических неравенств.
3. Основные формулы.
4. Правила упрощения выражений.
5. Правила доказательства тождеств.
На оглавление
Дальше

103. Тренинг. Решение упражнений

3
4
3 3 4 4
1)
sin(arcsin arcsin ) sin( ) sin cos cos sin 1
5
5
5 5
5 5
[обозначим arcsin3/5= и arcsin4/5= , имеем sin =3/5, [– /2; /2] и sin =4/5, [– /2; /2].
Находим cos = 1– (3/5)2 = 4/5 и cos = 1– (4/5)2 =3/5.]
3
8
2)
cos(arccos arcsin )
5
17
[обозначим arccos3/5= и arcsin8/17= , имеем cos =3/5, [0; ] и sin =8/17, [– /2; /2].
Находим sin = 1– (3/5)2 = 4/5 и cos = 1– (8/17)2 =15/17] =
cos( ) cos cos sin sin
3 15 4 8 13
5 17 5 17 85
1
3
tgarctg
1
3
2
2 1/ 2 3 / 2 8
tg (arctg arctg )
3)
1
3 1 (1 / 2) (3 / 2)
2
2
1 tgarctg tgarctg
2
2
tgarctg
4
[обозначим arcsin4/5= и arctg3= , имеем sin =4/5,
arctg 3)
5
[– /2; /2] и tg =3, (– /2; /2). Находим ctg = 4/3 и ctg = 1/3]
4)
сtg (arcsin
4 / 3 1/ 3 1
1
ctg
(
)
=
4 / 3 1/ 3
3
На оглавление
Дальше

104.

5)
Решить уравнения:
А) sin( х ) cos( x) 1 0 cos х cos x 1 0 cos х 2 cos 2 х 0
2
2
2
2 2
х
х
х
или 1 2 cos х 0;
cos (1 2 cos ) 0 cos 0
2
2
2
2
х
х
0, k , x (2k 1);
2
2 2
х
х
1 х
2
4
4
1 2 cos 0; cos ,
2 k , x
4 k , x
(3k 1).
2
2
2 2
3
3
3
cos
4
(3k 1) | k Z
3
х
х
х
х
х
х
Б) sin x cos x 1 sin x 1 cos x 2 sin cos 2 sin 2 2 sin (cos sin ) 0
2
2
2
2
2
2
х
х
х
sin 0 или соs sin 0 второе уравнение поделим на косинус половинного угла:
2
2
2
Уравнению удовлетворяет множество корней вида (2k 1); x
sin
х
х
0 или tg 0
2
2
х
х
0; k ; x 2 k ;
2
2
х
х
tg 1; k ; х 2 k .
2
2 4
2
sin
Уравнению удовлетворяет множество корней вида 2 k ; 2 k | k Z
На оглавление
2
Дальше

105.

2z
В) 3 sin x + 4 cos 2x = 4. Выразим sin x и cos x через z = tg(x/2); имеем
, x 1 z .
sin x
cos
2
1 z
1 z2
Тогда 6 z 2 4 4 z2 4;4 z 2 3z 0; z1 0, z 2 3
.
2
1 z
1 z
4
Данное уравнение равносильно совокупности уравнений tg(x/2)=0 и tg(x/2)=3/4,
откуда х/2= k и х/2=arctg(3/4)+ k. Уравнению удовлетворяет множество корней вида
3
2 k ;2arctg 2 k | k Z
4
6) Преобразовать в произведение:
sin 2 cos 3 2 sin 2 sin 3
sin 2 cos 3 2 sin 2 sin 3 2 sin cos cos 3 2 sin 2 sin 3
2 sin (cos cos 3 sin sin 3 ) 2 sin соs 4
7) Доказать тождество:
sin sin 2 sin 4 sin 5
tg3
. cos cos 2 cos 4 cos 5
(sin 5 sin ) (sin 4 sin 2 ) 2 sin 3 соs 2 2 sin 3 соs 2 sin 3 (соs 2 соs )
(cos 5 cos ) (cos 4 cos 2 ) 2соs3 соs 2 2соs3 соs 2соs3 (соs 2 соs )
tg3
1)
2) sin 47 0 sin 610 sin 110 sin 25 0 4 cos 7 0 соs36 0 sin 18 0
(sin 47 0 sin 610 ) (sin 110 sin 25 0 ) 2 sin 54 0 cos 7 0 2 sin 18 0 cos 7 0
2 cos 7 0 (sin 54 0 sin 18 0 ) 4 cos 7 0 соs36 0 sin 18 0
На оглавление
Дальше

106. Тест

Задания
Ответы
Вычислите:
1)cos(arccos 1 arcсоs 11 );
7
2)
sin(arcsin
1)
2)
14
71/98;
1.
5
12
arcsin )
13
13
Решите уравнения:
х
1)1 соsx sin
2
х
2) 1 соsx соs
2
Преобразуйте в произведение:
1)sin cos 2 sin 2 sin
2
2) sin 10 0 2 sin 5 0 cos 15 0 сos50 0
1)
k
2 k
2 k ; (1)
2)
(2k 1);
1)
2 sin
2)
2
3
2
(6k 1) | k Z
3
cos(
2
);
сos10 0
Докажите тождество:
1)
sin sin 3 sin 5 sin 7
сtg
cos cos 3 cos 5 cos 7
На оглавление
, k .
Дальше

107. Посттест

По количеству выполненных заданий выставляется соответствующая оценка. (1 задание – «3»)
Докажите тождество:
2 sin x sin 2 x
2 х
ctg
;
2 sin x sin 2 x
2
Решите уравнение:
3 sin x 2 cos 2 х.
Докажите тождество:
4 sin 25 0 sin 65 0
2;
0
соs 40
На оглавление

108. Смешанные задания

Цели
Повторить:
Решение тригонометрических уравнений.
Решение тригонометрических неравенств.
Основные формулы.
Правила упрощения выражений.
Правила доказательства тождеств
На оглавление
Дальше

109. Тренинг. Решение упражнений

1) Вычислите значения sin3x, cos3x, tg3x и ctg3x, если sinx = ½, угол принадлежит I четверт
Формула для вычисления sin3x = 3sinx – 4 sin3 x:
sin3x = 3*1/2 – 4*(1/2)3 = 1,5 – 0,5 = 1;
Формула для вычисления cos3x = 4 cos3 x – 3cosx:
cosх = 1 – sin2 x = 1 – ¼ = 3/2;
cos3x = 4*3 3/8 – 3* 3/2 = 0.
Формула для вычисления tg3x = sin3x/cos3x:
tg3x не существует.
Формула для вычисления ctg3x = cos3x/sin3x:
ctg3x = 0.
3
3
2)
Упростите выражение:
=
cos(
)tg ( ) sin( ) ctg (
) ctg ( )
2
2
2
2
2
sin ctg cos tg tg 0
=
ctg ( )
3)
Доказать тождество: sin( )
cos( 2 )
2
1)
sin
tg ( )
sin( )
tg ( )
2
ctg ( )
sin( )
cos(2 ) sin tg
cos
cos
2
sin
tg ( )
sin( )
tg сtg sin сtg
tg ( )
2
На оглавление
Дальше

110. Тест

Задания
Ответы
– 3/2
Вычислите:
1
3
sin( arcсоs ( ) 3 arcsin
)
2
2
Решите уравнение:
sin 2x соsx сos3x
2
k
2
, k .
Преобразуйте в произведение:
sin 80 0 sin 30 0
2 sin 55 0 cos 25 0 ;
Докажите тождество:
3
)
2
1)
ctg 2 ( 2 )
sin 2 (
sin 2 ( )
1
3
2
ctg ( )
2
На оглавление
Дальше

111. Посттест

По количеству выполненных заданий выставляется соответствующая оценка
Докажите тождество:
1 соsx соs2 x сos3x
2cоsx;
2
2соs x соsx 1
Решите уравнение:
sin 2 x sin x cos х 0.
Дано: sina=0,8, sinb=0,96, а Iчетверти,
b Iчетверти.
Найти sin(a – b).
На оглавление