Электричество и магнетизм. Лекция № 3

1. Электричество и магнетизм

Семестр 2

2. ЛЕКЦИЯ № 3

1. Работа сил электростатического
поля при перемещении заряда.
Потенциал и разность потенциалов.
2. Теорема о циркуляции вектора
напряжённости
электростатического поля.
3. Связь напряжённости и
потенциала электростатического
поля.
4. Эквипотенциальные поверхности

3. Работа сил электростатического поля при перемещении заряда. Потенциал.

dr
2
dl
r2
r
Рассмотрим произвольное перемещение (1–а–2)
заряда q в электростатическом поле. Пусть поле
создаётся неподвижным точечным зарядом Q
.
dA Fdl F dl cos F dr
2
2
A1 2 FКул. FКdl FK dr.
Fкул
b
Q
a
r1
1
dl
Fкул
dl
1
1
на перемещении
электрическая
сила совершит работу
dA F dl F dl cos . Fdr
A1 b 2
FK A1 a 2 FK

4.

Вычислим работу кулоновской силы при
перемещении заряда q из точки 1 в положение 2
(по любой траектории):
A1 2
r2
2
r2
qQ
FКул. FK dl FK dr k0 2 dr
r
1
r1
r1
1 1
dr
1 r2
k0 qQ 2 k0 qQ k 0 qQ
r
r r1
r1 r2
r1
r2
Cилы, работа которых не зависит от вида
траектории и определяется только положением её
начальной и конечной точек, называются
консервативными.
Вывод:
Кулоновская сила консервативна.

5.

Величина работы никак не связана с видом траектории.
Она зависит только от положения её начальной (r1) и
конечной (r2) точек.
В механике было показано, что работа консервативной
силы равна убыли потенциальной энергии системы:
A1 2
Fконс. Е р1 Е р2 Wp1 Wp2
В последней формуле мы получили:
A1 2
qQ
qQ
FКул. k0
k0
W р1 W р2
r1
r2

6.

Потенциальная энергия системы двух точечных зарядов,
или, что то же самое, энергия заряда q в электрическом
поле точечного заряда Q :
qQ
W р k0
const
r
Константа принимается обычно равной нулю. Это
означает, что принимается равной нулю энергия
взаимодействия зарядов q и Q на бесконечном удалении
их друг от друга (при r = ∞). Тогда на расстоянии r
энергия взаимодействия равна:
qQ
W р k0
r

7.

Потенциальная энергия заряженной частицы в
электрическом поле зависит, таким образом, от величины
заряда q и от его положения в поле относительно заряда
Q, создающего поле.
qQ
W р k0
r
Энергия единичного (q = 1) точечного заряда уже не
будет связана с величиной этого пробного заряда q и
может быть принята в качестве энергетической
характеристики данной точки электростатического поля:
Wр
Q
k0
q
r
- потенциал точечного
заряда Q

8.

Можно придать потенциалу и иной физический смысл.
Поместим заряд q в поле точечного заряда Q.
Первоначально расстояние между зарядами — r.
1
Q
q
r
Отпустим заряд q. Под действием электрической силы
отталкивания заряд q удалится в бесконечность. На этом
перемещении кулоновская сила совершит работу:
qQ
qQ
1
A1 FКул. FКул.dl Fdr k0 2 dr k0 qQ k0
r
r
r r
1
r
r
Получаем:
Q A1 FКул.
k0
r
q

9.

Q A1 FКул.
k0
r
q
Потенциал некоторой точки электростатического
поля равен работе, совершаемой электрической силой
при удалении единичного положительного заряда из
этой точки в бесконечность.
Теперь вычислим потенциал поля, созданного системой
точечных зарядов Q1, Q2, …, QN.
При перемещении заряда q из точки 1 в бесконечность
электрическая сила совершит работу, равную
алгебраической сумме работ сил, действующих на
движущийся заряд со стороны зарядов Q1, Q2, …, QN
A1
F A1 F1 A1 F2 A1 FN

10.

Работа каждой силы равна:
A1
Qi
Fi q k0 q i
ri
Здесь i k0 Qi — потенциал поля, создаваемого в
ri
точке 1 зарядом Qi.
Таким образом, суммарная работа равна:
A1
N
F q 1 q 2 q N q i q
где
i 1
N
i 1
i
Потенциал поля, созданного системой точечных зарядов,
равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в
рассматриваемой точке каждым из зарядов в отдельности:
N
i - принцип суперпозиции для потенциала
i 1

11.

Разность потенциалов.
Обратимся к вычислению работы электрической силы
при перемещении заряда q из точки 1 теперь уже
произвольного электростатического поля в
бесконечность. Поскольку эта работа не зависит от
формы траектории, унося заряд в бесконечность, пройдём
предварительно точку 2 электростатического поля.
Работа на этом перемещении
2
складывается из двух частей:
q
A1
1
Fэл. A1 2 Fэл. A2 Fэл.
Разделив это равенство на величину переносимого
заряда q, получим:
A1 Fэл. A1 2 Fэл. A2 Fэл.
q
q
q

12.

или:
A1 2 Fэл. A1 Fэл. A2 Fэл.
1 2
q
q
q
A1 Fэл. A2 Fэл.
Здесь 1 2
— разность
q
q
потенциалов двух
точек поля.
Разность потенциалов равна работе, совершаемой
электрической силой при перемещении единичного
положительного заряда из начальной точки в конечную:
A1 2 Fэл.
1 2
q

13.

Зная разность потенциалов двух точек поля, легко
вычислить работу электрического поля, совершаемую при
перемещении заряда q между этими точками:
A1 2
Fэл. q 1 2
В международной системе единиц СИ потенциал (и
разность потенциалов) измеряется в вольтах:
A1 Fэл.
Дж
В
- потенциал
1
Кл
q
A1 2 Fэл. - разность потенциалов
1 2
q

14.

Теорема о циркуляции вектора
напряжённости электростатического поля
Существуют два равнозначных определения
консервативной силы. Оба они подробно обсуждались в
механике.
1. Консервативной называется сила, работа которой не
зависит от формы траектории.
2. Консервативной называется сила, работа которой на
замкнутой траектории равна нулю.
L1
2
E
q
1
L2
E

15.

Рассмотрим
перемещение заряда q в электростатическом
поле E по замкнутой траектории. Заряд из точки 1
перемещается по пути L1 в точку 2, а затем возвращается в
исходное положение по другому пути L2. В процессе
этого
движения на заряд со стороны поля действует F qE
консервативная электрическая сила, а работа этой силы на
замкнутой траектории L = L1 + L2 равна нулю:
A Fэл. Fэл. dl qE dl q Edl 0
L
L
L
Поделив на q, получим:
Edl 0
L
Теорема о циркуляции в
электростатике: циркуляция вектора
напряжённости электростатического поля по любому замкнутому
контуру равна нулю.

16.

Связь напряжённости и потенциала
электростатического поля
Для отыскания связи, вычислим работу электрической
силы на элементарном перемещении
dl заряда q в
электростатическом поле E .
El
2
dl
1
dA1 2 Fэл. Fdl qEdl qEdl cos qEl dl
E
Эту же работу можно связать с
разностью потенциалов ( 1 – 2)
= –( 2 – 1) = –d :
dA1 2 Fэл. q 1 2 qd
d
Объединив, получим: Eldl = –d или El
dl

17.

Здесь El — проекция вектора напряжённости поля E на
направление перемещения, а d — изменение потенциала
при переходе в поле из точки 1 в точку 2.
Записав для направлений x, y и z, получим
соответствующие составляющие (проекции) вектора
напряжённости:
E x x ,
,
E y
y
E .
z
z
Первое уравнение этой системы означает, что проекция
вектора напряжённости на ось x равна частной
производной потенциала по x, взятой с противоположным
знаком. Аналогично для y и z.

18.

Полный вектор напряжённости можно
представить в виде векторной суммы:
E Ex i E y j Ez k i
j k
y
z
x
Последнее уравнение принято записывать так:
E grad
Здесь векторный оператор «градиент» - grad:
grad i
j
k
y
z
x

19.

Последнее уравнение устанавливает искомую
связь двух характеристик электростатического
поля
—
напряжённости
и
потенциала:
напряжённость электростатического поля
равна градиенту потенциала с обратным
знаком:
E grad
Единица измерения напряжённости электрического
поля:
В
E
l м

20.

Формула E grad выражает
связь потенциала с напряженностью и
позволяет по известным значениям φ
найти напряженность поля в каждой
точке.
Можно решить и обратную
задачу, т.е. по
известным значениям E в каждой точке
2
поля
2 Edl
1
найти разность
1
потенциалов между двумя произвольными
точками поля.

21.

Эквипотенциальные поверхности
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют
одинаковый потенциал, называется
эквипотенциальной поверхностью.
Уравнение этой поверхности (пунктиры на рис.)
( x, y, z ) const

22.

Линии напряженности и эквипотенциальные
поверхности
взаимно перпендикулярны
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E