Квадратичная функция, ее график. Преобразование графика квадратичной функции

1. Квадратичная функция, ее график и свойства

Наш девиз: «Трудное сделать
легким, легкое привычным,
привычное приятным!»

2.

y
Х -3 -2 -1 0
y 9 4 1 0
9
1 2 3
1 4 9
4
1
x
-6 -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6
-4
-9
Х -3 -2 -1 0 1 2 3
y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

3.

Преобразование графика
квадратичной функции

4.

Построение графиков функций
у=х2 и у=х2+m.

5.

2
у=х +m,
У
m>0
m
m
1
0
1
Х

6.

2
у=х +m,
У
m<0
1
0
1
m
m
Х

7.

Постройте в одной координатной плоскости
графики функций:
y1 x 2
y2 x 2 5
y3 x 2 2

8.

Построение графиков функций
у=х2 и у=(х+l)2.

9.

2
у=(х+l) ,
l>0
У
1
l
l
0
1
Х

10.

2
у=(х+l) ,
l<0
У
1
0
1
l
l
Х

11.

Постройте в одной координатной плоскости
графики функций:
y1 x
2
y2 ( x 1) 2
y 3 ( x 2) 2

12.

Найти координаты вершины
параболы:
У=2(х-4)² +5
(4;5)
У=-6(х-1)²
(1;0)
У = -х²+12
(0;12)
У= х²+4
У= (х+7)² - 9
У=6 х²
(0;4)
(-7;-9)
(0;0)

13.

График квадратичной
функции, его свойства

14. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида y=ax²+bx+c, где х - независимая переменная, a, b и

с -некоторые числа (причём
а≠0).
• Например: у = 5х²+6х+3,
у = -7х²+8х-2,
у = 0,8х²+5,
у = ¾х²-8х,
у = -12х²
квадратичные функции

15. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх(если а>0) или вниз (если а<0).

Графиком квадратичной функции является парабола,
ветви которой направлены вверх(если а>0) или вниз
(если а<0).
• у=2х²+4х-1 – графиком
является парабола, ветви
которой направлены вверх
(т.к. а=2, а>0).
у
0
х
у
0
х
• у= -7х²-х+3 – графиком
является парабола, ветви
которой направлены вниз
(т.к. а=-7, а<0).

16.

Алгоритм решения
1. Определить координату вершины параболы
по формулам:
2. Отметить эту точку на координатной
плоскости.
3. Через вершину параболы начертить ось
симметрии параболы
4. Найти нули функции и 0тметить их на
числовой прямой
5. Найти координаты двух дополнительных
точек и симметричных им
6. Провести кривую параболы.

17. Постройте график функции у=2х²+4х-6, опишите его свойства

18.

Проверь себя:
1. D(y)= R
У
2. у=0, если х=1; -3
3. у>0, если х ; 3 1;
у<0, если х 3;1
4. у↓, если х ; 1
у↑, если х 1;
5. унаим= -8, если х= -1
унаиб – не существует.
6. Е(y): 8 ;
1
-1
-2
1 2 3
Х

19. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции

20. Определение: Неравенство, левая часть которого есть многочлен второй степени, а правая- нуль, называется неравенством второй

степени.
• Все квадратные неравенства могут быть приведены к
одному из следующих видов:
• 1) ах2+bx+c>0;
2) ах2+bx+c<0;
• 3) ах2+bx+c≥0;
4) ах2+bx+c≤0.

21. Какие из неравенств вы бы назвали неравенствами второй степени:

• 1) 6х 2-13х>0;
2) x 2-3x-14>0;
• 3) (5+x)(x-4)>7;
4) 2 х 3 0
;
5
5)
х3 5
0
х 5
• 6) 8x2 >0;
7) (x-5)2 -25>0;

22. Какие из чисел являются решениями неравенства?

2х х 4 0
2
?
1
?
-3
?
0
?
-1
?
5
?
-4
?
-2
?
0,5

23. Назовите число корней уравнения ax2+bx+c=0 и знак коэффициента а, если график соответствующей квадратичной функции расположен

следующим образом:
а
г
б
д
в
е

24.

Назовите промежутки знакопостоянства функции, если
её график расположен указанным образом:
Ι вариант.
а
в
б
ΙІ вариант.
а
б
в

25.

Назовите промежутки знакопостоянства функции,
если её график расположен указанным образом:
Ι вариант
f(x)>0 при xЄR
f(x)<0 _________
а
ΙІ вариант
f(x)>0 при xЄ(-∞;1)U(2,5;+∞);
f(x)<0 при xЄ(1;2,5)
а

26.

Назовите промежутки знакопостоянства функции, если
её график расположен указанным образом:
Ι вариант
f(x)>0 при xЄ(-∞;-3)U(-3;+∞)
f(x)<0__________
б
ΙІ вариант
б
f(x)>0 при xЄ(-∞;0,5)U(0,5;+∞)
f(x)<0 __________

27.

Назовите промежутки знакопостоянства функции,
если её график расположен указанным образом
Ι вариант
f(x)>0 при xЄ(-∞;-4)U(3;+∞);
f(x)<0 при xЄ(-4;3)
в
f(x)>0__________;
f(x)<0 при xЄR
ΙІ вариант
в

28. Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

1. Приведите неравенство к виду
ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0)
2. Рассмотрите функцию
y=ax2+bx+c
3. Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения
параболы с осью абсцисс (для
них y=0; х1и х2 найдите, решая
уравнение ax2+bx+c=0)
5. Схематически постройте график
функции y=ax2+bx+c
6. Выделите часть параболы, для
которой y>0 (y<0)
Пример решения неравенства
5х2+9х-2<0
2.Рассмотрим функцию
y=5х2+9х-2
3. Графиком функции является
парабола, ветви которой
направлены вверх.
4. 5х2+9х-2=0
1
х1=-2; х2=
5
5.
Y
-2
0 1
5
X

29. Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

1. Приведите неравенство к виду
ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0)
2. Рассмотрите функцию
y=ax2+bx+c
3. Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения
параболы с осью абсцисс (для
них y=0; х1и х2 найдите, решая
уравнение ax2+bx+c=0)
5. Схематически постройте график
функции y=ax2+bx+c
6. Выделите часть параболы, для
которой y>0 (y<0)
7. На оси абсцисс выделите те
значения х, для которых y>0
(y<0)
Пример решения неравенства
5х2+9х-2<0
2.Рассмотрим функцию
y=5х2+9х-2
3. Графиком функции является
парабола, ветви которой
направлены вверх.
4. 5х2+9х-2=0
1
х1=-2; х2=
5
5.
Y
Y
-2
0
1
5
X
X

30. Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной

1. Приведите неравенство к виду
ax2+bx+c>0 (ax2+bx+c<0)
2. Рассмотрите функцию
y=ax2+bx+c
3. Определите направление ветвей
4. Найдите точки пересечения
параболы с осью абсцисс (для
них y=0; х1и х2 найдите, решая
уравнение ax2+bx+c=0)
5. Схематически постройте график
функции y=ax2+bx+c
6. Выделите часть параболы, для
которой y>0 (y<0)
7. На оси абсцисс выделите те
значения х, для которых y>0
(y<0)
8. Запишите ответ в виде
промежутков
Пример решения неравенства
5х2+9х-2<0
2.Рассмотрим функцию
y=5х2+9х-2
3. Графиком функции является
парабола, ветви которой
направлены вверх.
4. 5х2+9х-2=0
1
х1=-2; х2=
5
5.
Y
Y
X X
-2
1
8. хЄ(-2; )
5
0 1
5

31.

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1,
в таблице 2 - решение неравенства 2:
1.
x 3x 4 0
2
x 3x 10 0.
2
2.
Таблица 2
Таблица 1
а
в
x 1;4 x ; 1 4;
с
d
x 1;4 x ; 1 4;
а
в
x 2;5 x ; 2 5;
с
d
x 2;5 x ; 2 5;

32.

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1,
в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
x 3x 4 0
2
x 3x 10 0.
2.
2
Таблица 2
Таблица 1
а
в
x 1;4 x ; 1 4;
с
d
x 1;4 x ; 1 4;
а
в
x 2;5 x ; 2 5;
с
d
x 2;5 x ; 2 5;

33.

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1,
в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
x 3x 4 0
2
x 3x 10 0.
2.
2
Таблица 1
а
в
x 1;4 x ; 1 4;
с
d
x 1;4 x ; 1 4;
Таблица 2
а
в
x 2;5 x ; 2 5;
с
d
x 2;5 x ; 2 5;

34.

В таблице 1 найдите верное решение неравенства 1,
в таблице 2- решение неравенства 2:
1.
x 3x 4 0
2
x 3x 10 0.
2.
2
Таблица 1
а
в
x 1;4 x ; 1 4;
с
d
x 1;4 x ; 1 4;
Таблица 2
а
в
x 2;5 x ; 2 5;
с
d
x 2;5 x ; 2 5;

35. Итог урока

При решении данных заданий нам удалось систематизировать знания о
применении квадратичной функции. Математика- это содержательное,
увлекательное и доступное поле деятельности, дающее ученику богатую
пищу для ума. Свойства квадратичной функции лежат в основе решения
квадратных неравенств. Многие физические зависимости
выражаются квадратичной функцией; например, камень, брошенный вверх
со скоростьюv0, находится в момент времени t на расстоянии
s(t)=-q\2t2+v0t
от земной поверхности (здесь q- ускорение силы тяжести);
количество тепла Q, выделяемое при прохождении тока в проводнике с
сопротивлением R, выражается через силу тока I формулой
Q=RI2.
Знания свойств квадратичной функции позволяют рассчитать дальность
полета тела, брошенного вертикально вверх или под некоторым углом.
Этим пользуются в оборонной промышленности.