Высшая математика

1.

Курс «Высшая математика»

2. Линейная алгебра

Матрицы. Основные понятия.
Действия над матрицами
Определители второго порядка
Системы из двух линейных уравнений с двумя
2
неизвестными
Определители n – ого порядка
Методы вычисления определителей
Метод обратной матрицы решения систем
линейных уравнений
Метод Крамера. Метод Гаусса решения систем
линейных уравнений

3. Матрицы. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная
из каких – либо элементов и имеющая m строк и n столбцов.
Элементами матрицы могут быть числа, алгебраические
выражения, функции и т.д.
a11
a 21
A
a
m1
a12
a 22
am 2
a1n
... a 2n
... amn
...
Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита,
элементы матрицы – теми же маленькими буквами.
Размерность матрицы обозначается:
dim A m n
количество
количество
строк столбцов
3

4. Матрицы. Основные понятия

Если m n , то матрица называется прямоугольной.
Если m n
порядка).
, то матрица называется
квадратной (n - ного
Матрица типа 1 n называется матрица-строка:
a
11
a12 a13 ... a1n
Матрица типа m 1 называется матрица-столбец:
4
a11
a 21
...
a
m1

5. Матрицы. Основные понятия

Квадратная матрица называется единичной, если ее элементы,
расположенные на главной диагонали, равны единице,
остальные – нулю (обозначается буквой Е):
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1
Главная диагональ
Если все элементы квадратной матрицы равны нулю, то она
называется нуль-матрицей и обозначается символом 0.
0 0 0
O 0 0 0
0 0 0
5

6. Действия над матрицами

Равенство матриц
Матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и их
соответствующие элементы равны.
A B
dim A dimB;
aij bij
Сложение (вычитание) матриц
Сумма и разность матриц существуют только для матриц
одинакового размера, при этом соответствующие элементы
матриц складываются или вычитаются.
C A B
dim A dimB dimC
c ij aij bij
6

7. Действия над матрицами

Умножение матрицы на число
При умножении матрицы A на число k получается матрица того же
размера, при этом каждый элемент матрицы A умножается на k.
B k A
dim A dimB; bij aij k
Найти значение выражения: C A 5 B
1 3 2
A
0 1 4
2 4 1
B
5 0 2
3 5 ( 4) 2 5 1 11 17 7
1 5 2
C
0 5 ( 5) 1 5 0 4 5 2 25 1 14
7

8. Действия над матрицами

Умножение матриц
Произведение матриц A * B определено только тогда, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, в
противном случае произведение не существует.
dim A m n
dim B n k
C A B существует
dimC m k
Произведением матрицы A размера [m n] с элементами aij
на матрицу B размера [n k ] с элементами bjq называется
матрица C размера [m k ] с элементами:
n
c iq aij b jq
j 1
8

9. Действия над матрицами

1 0 2
A
3 1 4
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
0 5 1
B 2 1 1
3 2 0
1 0 2
A
3 1 4
6 9 1
14 24 4
Найти С = A * B
dim A 2 3
dimB 3 3
c12 1 5 0 1 2 2
c11 1 0 0 2 2 3
c13 1 1 0 1 2 0
6 9 1
C
14 24 4
cc22 33 5 1 11 1
44 20
1
c 21 3 023 1 2 4 3
9

10. Определители 2 порядка

Определители широко применяются во многих разделах
высшей математики, в теоретической механике, физике и т.д.
для сокращения записей и удобства вычислений.
Определитель 2 - го порядка это число, записанное в виде:
a11 a12
a11a22 a12 a21
a21 a22
ai j
Номер строки
Элементы определителя,
Индексы
Номер столбца
из произведения элементов главной диагонали вычитается
Главная
диагональ
произведение элементов
побочной
диагонали.
определителя
Побочная диагональ
определителя
10

11. Определители n – ого порядка

Определителем n – ого порядка называется число:
a11
a12
a1n
a 21
a 22
a 2n
an1 an 2 ann
Методы вычисления определителей n – ого порядка рассмотрим
на примере вычисления определителей третьего порядка.
11

12. Методы вычисления определителей

Метод треугольника
1
+
1
3
0
2 1 4
5
6
1
_
1 ( 1) 1 3 4 5 2 6 0 5 ( 1) 0
2 3 1 1 6 4 29
Метод треугольника применим только для определителей123 порядка

13. Методы вычисления определителей

2
Метод разложения определителя по элементам строки
(столбца)
Определитель второго порядка, который получается из определителя
3 - го порядка путем вычеркивания i - й строки и j - го столбца, т.е.
строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент
называется минором элемента и обозначается
Алгебраическим дополнением элемента
Ai j Mi j ( 1)i j
aa1111 aa1212 aa1313
aa2121 aa2222 aa2323
aa3131 aa3232 aa3333
ai j
ai j
Mi j
называется
aa2211 aa2312
MM1123
aa3231 aa3332
1 1 2 3
A
M
(
M
A11 23 M11 23( 1) 1) M
13 23
11

14. Методы вычисления определителей

Величина определителя равна сумме произведений элементов
какой – либо строки (столбца) определителя на их
алгебраические дополнения:
n
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
i – ой строки
ai j A i j
Разложение определителя по элементам
j – ого столбца
j 1
n
i 1
2 1 0
3 1
0 1
0 3 1 2
( 1)
( 1) 1
2 1
5
1
2 5 1
1 1
1 2
0
0 3
2 5
2 (3 1 5 1) 1 (0 1 2 1) 2
14
( 1)1 3

15. Методы вычисления определителей

3
Использование свойств определителя
Свойства определителя:
Величина определителя:
равна нулю, если элементы какого - либо столбца или строки
равны нулю:
0 0
a21 a22
0 a22 0 a21 0
равна нулю, если соответствующие элементы двух строк
(столбцов) равны
a11 a12
a11 a12
a11 a12 a11 a12 0
15

16. Методы вычисления определителей

меняет знак, если поменять местами строки (столбцы):
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21 a12 a21 a11a22
a12 a11
a22 a21
увеличивается в k раз, если элементы какого - либо столбца
(строки) увеличить в k раз:
k a11 k a12
a21
a22
k a11 a22 k a12 a21 k
a11 a12
a21 a22
не меняется при замене строк соответствующими столбцами:
a11 a12
a21 a22
a11 a21
a12 a22
16

17. Методы вычисления определителей

не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца)
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца),
умноженные на произвольный множитель
a11
a12
a 21 ka11 a 22 ka12
a11a 22 a 21a12
a11a 22 a11ka12 a 21a12 ka11a12
a11 a12
a 21 a 22
Если определитель имеет так называемый треугольный вид,
то он вычисляется как произведение чисел, стоящих на
главной диагонали: a a a
11
12
13
0 a 22 a 23 a11a 22 a 33
0 0 a 33
17

18. Методы вычисления определителей

1
3 1
1
3
1
1
3
1
5 1
1 3 0 5 1 0 5 1 1
7
1 4 1
1 4 1 0 7 2
2
5 2 7 1 17
2
( 1)1 1
Выберем 1
К элементам
2
Разложим
столбец
и
К элементам
3
строки
прибавим
определитель
по
превратим
второй
строки
прибавим
элементы 11строки,
элементам
столбца
и третий
элементы
1
строки
умноженные на (-2)
элементы в нули
Также, используя свойства, можно привести определитель к
треугольному виду и вычислить по последнему свойству.
18

19. Действия над матрицами

Нахождение обратной матрицы
Обратной матрицей, называется матрица, которая, будучи
умноженной как слева, так и справа на данную матрицу, дает
единичную матрицу.
Обратная матрица обозначается символом А-1. Таким образом,
согласно определению: АА-1=А-1А=Е.
1
A
A A
A det A 0 A
det A
T
1
Транспонированная матрица
Присоединенная матрица
получается из матрицы А Если определитель матрицы
получается путем замены каждого
путем замены строк т
равен нулю, то обратная
элемента матрицы А на его
соответствующими
матрица не существует
алгебраическое дополнение
19
столбцами

20. Действия над матрицами

0 3 1
0 3 1
0 3 1
2 1
4
(
1
)
2
2
1
0
det
A
2
4
1
A 2 4 1
2 2
2 2 0
2 2 0
2 2 0
0 2 2 Из второй -2
T
A 2
A 3 4 строки
2 вычтем
строку
1 1 первую
0
-4
2 -1
Разложим
-2 2 определитель
по элементам
3 столбца
6 -6
4 2
A 11 3 2
( 1)2 3 2
2 320 42 3 5
A 12 0
1 20 ( 1) 2
2 23
2 2 ( 4 1( 4) (
A 21 A
)14)2 1
0
A
2
1 0( 1)5 6
1
A
13
0
2
AA
(
1
)
4
1 320.5
11) 1 62 1
12 101 (21
31 22
A
(
1
)
6
3 2
1 4331 2 03 4
1
1
A 2 2
2 1 1
2
2
3
3
4
6
6
20

21. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Метод обратной матрицы рассмотрим на примере
решения квадратной системы 3 порядка.
a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 21 x1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
32 2
33 3
3
31 1
Запишем эту систему в матричном виде. Обозначим:
a11 a12
A a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
x1
X x2
x3
b1
B b2
b3
Основная матрица
Матрица - столбецМатрица - столбец
системы свободных членов
неизвестных
21

22. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Тогда систему можно записать так:
a11 a12
A X a 21 a 22
a
31 a 32
a13 x1 a11 x1 a12 x 2 a13 x 3 b1
a 23 x 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 23 x 3 b 2
a x a x a x b
a 33 x 3 31 1
3
32 2
33 3
A X B
Найдем решение системы в матричном виде.
Предположим, что det A отличен от нуля и, следовательно,
существует обратная матрица А-1.
Умножим слева матричную запись системы на обратную матрицу:
A 1 A X A 1 B
E X A 1 B X A 1 B
Метод обратной матрицы применим для решения квадратных
22
систем с невырожденной основной матрицей.

23. Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

Решить систему методом обратной матрицы.
3 x 2 x 3 1
2x1 4 x 2 x 3 2
2x 2x 3
2
1
X A 1 B
1 0 .5
1
1
A 1 1
1
2
3
3
0 3 1
A 2 4 1
2 2 0
x1
X x2
x3
1
B 2
3
1
B 2
3
-0,5
2
-5
0 .5
X 2
5
23

24. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Центральная задача линейной алгебры - это решение систем
линейных уравнений.
Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n
равно числу уравнений n. Пусть n = 2:
a11x1 a12 x 2 b1
a21x1 a22 x 2 b2
ai j - коэффициенты при неизвестных.
Номер неизвестного,
Номер уравнения
Свободные члены уравнения
Решение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при
подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.
24

25. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

a11x1 a12 x 2 b1
a21x1 a22 x 2 b2
a11 a22 x1 a12 a22 x 2 b1 a22
a12 a21 x1 a12 a22 x 2 a12 b2
a
11
a22 a12 a21 x1 a22 b1 a12 b2
Обозначим:
1
b1 a12
b2 a22
a11 a12
a21 a22
a11 a22 a12 a21
b1 a22 a12 b2
x1 1
25

26. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Аналогично получим:
обозначив:
2
x 2 2
a11 b1
a21 b2
a11 b2 a21 b1
Система уравнений будет иметь вид:
Если
0
1
x1
;
x1 1
x 2 2
, то решение системы находится по формулам:
2
x2
Вспомогательные
определители системы
Главный определитель
системы
Формулы Крамера
26

27. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Решить систему методом Крамера:
2x1 x 2 5
3x1 2x 2 3
Вычислим главный и вспомогательные определители системы:
2
21
3 2
2 2 3 1 1
2 5
3 3
1
5 1
3 2
5 2 3 1 7
2 3 3 5 9
Найдем решение системы по формулам Крамера:
7
x 1 7;
1
9
x2
9
1
27

28. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Рассмотрим задачу решения системы линейных уравнений
размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: A X B
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 b 2
a a a a x b
mn n
m
m1 m 2 m 3
b1
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n b2
B A B
a a a a b
m
mn
m1 m 2 m 3
Если закрепить раз и
навсегда нумерацию
неизвестных, то можно
опустить неизвестные в
записи системы и
записать ее в виде
матрицы, отделяя
столбец свободных
членов вертикальной
чертой.
Расширенная матрица
системы
28

29. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Следующие действия над расширенной матрицей системы
называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.
Конечной целью элементарных преобразований является
получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы,
стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования
стараются производить так, чтобы на главной диагонали
появлялись единицы.
a11 a12
a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
b1
b2
b 3
1 c 12
0 1
0 0
c 13
c 23
1
d1
d2
d3
29

30. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

5 x 2y 4z 5
2x 3 y z 7
3 x y 2z 3
Ко второй строке
Запишем
прибавим третью строку,
расширенную
умноженную на (-5)
матрицу системы
( 2)
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 3)
~
1 строке
7 прибавим
2 К3первой
~
2 3 1 7
строку,
3 1 вторую
3 1 2 3
2
3
на (-2)
умноженную
6
9 1Ко второй
8
6строке
9 ( 5)
1 8
прибавим
первую
строку,
вычтем
Из третьей строки
0 19 13на (-2),
25
~
0 19 13 25 ~ умноженную
вторую строку
строке
0 23 16 30
0 К третьей
4 первую
3 строку,
5
прибавим
умноженную на (-3).
30

31. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1 8 6 9 4
0
~
0 1 2
0 4 3 5
x 1 y 2
1 8 6 9
: 5
0 1 2 0
~
строке
0 К0третьей
прибавим
5
5
вторую строку,
умноженную на 4
Вторую строку умножим
на (-1), третью
строку
Восстановим
систему:
разделим на 5
1 8 6 9
0 1 2 0
0 0
1
1
x 8 y 6 z 9
y 2z 0
z 1
( 1)
x 9 8 y 6 z
y 2z 2
z 1
x 9 16 6 1
y 2
z 1
z 1
31

32. Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
32

33. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов
называется
произведение
модулей
этих
векторов на косинус угла между ними.
а
М
Скалярное произведение двух векторов
b
a и b обозначатся:
a b a b cos
Законы скалярного произведения
1) a b b a
2)
(a b ) c a c b c
3) (a b ) ( a ) b a ( b )
a b x1 x2 y1 y 2 z1 z2
33

34. Скалярное произведение векторов

Из формулы скалярного произведения векторов следует формула
для нахождения угла между векторами:
a b
cos
a b
x1 x 2 y 1 y 2 z1 z2
x12 y 12 z12 x 22 y 22 z22
Найти косинус угола между векторами:
a b 1 6 2 4 3 2 8
a i 2 j 3k
b 6i 4 j 2k
a 12 22 3 2 14
b 62 42 2 56 2 14
8
2
cos
14 2 14 7
2
34

35. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора a на
вектор b называется
вектор c ,
определяемый следующим образом:
c
b
c a b sin( a ; b ) .
a
c a; c b
Геом. смысл: Модуль векторного произведения
равен
площади
параллелограмма,
построенного на перемножаемых векторах:
c
b
S c a b sin
a
Законы векторного произведения
1) a b b a
2)
a b c a b a c
3) (a b ) ( a ) b a ( b )
4)
35
вектора
a a 0 - векторный квадрат равен нулю для любого
35

36. Векторное произведение векторов

Найти векторное произведение векторов:
a 2i 3 j k
i
j
b 3i j 4k
Раскрываем определитель по
первой строке.
k
a b 2 3 1
Ai j Mi j ( 1)i j
3 1 4
3
1
1 4
i
2
1
3
4
j
2
3
3
1
k
12 1 i 8 3 j 2 9 k 11i 5 j 7k
36

37. Векторное произведение векторов

Найти площадь треугольника с вершинами:
A 2; 3; 1
B 5; 6; 3
C 7; 1; 10
В
Найдем координаты векторов:
AB 5 2; 6 3; 3 1 3; 3; 2
AC 7 2; 1 3; 10 1 5; 2; 9
a b 3
С
Чтобы найти координаты
вектора – из координат конца
вычесть координаты начала.
1
S a b
2
i
А
j
k
3
2 31i 17 j 21k
5 2 9
1
1
2
2
2
1691 20.6
S
31 ( 17) ( 21)
2
2
37

38. Смешанное произведение векторов

Векторно - скалярным или смешанным произведением трех
векторов a; b; c называется произведение, которое получается
скалярным умножением векторного произведения двух векторов
на третий вектор, т.е. произведение вида:
a b c
Смешанное произведение представляет собой скаляр. Выясним
его геометрический смысл.
d c
h b
h
V
a
Построим
на d
векторах
Обозначим:
, ; b; c
a h высоту
ba
Обозначим
через
параллелепипед,
тогда
площадь основанием,
параллелепипеда,
тогда
которого
c
cos
будем
считать
основания
будет
равна:
объем будет
равен:
параллелограмм со
сторонами
d cVS cos
a
Sd; b h. dd ch
V (a b ) c
38
Геом. смысл: объем параллелепипеда

39. Смешанное произведение векторов

i
j
k
y2
b c x 2 y 2 z2
y3
x3 y 3 z3
a (b c )
y2
z2
y3
z3
x1
z2
z3
i
x2
z2
x3
z3
x2
z2
x3
z3
y1
j
x2
y2
x3
y3
x2
y2
x3
y3
z1
x1 y 1 z1
a b c x 2 y 2 z2
x 3 y 3 z3
39
k

40. Смешанное произведение векторов

Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:
A 2; 2; 2 B 4; 3; 3 C 4; 5; 4 D 5; 5; 6
А
Найдем координаты векторов:
AB 4 2; 3 2; 3 2 2; 1; 1
D
AC 4 2; 5 2; 4 2 2; 3; 2
AD 5 2; 5 2; 6 2 3; 3; 4
2 1 1
0
0 1
AB AC AD 2 3 2 2
3 3 4
1
V abc
6
1
2
5 1 4
В
С
2
1
5 1
7
Объем треугольной
7 пирамиды
равен 1/6 части
V параллелепипеда,
6
построенного на векторах
a; b ; c
40

41. Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой
Уравнение прямой в отрезках
Каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Угол между двумя прямыми
Расстояние от точки до прямой
Деление отрезка в заданном отношении
41

42. Общее уравнение прямой

Ax By C 0
Уравнение
вида:
с произвольными коэффициентами А; В; С такими , что
А и В не равны нулю одновременно, называется
общим уравнением прямой.
Если точка М0(х0; у0 ) принадлежит
прямой, то общее уравнение прямой
М0(х0;
Ax0 вBy
0 C 0
превращается
тождество:
у )
0
Теоре
Ax By C 0 (1)
Пусть задана
ма
A; B будет ортогонален этой прямой.
n прямая:
Вектор
Доказательст
во:
Пусть некоторая точка М0(х0; у0 )
принадлежит прямой:
(2)
Ax0 By 0 C 0
42

43. Общее уравнение прямой

Найдем разность уравнений (1) и
(2):
Ax By C 0
Ax0 By 0 C 0
n
М (х; у )
М0(х0;
у0 )
Пусть точки М0(х0; у0 ) и М (х; у ) лежат на данной
прямой.
n A; B и M0M x x0 ; y y 0
Рассмотрим
векторы:
Равенство (3) представляет собой скалярное
произведение этих векторов, которое равно нулю:
n M0M 0 n M0M
n
Таким образом, вектор
перпендикулярен прямой и
называется нормальным вектором прямой.
43
Равенство (3) также является общим уравнением
A x x0 B y y 0 0 (3)

44. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой называется полным, если
все коэффициенты А, В, и С отличны от нуля.
В противном случае уравнение называется неполным.
Виды неполных
уравнений:
1 C 0; Ax By 0
)
2 B 0; Ax C 0
)
3 A 0; By C 0
)
4 B C 0; Ax 0 x 0
)
5 A C 0; By 0 y 0
)
y
х
0
44

45. Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное уравнение прямой:
Ax By
1
Ax By C 0 Ax By C
C C
x
y
C C 1
A
B
x y
C
C
1
a
b
Получим:
Обозначи
a b
A
B
м:
y
Уравнение в
Уравнение в отрезках
отрезках
используется для
b
построения прямой, при
этом a и b – отрезки,
a
0
х
которые отсекает прямая от
45
осей координат.

46. Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной
прямой, называется направляющим вектором этой
прямой. найти уравнение прямой, проходящей через
Требуется
q l; m
заданную точку М0(х0; у0 ) и параллельно заданному
вектору
Очевидно, что точка М (х; у )
q
лежит на прямой, только в том
М (х; у )
случае, если векторы
q l; m и M 0 M x x0 ; y y0 М0(х0;
у0 )
коллинеарн
ы.
По условию коллинеарности получаем:
x x0
y y0
l
m
Каноническое
46
уравнение прямой

47. Каноническое уравнение прямой

Пусть прямая проходит через две заданные и
отличные друг от друга точки: М1(х1; у1 ) и М2(х2; у2 ).
q
М2(х2;
у2 )
М1(х1;
у1 )
Тогда в качестве направляющего вектора в
каноническом уравнении можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1
x x1
y y1
y2m
y1
x2 l x1
Уравнение прямой,
проходящей через две
47
заданные точки

48. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая не параллельна оси OY и имеет
q l; m вектор
направляющий
, то угловой
коэффициент
k этой прямой равен тангенсу угла
y
наклона прямой к оси OX.
mq
0
m
k tg
l
l
x x0
y y0
l
m
Уравнение прямой с
угловым
коэффициентом
х
y y0 kx kx0
m
y y0 k ( x x0 )
l
Уравнение
b
y kx yb0 kx0 прямой с= угловым
48
коэффициентом

49. Пример

Прямая проходит через точку М(1; 2 ) и имеет
q { 1; 3} вектор:
направляющий
Написать: каноническое, общее уравнение прямой,
уравнение прямой в отрезках, уравнение с угловым
коэффициентом. Найти нормальный вектор прямой,
отрезки, которые отсекает прямая от осей координат
и угол, который составляет прямая с осью OX.
x 1 y 2
1. Каноническое
1
3
уравнение:
2. Общее
уравнение:
3x y 5 0
x 1 y 2
1
3
3 ( x 1) ( y 2)
N {3;1}
49

50. Пример

3. Уравнение в
отрезках:
3x y
5
5
1
3x y 5 0
x y
1
5
5
3
a
5
3
3x y 5
b 5
3x y 5 0
4. Уравнение с угловым
коэффициентом:
y
b
y 3 x 5
k tg 3
М
q
N
0
a
х
50

51. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы общими
L2
уравнениями:
L
A1x B1y C1 0
1 :
n1
L2 : A2 x B2 y C2 0
n2
L1
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
нормальными векторами к этим
n1 A1;B1 n2 A2 ;B2
прямым:
n1 n2
cos cos(n1; n2 )
n1 n2
A1 A2 B1 B2
A12 B12 A22 B22
A1 A2 B1 B2 0
L1 L2
A1 B1
A2 B2
L1 ll L2
51

52. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы каноническими
x x1 y y 1
L2
уравнениями:
L1 :
l1
m1
q2
x x2 y y 2
L2 :
q1
L1
l2
m2
Угол между этими прямыми
определяется как угол между
l 2;m2
q1 векторами
l1;m1 qк2 этим
направляющими
прямым:
l l m m
q q
21 2 2 1 2 2 2
cos cos(q1; q2 ) 1 2
q1 q2
l1 m1 l 2 m2
l1 l 2 m1 m2 0
l1 m1
l 2 m2
L1 L2
L1 ll L2
52

53. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с
L2
угловыми коэффициентами:
y
L1 : y k1x b1
L2 : y k2 x b2
L1
2 1
k1 tg 1
1
k2 tg 2
2
0
х
tg 2 tg 1
k 2 k1
tg tg ( 2 1 )
1 tg 2 tg 1
1 k 2 k1
k1 k2 1
k1 k2
L1 L2
L1 ll L2
53

54. Расстояние от точки до прямой

Пусть необходимо найти расстояние от точки М0(х0; у0 )
Ax By C 0
до прямой, заданной общим уравнением:
М0(х0; у0 )
Пусть М1(х1; у1 ) – основание
перпендикуляра, опущенного
n
d
из точки М0 на прямую L.
d M1M0 x0 x1; y 0 y1
L
М1(х1; у1 )
n A; B M1M0
Найдем скалярное произведение векторов
и
n M M n M M cos
1
0
0
или
1
0
n M1M0 n M1M0
cos 1
n d
Найдем скалярное произведение в координатной
nформе:
M1M0 A( x0 x1 ) B( y 0 y1 ) Ax0 Ax1 By540 By1

55. Расстояние от точки до прямой

Ax0 By 0 Ax1 By1
Точка М1(х1; у1 ) принадлежит прямой L ,
следовательно:
Ax By C 0 Ax By C
1
1
n M1M0 Ax0 By0 C
n M1M0 n d
Ax0 By 0 C
d
n
1
1
n d Ax0 By0 C
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
55

56. Деление отрезка в заданном отношении

Разделить отрезок М1М2 в заданном отношении λ > 0
значит найти на отрезке такую точку М(х;y), что имеет
M1M равенство:
место
M2
или M1M MM2
M
M1
MM
2
Пусть M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Найдем координаты точки
М.
M1M MM2
В координатной
M1M { x x1; y yформе:
MM 2 { x 2 x; y 2 y }
1}
x x1 ( x2 x )
y y1 ( y 2 y )
x (1 ) x2 x1
y (1 ) y 2 y1
x x2 x x1
y y 2 y y1
x1 x 2
x
1
y 1 y 2
y
156

57. Пример

Даны вершины треугольника: А(1; 1); В(10; 13); С(13;
6)
Найти:
Уравнения высоты, медианы и биссектрисы,В
проведенных из вершины А.
1. Уравнение высоты:
N q
А
x 10 y 13
(ВС): 13 10 6 13
7 x 70 3y 39
N {7; 3}
(АН): q {7; 3}
x 10 y 13
3
7
7x 3y 109 0
x 1 y 1
7
3
Н
С
3 x 3 7y 7
3 x 7y 4 0
57

58. Пример

В
2. Уравнение медианы:
т. М:
BM
MC
xM
x B xC
2
yM
y B yC
2
1
А
10 13
11.5
2
M (11.5; 9.5)
13 6
9 .5
2
x 1
y 1
11.5 1 9.5 1
8.5 x 10.5y 2 0
x 1 y 1
10.5 8.5
М
С
8.5 x 8.5 10.5y 10.5
17 x 21y 4 0
58

59. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола
59

60. Общее уравнение кривой второго порядка

К кривым второго порядка относятся: эллипс, частным
случаем которого является окружность, гипербола и
парабола.
Они задаются уравнением второй степени
относительно x и y:
Ax 2 2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0
Общее уравнение кривой
второго порядка
В некоторых частных случаях это уравнение может
определять также две прямые, точку или мнимое
геометрическое место.
60

61. Окружность

Окружностью называется геометрическое место
точек на плоскости, равноудаленных от точки А(a; b)
на расстояние R.
Для любой точки М
y
справедливо:
М(x;
AM R
R y)
А
0
2
x a y b
R
2
x a y b
R2
2
х
2
Каноническое уравнение
окружности
61

62. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек,
сумма расстояний от каждой из которых до двух точек
той же плоскости F1 и F2, называемых фокусами, есть
величина постоянная, равная 2а.
Зададим систему координат и начало координат
выберем в середине отрезка [F1 F2]
r1 r2 2a
y
F1( c; 0); F2 (c; 0)
M(x;
y)
2
r1 F1M x c y 2
r2
r1
F
F1
2
0
c2
-c
х
r2 F2M x c y 2
62

63. Эллипс

x c
2
x c
y2
2
y 2 2a
x c y 2a 2 a x xc c y y
2
2
x c
2
4a
y 4a 4a
2
x c
2
2
2
22
2
x c
2
y
2
x c
2
22
2
a
cb x a y a
22
2
2
2
x2 y 2
2 1
2
a
b
2
(ba22
: (ca22)b 2 )
a 2 x 2 2a 2 xc a 2c 2 a 2 y 2 a 4 2a 2 xc x 2c 2
2
y2
y 2 4a 2 x 2 2 xc c 2 x 2 2 xc c 2
22
2
4a
a xx
cc
yy 4a
4
xc
a xc : 4
22
2
2
2
b2
Каноническое уравнение
эллипса 63

64. Эллипс

y
b
r1
-а
F1
-c
0
-b
M(x;
y)
r2
F
c2
x2 y 2
2 1
2
a
b
F1F2 полуось
2c
малая
а х
r1 r2 2a
c 2 a2 b2
cполуось
большая
фокальное
расстояние
фокальные радиусы
a
точки
r1 aМ
x; r2 a x
эксцентриситет эллипса
Эксцентриситет характеризует форму эллипса (ε = 0 –
Для эллипса справедливы следующие неравенства:
окружность)
64
a c; a b; 0 1

65. Пример

Составить уравнение эллипса, фокусы которого
лежат в точках F1(-4; 0) F2(4; 0), а
c
4
c равен 0,8.
эксцентриситет
5
0.8 a
c 4
0 .8
a
c 2 a2 b2
b 2 a 2 c 2 25 16 9
Каноническое уравнение
эллипса: y
b 3
x2 y 2
1
25 9
3
-5
0
5 х
-3
65

66. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек,
разность расстояний от каждой из которых до двух
точек той же плоскости F1 и F2, называемых
фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
y
r1 r2 2a
M(x;
y)
F1
-c
r1
0
F
2c
F1( c; 0);
r2
F2 (c; 0)
r1 F1M
x c
r2 F2M
x c
2
y2
х
2
66
y2

67. Гипербола

x c
2
y2
x c
2
y 2 2a
x c
2
y2
x c
2
y 2 2a
После тождественных преобразований уравнение
примет
вид: 2 2
2
22 2
b2
c ab x a y a2 (bc22 : (a22b) 2 )
x2 y 2
2 1
2
a
b
Каноническое уравнение
гиперболы
67

68. Гипербола

x2 y 2
2 1
2
a
b
y
r1b
M(x;
y)
r1 r2 2a
r2
b
y x
F
F1
a
а
-а
2
0
c
-c
х
c 2 a2 b2
-b
c
мнимая полуось
фокальные
действительная
полуось
a
радиусы
точки М
1
Для гиперболы
асимптоты
эксцентриситет
справедливо:
гиперболы
гиперболы
68

69. Пример

Составить уравнение гиперболы, проходящей через
точку
b
6
6если ее асимптоты
А(6;
-4),
3b уравнениями:
6a
заданы
y
x
a
3
3
x2 y 2
62 ( 4)2
2 1 2
1
Точка А лежит на
2
2
a
b
a
b
гиперболе
36b 2 16a 2 a 2b 2
2
3b 6a
b2 a2
3
Решим
2
2
2 2
2
2
2 2
36b 16a a b
36
b
16
a
a
b
систему:
2 2
2
2
b a
a 2 3
a
12
3
2
2
b 8
b 2 2
24a 2 16a 2 a 4
3
69

70. Пример

Каноническое уравнение
гиперболы:
y
x2 y 2
1
12 8
2 2
2 3
2 3 х
0
2 2
70

71. Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на
плоскости, для каждой из которых расстояние до
некоторой фиксированной точки той же плоскости
p
p
x
F ( ;0)
2
2
, называемой фокусом, равно расстоянию до
прямой:
y
d
p
2
r d
M(x;
y)r
F
0
p
2
p
F ( ; 0)
2
p 0
2
х
p
r FM x y 2
2
p
2
71
d x

72. Парабола

каноническое
уравнение
параболы
2
p
p
2
x
y
x
2
2
2
2
p
p
x 2 px
y 2 x 2 px
4
4
y
d
p
2
директриса
p
rпараболы
x
2
M(x;
y)r
F
0
p
2
y 2 2px
фокальный радиус
х
фокус параболы
1
Эксцентриситет
72
параболы:

73. Функция. Основные понятия.

Понятие функции
Сложная функция
Элементарные функции
73

74. Понятие функции

При изучении различных явлений природы и решении
технических задач, а, следовательно, и в математике
приходится рассматривать изменение одной величины в
Так,
например,
площадь круга выражается
зависимости
от известно,
изменениячто
другой.
через радиус формулой S = πr2.
Если радиус r принимает различные числовые
значения, то площадь S также принимает различные
числовые
значения,
т.е. изменение
одной
Если каждому
значению
переменной
x, переменной
влечет
изменение некоторой
другой.
принадлежащему
области, соответствует
одно определенное значение другой переменной y, то
y есть функция от х.
y = f(x)
зависимая
переменная или
независимая
74
переменная или

75. Понятие функции

Совокупность значений x, для которых определяются
значения y в силу правила f(x) называется областью
определения (областью существования) функции:
D(f)
Совокупность значений y называется множеством
значений функции: Е(f)
1)
Табличный.
Способы задания
функции:
При этом способе выписываются в
определенном порядке значения
аргумента и соответствующие им
x
x1 функции.
x2 …
xn
значения
у
y1
y2
…
yn
75

76. Понятие функции

2)
Графический.
y
Совокупность точек
плоскости XOY,
абсциссы которых
являются
М (х; у )
значениями
y
независимой
переменной, а
х
ординаты –
0
х
соответствующими
значениями
функции,
3)
называется
Аналитический:
Функция y = f(x) задана аналитически , если f графиком функции
обозначает
действия,
выполняемые
над
y2 = f(x).
76
переменной, например:
y x 5

77. Основные элементарные функции

1 Линейная
)2 Степенная
функция:
) функция:
y xn
y kx b
3 Показательная
a x a 0; a 1
) yфункция:
4 Логарифмическая
) yфункция:
loga x a 0; a 1; x
5 Тригонометрические
) yфункции:
tg x y ctg x
y
четное
n a
a 11
0 a 1
n
нечетное
1
21 2
1
2 2 k tg
1
-- 0 1
1
х
11 - -b 2222
0
1 1 2
y sin x
6 Обратные тригонометрические
) yфункции:
arcsin x y arccos x y arctg x
0 a 1
y cos x
y arcctg x
77

78. Сложная функция

Если y является функцией от u, а u в свою очередь
зависит от переменной x, то y также зависит от x.
y F (u
)(x ) u (x )
Пример
:
Сложная
функция
y cos u
y cos x
u x
y F (x )
Областью определения функции
является или вся область определения функции u(x)
или та ее часть, в которой определяются значения u, не
выходящие из области определения
функции
F(u).
x
0
x 0
x 1
Пример y log2 x
log2 x 0 x 1 78
:

79. Предел функции

Предел функции в точке
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Первый замечательный предел
79

80. Предел функции в точке

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой
окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0.
x0
Число А называют пределом функции в точке x0 x(или
при
), если для любого положительного ε
найдется такое положительное число δ, что для всех х
из δ – окрестности точки
неравенство:
f ( x ) xA
0 справедливо
0; 0; x : x x0 f ( x ) A
lim f ( x ) A
x x0
80

81. Предел функции в точке

0; 0; x : x x0 f ( x ) A
ε окрестность точки А
y
2
А
0
х0
х
δ
окрестность точки
x0
Геометрический смысл предела: для всех х из δ –
окрестности точки x0 точки графика функции лежат
внутри полосы, шириной 2ε, ограниченной прямыми: у =
81
А+ε,у=А-ε.

82. Вычисление пределов

lim f ( x ) A
Вычисление
x x
предела:
начинают с подстановки предельного значения x0 в
функцию
f(x). получается конечное число, то предел
Если
при этом
равен этому числу.
0
3x 1
3 1 1
lim
2
2
2
x 1
x
1
Если при подстановки
предельного значения x0 в
функцию f(x) получаются
выражения вида:
то предел будет равен:
C
0
C
0
82

83. Вычисление пределов

Часто при подстановке предельного значения x0 в
функцию f(x) получаются выражения следующих
видов:
0
;
0
; 0 ; 1 ; 0 0 ; 0 ; 0 ;
Эти выражения называются неопределенности, а
вычисление пределов в этом случае называется
раскрытие неопределенности.
83

84. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие
неопределенности
0
0
x 2 14 x 32
0
x 2 x 16
lim 2
lim
x 2
x 2
x 6x 8
0
x 2 x 4
x 16 18
lim
9
x 2
x 4
2
Если f(x) – дробно –
x 1 1 x 1 1
0
x 1 1 функция,
рациональная
lim
limнеобходимо разложить
Если f(x) –
x 0
x 0
0
x
x x 1 дробь,
1
иррациональная
на множители числитель
x 1 1 дроби
необходимо
умножить
1
1
и
знаменатель
lim
lim числитель и знаменатель
x 0
x 0
x x 1 1
2 84
xдроби
1 1на выражение,

85. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие
неопределенности
2x 2 3 x 1
2 2
2
2x 2 3 x 1
x
x
x
lim 2
lim
x
x 4 x 2
2x 5
4 x 2x 5
2 2
2
x
x
x
3 1
2 2
C
2 0 0 1
x
x
lim
f(x) – дробно
0 –
Если
x
2 5
4 0 0 2
4 рациональная
функция
x x 2или иррациональная
дробь необходимо
разделить числитель и
85

86. Раскрытие неопределенностей

Раскрытие
неопределенности
lim x 2 1 x 2 1
x
lim
x 1 x 1
2
x
2
x 1 x 1
2
2
x2 1 x2 1
и разделим2
( x 2 1) ( x 2 Умножим
1)
lim
функцию
на
lim
2
2
x
2
2
x
x 1 x 1
x 1 сопряженное
x 1
выражение.
2
0
86

87. Первый замечательный предел

sin x
Функци
не определена при x
x
я
= 0.
x 0
Найдем предел этой функции при
М С
x
О В А
OA 1
0 x
2
Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 - площадь сектора OMА,
S3 - площадь треугольника OСА,
Из рисунка видно, что S1< S2 < S3
1
1
1
S1 OA MB OA 0M sin x sin x
2
2
2
87

88. Первый замечательный предел

М С
x
О В А
1
1
S2 OA AM x
2
2
1
1
S3 OA AC 1 tgx
2
2
1
1
1
sin x x tgx
2
2
2
x tgx
x sin x
sin x x tgx
sin x
cos x x
sin x
1
x
sin x
cos x
1
x
88

89. Первый замечательный предел

sin x
cos x
1
x
lim cos x cos 0 1
x 0
lim1 1
sin x
lim
1
x 0
x
x 0
Формула справедлива также при x < 0
Следствия:
x
lim
1
x 0
sin x
tgx
lim
1
x 0
x
x
lim
1
x 0
tgx
sin kx
lim
1
x 0
kx
89

90. Первый замечательный предел

0
1 cos 4 x
2 sin 2x
sin 2 x
lim
lim
2 lim
2
2
x 0
x
0
x
0
0
x
x
x
2
2
sin 2 x 2 lim 2 sin 2 x
x 0
2 lim
2x
x 0 x
2
2
sin 2 x
2
2 2 lim
2 2 1 8
x 0
2x
90
2

91. Производная функции

Определение производной
Геометрический смысл производной
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование

92. Определение производной

Пусть функция y = f(x) определена в некотором
интервале
b).
Аргументу x(a;придадим
некоторое приращение
x
x x (a; b )
:
Найдем соответствующее приращение функции:
y f ( x x ) f ( x )
y
f(x+ Δx
)
f(x )
0
y
lim
x 0
x
y
x
х x+Δ
x
х
Если существует
предел
то его называют
производной функции y
= f(x) и обозначают
одним из символов:
y ;
f ( x );
dy
dx

93. Определение производной

Итак, по определению:
f ( x x ) f ( x )
y lim
x 0
x
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой
точке интервала (a; b), называется дифференцируемой
в этом интервале; операция нахождения производной
функции называется дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0
обозначается одним из символов:
y ( x0 );
f ( x0 );
y x
0
Если функция y = f(x) описывает какой – либо
физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания
этого процесса – физический смысл производной.

94. Геометрический смысл производной

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
Через точки М и М1
y
М1
проведем секущую и
f(x+ Δx
обозначим через φ угол
y
)
ММ
y
наклона
секущей.
f(x )
tg
x
x
α φ
0
х x+Δ х
f ( x x ) f ( x )
x
x
y
При x 0
в силу непрерывности
функции
также стремится к нулю, поэтому точка М1
неограниченно приближается по кривой к точке М, а
ММ
1 lim
в
lim tg tg
секущая
переходит
касательную.
x 0
x 0

95. Геометрический смысл производной

f ( x x ) f ( x )
y
lim
tg
k
x 0
x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту
y y = f(x) в точке,
касательной к графику функции
абсцисса которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ),
угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y y 0 кf '((xx-0 )(
x 0x)- x 0 )
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания,
f ' ( x0 )
называется нормалью к кривой.
k норм
1
1
1
y y0
( x x0 )
k кас
f ' ( x0 )
f ' ( x0 )

96. Производные основных элементарных функций

n
y x
n Z
1 Степенная
функция:
x
Придадим
аргументу x приращение
, тогда функция
получит приращение:
y x x x
n
n
Формула бинома Ньютона:
n(n 1) n 2 2
a b a na b
a b
2!
n(n 1) (n k 1) n k k
a b bn
k!
n
n
n 1
K – факториал
k! 1 2 3 k

97. Производные основных элементарных функций

По формуле бинома Ньютона имеем:
y x x x n
n
n(n 1) n 2 2
n
n
( x nx x
x x x ) x
2!
y
n(n 1) n 2
n 1
n 1
nx
x
x
x
Тогда:
x
2!
y
n 1 n(n 1) n 2
n 1
lim
lim nx
x x x
x 0
x x 0
2!
n
nx n 1
n 1
x ' nx
n
n 1

98. Производные основных элементарных функций

2 Логарифмическая
функция:
y ln x
x x
y ln x x ln x ln
ln 1
x
x
x
ln 1
1
y
x
x lim
lim
lim
lim
x 0
x 0
x 0
x 0
x
x
x
x
1
ln x '
x
x
x
1
x
x x
ln 1
~
x
x
Аналогично выводятся правила дифференцирования
при x 0
других основных элементарных функций.

99.

Таблица производных:
99

100. Правила дифференцирования

Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в
некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C ) 0
(u v ) u v
(u v ) u v u v (C u ) C u
(u v w ) u v w u v w u v w
u u v u v
C
C
v
2
2
v
v
v
v

101. Производная сложной функции

Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная
функция с промежуточным аргументом u и
независимым
аргументом x.
Теорем
а
u x
Если
функция u = φ(x) имеет производную
в точке
y u
x а функция y = f(u) имеет производную
в
x
y
соответствующей точке u , то сложная функция имеет
производную
, которая находится по формуле:
y x y u u x
Это правило остается в силе, если промежуточных
аргументов несколько:
y f (u );
u (v );
v g( x )
y x y u uv v x
y f ( (g ( x )))

102. Пример

1 sin x
y 3
x ln x
Вычислить производную
функции
1 sin x
y 3
x ln x
(1 sin x ) ( x 3 ln x ) (1 sin x ) ( x 3 ln x )
x
3
ln x
2
(1 (sin x ) ) ( x 3 ln x ) (1 sin x ) (( x 3 ) ln x x 3 (ln x ) )
x
3
ln x
2
1
cos x x 3 ln x (1 sin x ) (3 x 2 ln x x 32 )
x
2
3
x ln x

103. Пример

y cos(ln12 x )
Вычислить производную
функции
Данную функцию можно представить следующим
образом:
y cos u; u v 12 ; v ln x
y x y u uv v x
y u sin u sinv 12 sin ln12 x
u 12v 11 12 ln11 x
1
v
x
y sin ln12 x 12 ln11 x
Коротко
12
12
12
y
: (cos(ln x )) sin(ln x ) (ln x )
sin(ln 12 x ) 12 ln11 x (ln x )
1
x

104. Производная неявно заданной функции

Если функция задана уравнением y = f(х) ,
разрешенным относительно y, то говорят, что функция
Под
неявным
заданием
задана
в явном
виде. функции понимают задание
функции в виде уравнения не разрешенного
относительно y: F ( x; y ) 0
Для нахождения производной неявно заданной функции
необходимо продифференцировать уравнение по х,
рассматривая при этом y как функцию от х, и
полученное выражение разрешить относительно
3
3
3
3
(
x
)
(
y
) 3( xy ) 0
x
y
3
xy
0
производной.
3 x 2 3y 2 y 3( x y xy ) 0
x 2 y 2 y y xy 0
y x2
y 2
y x

105. Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной
целесообразно заданную функцию сначала
прологарифмировать, а затем результат
Такую операцию называют логарифмическим
продифференцировать.
дифференцированием.
x 2 4 ( x 1)3 e x
x 2 4 ( x 1)3 e x
y
ln y ln
5
5
2x 5
2x 5
3
ln( x 1) x 5 ln( 2 x 5)
4
y 2 3 ( x 1)
(2x 5)
1 5
y
x 4 x 1
2x 5
2 4
3
x
y 2
3
10
x
(
x
1
)
e
y
y
1
y
x 4x 4
2x 5
2x 5 5
ln y 2 ln x

106. Логарифмическое дифференцирование

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые
v(x)
функции.
y
u
(
x
)
Функция
называется степенно –
показательной.
Производная такой функции находится только с
помощью логарифмического дифференцирования.
y sin x
x 2 1
ln y ln sin x
x 2 1
ln y ( x 2 1) ln sin x
y
( x 2 1) ln sin x ( x 2 1) (ln sin x )
y
y
cos x
x 2 1
2
y 2x ln(sin x ) ( x 1)
y sin x
y
sin x