Основы теории фильтра Калмана - Бьюси (лекция 6, 7)

1.

Лекция 6, 7
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ФИЛЬТРА КАЛМАНА-БЬЮСИ
Рассмотрим постановку задачи и основы построения оптимальных
линейных фильтров, известных под названием фильтров Калмана-Бьюси
Фильтр Калмана-Бьюси отличается от фильтра Винера постановкой
задачи и способом его описания, поэтому эти два аспекта мы рассмотрим
более подробно.
1

2.

1. Постановка задачи фильтрации по Калману-Бьюси
В n-мерном пространстве задан подлежащий фильтрации линейный
случайный процесс, формируемый линейной динамической системой (ОКУ),
описываемой уравнением вида:
dX
A(t ) X(t ) B(t ) W(t );
dt
X(t0 ) 0,
(6.1)
где X(t ) – задаваемый случайный процесс в виде n-мерного вектора;
W(t ) – случайный процесс в виде “белого” шума с корреляционной
матрицей:
KW (t , ) M [ W(t ) WT ( )] Q(t ) (t ) .
(6.2)
2

3.

Матрица интенсивностей “белого” шума имеет вид диагональной
матрицы размера m m
q1 0
0 q2
Q(t )
... ...
0 0
... 0
... 0
.
... ...
... qm
(6.3)
Матрицы A(t) и B(t) размера n n и m m соответственно определяют
параметры линейной динамической системы (ОКУ). Такой случайный
процесс получил название марковского, а линейную динамическую систему,
формирующую рассматриваемый марковский процесс, обычно называют
формирующим фильтром. Иначе говоря, объект измерения (ОКУ) выполняет
роль формирующего фильтра.
3

4.

Случайный процесс Х(t) наблюдается (контролируется) с помощью
измерительной системы, на выходе которой действует аддитивная помеха в
виде “белого” шума V(t):
Z(t ) C(t ) X(t ) V(t ) .
(6.4)
Z(t )
Здесь
–
вектор
суммарного
выходного
сигнала;
V(t ) – случайный процесс в виде “белого” шума с корреляционной
матрицей:
KV (t , ) M [V (t ) VT ( )] R (t ) (t ) .
(6.5)
Матрица интенсивностей R (t ) имеет вид диагональной матрицы
размера р р
r1
0
R (t )
...
0
0
r2
...
0
... 0
... 0
.
... ...
... rp
(6.6)
Матрица C(t ) определяет параметры измерительной системы и имеет
размер р n.
4

5.

Требуется построить линейный фильтр, оптимальным образом
выделяющий реализацию векторного случайного процесса Х(t) в виде
о
некоторой оценки X (t ) при наблюдении (контроле) процесса Z(t ) .
Критерием оптимальности является минимум
ожидания квадрата нормы вектора погрешности Хε(t)
2
M X (t ) min ,
математического
(6.7)
где X (t ) X (t ) X(t ) .
o
В отличие от задачи фильтрации по Винеру здесь рассматривается
многомерный случайный процесс, задаваемый не корреляционными
функциями, а стохастическим дифференциальным уравнением. Помимо
этого, ставится задача отыскания способа построения оптимального фильтра,
а не получение оптимальной импульсной характеристики фильтра.
5

6.

Как правило, при построении фильтра Калмана–Бьюси принимают
следующие допущения:
1.
“Белые” шумы, действующие на входе формирующего фильтра
(ОКУ) и на выходе измерительной системы, некоррелированы:
M W (t )V T ( ) 0 .
2.
(6.8)
Наблюдаемый (контролируемый) процесс Х(t) и “белый” шум на
выходе измерительной системы некоррелированы:
M Х(t )VT ( ) 0 .
3.
Формирующий
фильтр
(ОКУ)
(6.9)
удовлетворяет
условиям
физической реализуемости, т.е. переходная матрица системы (ОКУ)
Ф(t , t0 ) 0 при t t0 .
(6.10)
6

7.

2. Математическое описание и структура фильтра Калмана-Бьюси
Пусть имеется такой физически реализуемый линейный фильтр что его
o
выходной сигнал X (t ) является оптимальной оценкой наблюдаемого
(контролируемого) процесса X(t ) . В соответствии с теорией фильтра
Калмана–Бьюси характеристики такого фильтра будут
векторно-матричным дифференциальным уравнением вида:
описываться
dXo
A(t ) K (t )C(t ) Xo (t ) K (t )Z(t ).
(7.1)
dt
Это дифференциальное уравнение устанавливает связь между вектором
выходного сигнала фильтра – оценки X o (t ) и вектором суммарного входного
сигнала Z(t ) , т.е. описывает работу такого оптимального фильтра КалманаБьюси.
7

8.

Структурная схема фильтра Калмана-Бьюси будет иметь вид
Важнейшей особенностью этой структуры является то обстоятельство,
что она подобна структурной схеме формирующего фильтра (ОКУ) и
отличается от последнего наличием матричного блока K (t ) в прямой цепи.
Это существенно облегчает практическую реализацию оптимального
фильтра Калмана-Бьюси, так как его описание и программное обеспечение
подобно описанию объекта измерения или управления. Кроме того, вид
дифференциального уравнения, а следовательно, и структура фильтра
остается неизменной для любого объекта измерения или управления.
8

9.

Полезно получить еще одно дифференциальное уравнение для
оптимального фильтра Калмана-Бьюси. Дифференцируя по времени
соотношение
X (t ) X(t ) Xo (t ) ,
(7.2)
dX dX dXo
.
dt
dt
dt
(7.3)
получим
После подстановки
dX
A(t ) X(t ) B(t ) W(t );
dt
dXo
A(t ) K (t )C(t ) Xo (t ) K (t )Z(t );
dt
Z(t ) C(t ) X(t ) V (t ),
(7.4)
(7.5)
(7.6)
будем иметь
dX
A(t ) K (t )C(t ) X (t ) B(t ) W(t ) K (t )V(t ).
dt
(7.7)
9

10.

Это уравнение устанавливает связь между вектором погрешности
фильтрации X (t ) и “белыми” шумами W(t ) , V(t ) , действующими на входе
объекта измерения (или управления) и на выходе измерительной системы.
Структурная схема, соответствующая уравнению (7.7), имеет вид
Структурная схема, поясняющая влияние помех на погрешность фильтрации
10

11.

Видно, что эта схема аналогична схеме оптимального фильтра и
отличается лишь входными воздействиями.
В
уравнения,
описывающие
фильтр
Калмана-Бьюси
и
вектор
погрешностей фильтрации, входит матрица K (t ) , которая получила название
матрицы коэффициента усиления фильтра:
K11 K12
K 21 K 22
K (t )
...
...
K n1 K n 2
... K1n
... K 2 n
.
... ...
... K nn
(7.8)
11

12.

3. Определение
Калмана-Бьюси
матрицы
коэффициентов
усиления
фильтра
Матрица коэффициентов усиления K (t ) определяется в зависимости от
характеристик действующих возмущений и параметров измерительной системы
по формуле, данной в работе:
K (t ) P(t )CT (t )R 1 (t ),
(7.9)
12 1 2 ... 1 n
2 1 22 ... 2 n
где
(7.10)
P(t ) M
M X XT
...
... ... ...
n 1 n 2 ... 2n
и называется матрицей дисперсий погрешности фильтрации;
1
0 ... 0
r1
1
0
... 0
1
– обратная матрица интенсивностей “белых” шумов на
R (t )
r2
... ... ... ...
1
0 0 ...
rp
выходе измерительной системы; ri – интенсивность “белого”шума на i-м выходе.
12

13.

4. Определение матрицы дисперсий погрешностей фильтрации,
уравнение Риккати
Входящая в уравнение (7.9) для матрицы коэффициентов усиления
K (t ) матрица дисперсий погрешности фильтрации
P(t ) M X (t ) XT (t )
определяется из решения дифференциального уравнения Риккати вида,
представленного в работе
dP
AP PCT R 1CP PAT BQBT ,
(7.13)
dt
причем P(t0 ) P0 .
В уравнение (7.13) входят только известные матрицы, определяющие
характеристики ОКУ и ИС и действующих на них случайных воздействий.
Установив из уравнения (7.13) матрицу Р(t), можно определить
матрицу переменных коэффициентов усиления K(t) фильтра Калмана-Бьюси.
13