Электричество и магнетизм. Лекция 09

1.

Электричество и магнетизм
Лекция 09
Магнитное поле
27 октября 2021 года
Лектор: доцент НИЯУ МИФИ,
Ольчак Андрей Станиславович

2.

Магнитное поле
Магнетит (от античного города Магнесия в
Малой Азии) Fe3O4 – природный минерал с
сильными магнитными свойствами
(притягивает и намагничивает железные предметы)
Китайский магнитный компас

3.

Исследования электричества в новое время
Первое серьезное исследование электрических и
магнитных явлений выполнил William Gilbert (15441603) в Англии. В 1600 году он опубликовал 6-томный
трактат «О магните, магнитных телах и большом магните
— Земле») Именно он ввел термин electricity.
Труд Гилберта практически использовали в изучении
электрических и магнитных явлений вплоть до конца
18-го века!!.
Магнитное поле Земли имеет
дипольный характер и вблизи
поверхности Земли имеет
напряженность Н ~ 40А/м (В ~ 0,25
мТл) .

4.

Опыт Эрстеда
Эрстед впервые доказал в 1820 г., что электрический ток
является источником магнитного поля.
Схема опыта Эрстеда.

5.

Свойства магнитного поля
Опыт показывает, что
(1) Магнитное поле создаётся движущимися электрическими
зарядами (электротоком);
(2) Магнитное поле действует только на движущиеся заряды
(на проводники с током)
(3) В природе не существует магнитных зарядов
Основная характеристика магнитного поля – вектор
магнитной индукции B. Единица измерения магнитной
индукции – Тл (тесла).
Другая характеристика магнитного поля – вектор
напряженности магнитного поля H. В вакууме B = μ0H.
Единица измерения H – А/м.
μ0 = 4π·10-7 Н/А2 – магнитная постоянная

6.

Линии индукции магнитного поля
Линии индукции - способ визуализации магнитного поля. Подобно
силовым линиям электростатического поля, линии индукции в каждой
точке направлены вдоль вектора магнитной индукции в данной точке.
Гкстота линий пропорциональна величине магнитной индукции
Для прямого тока: линии индукции = окружности. Направление линий –
условно (правило «буравчика» или «правого винта»)
I

7.

Правило буравчика (иллюстрация)
Для прямого тока: линии
индукции = окружности.
Направление линий – условно
(правило «буравчика» или
«правого винта»)

8.

Магнитное поле
Магнитное поле: физическая реальность, возникающая при движении
электрических зарядов (в частности - при протекании электрического тока).
Магнитное поле проявляет себя по действию на движущиеся заряды и
проводники с током
В частности: два параллельных проводника с током притягиваются, если токи
в проводниках направлены в одну сторону, или отталкиваются, если токи
направлены в противоположные стороны.
I1
F
I1
I2
I2
F

9.

Магнитное поле
(1) Магнитное поле создаётся движущимися
электрическими зарядами:
Закон Био – Савара –Лапласа

10.

Закон Био – Савара - Лапласа
Магнитное поле равномерно движущегося заряда
R t r r t
v
q
R t
r t
B t
0 q v, R
Опыт: B
4
R3
r
O
0 4 10 7 Гн/м - магнитная постоянная
Гн = Н·м/А2

11.

Магнитное поле постоянного тока
Магнитостатика изучает постоянные, т.е. независящие от времени
магнитные поля, создаваемые постоянными токами.
dV , dQ
dQ qndV
vд
R r r
r
B
r
O
j qnv д
0 dQ v д , R
dB
3
4
R
0 qn v д , R dV
3
4
R

12.

Закон Био – Савара - Лапласа
0 qnv д , R dV 0 j, R dV
3
4
R
4
R3
dV , dQ
R r r
vд
R r r
r
B
r
O
0 j, R dV
dB
4
R3
Био – Савар (1820, эксперимент)
Лаплас (1826, теория)
j r , r r dV
0
B r
3
4 V
r r
пров

13.

Закон Био – Савара - Лапласа
Закон Био – Савара для линейного
проводника с током
I
S
dl
R r r
r
L
dB
r
O
j, d l dl , jdV jSdl
jSd l Id l
dl
I
dl
jdV Id l
0 I d l , R
dB
4
R3
0 I dr , r r
B r
4 L r r 3

14.

Магнитное поле прямого тока
I
l
dl
B
r
R
0 I d l , R
dB
3
4
R
0 I dl sin
r
dB
, sin
2
4 R
R
r
rd
R
, l rctg , dl
sin
sin 2
0 I sin sin rd
0 I
dB
sin d
2
2
4
r sin 4
2

15.

Магнитное поле прямого тока
I
l
dl
B
r
R
0 I
0 I
B
sin d
cos
4 0
4
0 I
B
2 r
0

16.

Магнитное поле кругового тока
0 I d l , R
dB
4
R3
0 Idl
d l R dB
4 R 2
x
dB dB
R
R
r
x
Id l
r
Id l
L
I
0 Idl cos
dBx
,
2
4 R
r
cos
R

17.

Магнитное поле кругового тока
0 Ir
0 Ir 2
2 r
3
4 R
2R3
R2 r 2 x2
Bx x
0 Ir 2
2 r x
2
2 32

18.

Магнитное поле соленоида (катушки с током)
B
Каждый виток катушки создает в центре
соленоида магнитное поле с индукцией:
B = (μ0/2)I/R
Направление вектора магнитной индукции
определяется по правилу буравчика.
L
R
Вся катушка c числом витков N создаст в
сердечнике соленоида однородное магнитное поле
с индукцией, вычисляемой методом сложения
(интегрирования) полей, создаваемых отдельными
витками. Если катушка достаточно длинна (L >> R)
то результат интегрирования не зависит от R:
B = μ0IN/L

19.

Пример решения задач
Пример 1. Постоянный ток I протекает по двум
полубесконечным прямым проводникам, соединённым между
собой под прямым углом дугой окружности радиуса r. Найти
индукцию магнитного поля в центре окружности О.
I
1
O
B
1 0 I 0 I
B1 B3
2 2 r 4 r
2
r
Bx x
3
1 0 I 0 I
B2
4 2r
8r
0 Ir 2
2 r2 x
2 32
0 I 4
B B1 B2 B3
8 r

20.

Магнитное поле
(2) Магнитное поле действует на движущиеся
заряды
Сила Лоренца
Закон Ампера

21.

Сила Лоренца
Магнитная сила
Fм q v, B
Fм q vB sin
v v v , v
B
Fм
B, v B
v
Fм q v , B
v , Fм q v , v , B q v v , B Bv 2
Fм , v
v , B 0 B
qv 2

22.

Сила Лоренца
Магнитное поле действует на движущийся заряд q с силой
Fмаг = q[V,B]
в направлении, перпендикулярном его скорости V и вектору магнитной
индукции B.
Немного математики:
Fмаг
Векторное произведение с = [ a, b ]
c
b
направлено перпендикулярно обоим
V
векторам a и b и равно по величине
B
с = a b sin(α), где α - угол между
векторами а и b. Направление вектора
с определяется правилом левой руки.
Величина силы действия магнитного поля, соответственно, равна
Fмаг = qVBsin(α), где α - угол между векторами скорости и магнитной
индукции.
a

23.

Сила Лоренца
Рассмотрим заряд q, находящийся в скрещенных магнитном и электрическом
полях.
z
B
y
F = Fкул = q E
x
E
В системе отсчета, где заряд движется, на него
действует и сила Кулона, и сила магнитного
поля (сила Лоренца)
F’кул z
B’
-V
E’
В системе отсчета, где заряд неподвижен, на него
действует только сила Кулона
Fкул
F’маг
y
V
x’
F = F’кул + F’маг = q E’ + q[-V,B’]
Следствие: величина и направление векторов напряженности электрического
поля и магнитной индукции зависят от выбора системы отсчета.

24.

Сила Лоренца
1. Магнитная сила не совершает работы, её мощность
равна нулю, т.к. Fм v .
q
2. В системе единиц СГСМ Fм v, B .
c
3. B является псевдовектором, Fм истинным вектором.
Сила Лоренца
Fм qE q v, B
Разделение силы Лоренца на электрическую и магнитную
составляющие зависит от системы отсчёта.

25.

Закон Ампера
Магнитная сила, действующая на проводник с током
dQ qndV
dFм dQ v др B
dV , dQ
vд
dFм qn v др B dV j B dV
j
dFА j B dV
B
FА
Vпров
j B dV

26.

Закон Ампера
Закон Ампера для линейного проводника
jdV Id l
dFА I d l B
FА I d l B
L
Андре́-Мари́ Ампе́р
1775-1836

27.

Закон Ампера
Сила магнитного взаимодействия двух
параллельных линейных бесконечных
токов в вакууме
r
dF21 I 2 d l2 B1
dF
I
dl
B
21
2
2
1
dl2 I 2
I1
0 I 1
dF21
I 2 B1 , B1
F21
B1
dl2
2 r
dF21 dF12 0 I1 I 2
,
dl2
dl1
2 r
Н
м

28.

Закон Ампера
Единица силы тока в системе СИ
Прохождение тока силой в 1 Ампер по двум очень
длинным тонким параллельным проводникам,
находящимся в вакууме на расстоянии 1 метр друг от
друга, вызывает силу взаимодействия в 2 •10-7 Н на
каждом участке проводника, длиной в 1 метр.
dF21 0 I1 I 2
dl2
2 r
7
4
10
1 1
7
2 10
2 1
Кулон – это заряд, проходящий за 1 с через поперечное сечение
проводника, по которому течёт постоянный ток силой в 1 А.

29.

Закон Ампера
Токи одного направления
притягиваются, токи
противоположных
направлений отталкиваются

30.

Примеры решения задач
ПРИМЕР 1. Заряд q влетает в область однородного магнитного поля В.
Определить его траекторию движения.
m,Q,V
Решение:
B
F = QVB = maц = mV2/ R.
F
R = mV/QB.
R

31.

Примеры решения задач
ПРИМЕР 2. Заряд q влетает в область однородного магнитного поля В.
Определить его траекторию движения.
Если частица имела начальную
скорость V не перпендикулярную
направлению вектора магнитной
индукции В:
Под действием магнитной силы
заряд будет двигаться по дуге
окружности радиуса
R = mVперп/qB
Где Vперп - компонента вектора скорости, перпендикулярная
направлению вектора магнитной индукции.
Кроме этого, частица будет смещаться вдоль направления вектора
магнитной индукции с постоянной скоростью Vпарал. В результате
частица будет двигаться по спирали.

32.

Примеры решения задач
Пример 3. Скорости v двух нерелятивистских электронов
одинаковы и перпендикулярны прямой, которая их соединяет.
Найти отношение сил магнитного и электрического
взаимодействия электронов.
v
e
Fм
R t
B t
Fэл
0 e v, R
0 ev
B
B
3
2
4
R
4 R
0 e 2 v 2
Fм e v, B Fм
4 R 2
2
2
e R
e
Fэл
Fэл
3
4 0 R
4 0 R 2

33.

Примеры решения задач
Пример 3. Скорости v двух нерелятивистских электронов
одинаковы и перпендикулярны прямой, которая их соединяет.
Найти отношение сил магнитного и электрического
взаимодействия электронов.
v
e
Fм
R t
B t
Fэл
Fм 0 e2 v 2 4 0 R 2
2
2
Fэл
4 R
e

34.

Курс общей физики НИЯУ МИФИ
Спасибо за внимание!
Следующая лекция
3 ноября

35.

Магнитная постоянная и скорость света.
μ0 = 4π •10-7 Н/А2 = 12,56 •10-7 Н/А2 - магнитная
постоянная
ε0 = 8,85 •10-12 Кл2/Hм2 - электрическая постоянная (из
закона Кулона)
μ0 ε0 = 1,256 •10-6 • 0,885 •10-11 [Н/А2 • Кл2/Нм2] = 1,1
10-17[с2/м2]
(μ0 ε0) -1/2= (0,11 • 10-16) -1/2[м/с] = 3•108 м/с = с
(скорость света)