Понятие формирующего фильтра и его свойства

1. Понятие формирующего фильтра и его свойства

2. Постановка задачи

Понятие формирующего фильтра и его свойства
Постановка задачи
Имеется система
уравнений
стохастических
линейных
дифференциальных
x(t ) F (t ) x(t ) G(t ) w(t ) .
(1)
– формирующий фильтр
Здесь x(t) – n-мерный случайный процесс, называемый вектором
состояния.
w(t ) – не зависящий от x(0) центрированный p-мерный белый шум,
называемый порождающим.
F(t) – матрица динамики;
G(t) – матрица порождающих шумов.
Задача заключается в определении математического ожидания и
матрицы ковариаций для вектора состояния x(t).

3. Общее решение

Понятие формирующего фильтра и его свойства
Общее решение
Запишем решение уравнения (1) в виде
t
x(t ) (t , t1 ) x(t1 ) (t , )G( )w( )d .
(2)
t1
Ф(t,t1) – фундаментальная матрица для уравнения x (t ) F (t ) x(t ) .
Математическое ожидание, матрица ковариаций и корреляционная
функция определяются следующими соотношениями:
(3)
x (t ) (t, t0 ) x (t0 );
t
P(t ) (t , t0 ) P(t0 ) (t , t0 ) (t , )G( )Q( )G T ( ) T (t , )d ;
T
(4)
t0
(t2 , t1 ) P(t1 ), t2 t1 ,
k (t2 , t1 )
T
P
(
t
)
(t1 , t2 ), t2 t1.
2
(5)
P(t ) F (t ) P(t ) P(t ) F T (t ) G (t )Q(t )G T (t ) .
(6)
Матрица ковариаций является решением дифференциального уравнения

4. Стационарный процесс

Понятие формирующего фильтра и его свойства
Стационарный процесс
Запишем стационарные уравнения
x(t ) Fx(t ) Gw(t );
P FP PF T GQG T .
(7)
(8)
Матрицы F, G и Q постоянны.
Условия стационарности процесса на выходе стационарной системы
1. Математическое ожидание процесса x(t) не зависит от времени при
выполнении условия x 0 .
2. Матрица ковариаций не зависит от времени если существует матрица
P∞ , такая что при P= P∞
(9)
P FP P F T GQG T 0.
Если матрицу ковариаций P(0) для вектора x(0) выбрать совпадающей с
решением этого уравнения P(0)=P∞, то процесс x(t) становится
стационарным, поскольку P(t)≡P(0).

5.

Понятие формирующего фильтра и его свойства
Условиями стационарности процесса на выходе стационарной системы
при поступлении на ее вход белого шума являются центрированность
значений процесса в начальный момент времени, наличие решения
уравнения (9) и выбор начальной матрицы ковариаций, совпадающей с
этим решением.
При этом корреляционная функция будет зависеть только от τ
k ( ) k T ( ) ( ) P .
(10)
Если установившееся решение уравнения
P FP P F T GQG T 0.
(11)
существует, но начальная матрица ковариаций не совпадает с P∞, то,
поскольку P→P∞ при увеличении времени, процесс после завершения
переходного режима при t → ∞ можно считать стационарным.

6.

Понятие формирующего фильтра и его свойства
Замечание 1
Если дополнительно предположить, что x(0) и порождающий шум
гауссовские, т.е.
f ( x(0)) N ( x(0); x (0), P(0));
f ( w(t )) N ( w(t );0, Q(t )),
(12)
то и процесс x(t) также будет гауссовским.
Замечание 2
Используя выражение
t
x(t ) (t , t1 ) x(t1 ) (t , )G ( )w( )d ,
(13)
t1
можно убедиться в том, что процесс x(t) является марковским. Если
зафиксировать моменты времени t1>t2>t3 , то значение процесса в
момент t3 при фиксированных его значениях в моменты t1 и t2 зависит
только от момента t2 и не зависит от t1. При этом белый шум w(t ) не
зависит в статистическом смысле от начальных условий x(0).

7. Пример

Понятие формирующего фильтра и его свойства
Пример
Рассмотрим формирующий фильтр
x(t ) x(t ) 2 x2 w(t ),
(14)
где F=-α, G 2 2x
Уравнение для корреляционной функции примет вид
(15)
P P P G 2 .
В силу того, что Ф(t,t0)=e-α(t-t ), решение этого уравнения можно
представить
t
2 ( t t0 )
2
P(t ) P(t0 )e
2 x e 2 ( t ) d .
(16)
0
t0
Уравнение P FP P F T GQG T 0 сводится
2αP∞=2σx2α, имеющему решение P∞= σx2 .
к
уравнению
Таким образом, при P(0)=σx2 процесс будет стационарным, а
соответствующая ему корреляционная функция примет вид
(17)
k ( ) k ( ) ( ) P x2e .