Основные тригонометрические формулы

1. Основные тригонометрические формулы

2. Знаки синуса, косинуса и тангенса

1. Знаки синуса и косинуса. Пусть точка (1;0) движется по единичной окружности
против часовой стрелки. Для точек, находящихся в первой четверти, ординаты
и абсциссы положительны. Поэтому sin >0 и cos >0, если
(рис 3,4).
Для точек, расположенных
0 во второй четверти, ординаты положительны, а абсциссы
2
отрицательны. Следовательно,
sin >0, cos <0, если
(рис 3,4). Аналогично в
третьей четверти sin <0, cos <0, а в четвертой четверти sin <0, cos >0
(рис
3,4).
2
y
y
+
o
-
o
-
-
x
Рис 3
o
-
+
o
cos
+
Рис 4
x
o o
+
2.
y
sin
+
+
-
Знаки тангенса.
По
sin
определению tg
tg
x
Рис 5
cos
Поэтому tg >0, если sin и
cos имеют одинаковые
знаки, и tg <0, если sin и
cos имеют противоположные
знаки (рис5).

3. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

- основное
тригонометрическое тождество.
2
sin cos 1
2
Из него можно выразить sin через cos
и cos
через sin :
sin 1 cos 2
cos 1 sin 2
В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения,
стоящего в левой части формулы.
Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом. По
tg
определению тангенса и котангенса
1
tg
ctg
ctg
tg ctg 1
.
Перемножая эти равенства, получаем
Из этого равенства можно выразить tg
sin
,
cos
через ctg
ctg
1
tg
и наоборот:
cos
.
sin

4. Синус, косинус и тангенс углов и

Пусть точки М1 и М2 единичной окружности получены поворотом точки Р(1;0) на
углы и
соответственно (рис 6). Тогда ось 0х делит угол М10М2 пополам, и
поэтому точки М1 и М2 симметричны
оси 0х.
относительно
Абсциссы этих точек совпадают, а ординаты отличаются только знаками. Точка М1
имеет координаты (
), точка М2 имеет координаты
.
Следовательно,
cos ; sin
); sin(
))
Используя определение(cos(
тангенса,
получаем
.
sin( ) sin
Таким образом,
sin( ) sin
tg ( )
tg
cos( ) cos
cos( ) cos
y
M1
o
tg ( ) tg
ctg ( ) ctg
P(1;0)
х
М2
Рис 6

5. Формулы сложения

Теорема. Для любых
и
справедливо равенство
cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin

6. Синус, косинус и тангенс двойного угла

Выведем формулы синуса и косинуса двойного угла, используя формулы сложения.
2.
sin 2 sin( )
1.
sin cos sin cos
sin 2 2 sin cos
Полагая в формуле tg ( )
2tg
tg 2
1 tg 2
tg tg
1 tg tg
cos cos sin sin
cos 2 sin 2
2 sin cos
Итак,
cos 2 cos( )
Итак,
cos 2 cos 2 sin 2
получаем

7. Синус, косинус и тангенс половинного угла

По известным значениям
и
можно найти значения
sin
и
, если известно, в какой четверти
лежит
угол
.
sin
cos
2
cos
tg
2
2
2
Из формулы
при
(1)
cos 2 x cos
x sin 2 получаем
x
х
cos cos 2 sin 2
2
Запишем основное тригонометрическое тождество в2виде
(2) 2
cos 2 sin 2
Складывая равенства (1) и (2) и вычитая из равенства (2) равенство (1),1получаем
2
2
(3)
1 cos 2 cos 2
2
(4)
cosи (4)
2можно
sin 2
Формулы1 (3)
(5)
2 записать так:
1 cos
2
cos
(6)
2
2
1
cos
sin 2
2
2 (6) на равенство (5), получим формулу тангенса половинного
Разделив равенство
угла
tg 2
1 cos
2 1 cos

8. Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов.

sin sin 2 sin
cos
2
2
sin sin 2 sin
cos
2
2
cos cos 2 cos
cos
2
2
cos cos 2 sin
sin
2
2