Высшая математика. Лекция 2. Обратная матрица

1. Высшая математика

ЛЕКЦИЯ 2
СЛАУ

2. 3. Обратная матрица

Пусть А – невырожденная (det A≠0)
квадратная матрица (1.2) порядка n.
Е – единичная матрица того же порядка.
Матрица А–1 называется обратной
к матрице А, если выполняются равенства
1
1
A A А А
Е.

3.

Теорема.
( О существовании обратной матрицы).
Матрица А имеет обратную тогда и только тогда,
когда ее определитель отличен от нуля (det A 0,
т.е. когда матрица является невырожденной).

4.

Теорема.
Всякая невырожденная матрица
имеет единственную обратную матрицу:
А11 А21 .... Аn1
1 А12 А22 .... Аn 2
1
A
det A .... .... ..... .....
А
А
.....
А
2n
nn
1n
Aij – алгебраическое дополнение элемента aij.

5. 0.

n =2.
a
11
А a 21
1 А11
A
А12
1
a12 .
a 22
А21 .
А22
0.
Обратная матрица:
1 a 22 a12
A
.
a11
a 21
1

6. Обратная матрица:

n = 3.
a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 .
a33
Обратная матрица:
A11
1
1
А
A12
det A A
13
A21
A22
A23
A31
A32 .
A33

7.

8.

Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
.
А 1 1 0 . А 1 1 A
A
A
1 0 1
12
22
32
det
A
A13 A23 A33
det A 1.
Решение

9.

Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
.
А 1 1 0 . А 1 1 A
A
A
1 0 1
12
22
32
det
A
A13 A23 A33
det A 1.
1 1 1
A11 ( 1)
Решение
0
01
1,

10.

Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0
А 1 1 0 .
1 0 1
Пример
det A 1
1 1 1
A11 ( 1)
Решение
A12 ( 1)1 2
0
0 1
10
1 1
1
1

11.

Найти обратную матрицу к матрице
1 0 0
А 1 1 0 .
1 0 1
Пример
det A 1
1 1 1
A11 ( 1)
Решение
A12 ( 1)1 2
A13 ( 1)1 3
0
01
10
1,
1,
11
1 1
1 0
1,

12.

Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 . А 1 1 A12 A22 A32 .
1 0 1
det A A
13 A23 A33
1
1
1
A
1 .
1
1 1 1 0
1
A11 ( 1)
1,
det A 1.
Решение
A12 ( 1)1 2
A13 ( 1)1 3
0 1
1 0
1 1
1 1
1 0
1,
1,

13.

Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
Пример А 1 1 0 . А 1 1 A
.
A
A
12
22
32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
Решение
A21 ( 1)
2 1
A22 ( 1)
2 2
A23 ( 1)
2 3
0 0
0,
01
10
1,
11
10
0,
10
1
1
1
A
1
1
1

14.

Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
Пример А 1 1 0 . А 1 1 A
.
A
A
12
22
32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
A21 ( 1)2 1
Решение
A22 ( 1)
2 2
A23 ( 1)
2 3
11
0 0
0, A 11 11 11
01
1
1
11
10
1,
11
10
0,
10
0
1 .
0

15.

Пример
Решение
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 . А 1 1 A12 A22 A32 .
1 0 1
det A A
13 A23 A33
A21 ( 1)
2 1
A22 ( 1)
2 2
A23 ( 1)
2 3
0 0
0,
01
10
1,
11
10
0,
10
1 0
1
1
A 1 1 .
1
1
0

16.

Пример
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 А 1 1 A12 A22 A32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
0
1 0
A31 ( 1)
0 11 11
1 0
AA 1 1
0
11
1
0
3 2
0
1
1
A32 ( 1)
0
Решение
10
3 1
A33 ( 1)
3 3
0 0
1 0
1
1 1

17.

Пример
Решение
Найти обратную матрицу к матрице
A11 A21 A31
1 0 0
А 1 1 0 А 1 1 A12 A22 A32
1 0 1
det A A
13 A23 A33
1 0 0 1 0 0
1
1
A
1 1 0 1 1 0 .
1
1 0 1
1
0
1
1 0 0
1
0
0
1
0
0
1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 .
AA
1 0 1 1 0 1 0 0 1

18. 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

(СЛАУ)

19.

К решению систем линейных алгебраических
уравнений
сводятся
многочисленные
практические задачи (по некоторым оценкам
более 75% всех задач).

20.

• Системой линейных алгебраических уравнений,
содержащей т уравнений и n неизвестных, называется
система вида
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... +  a1n xn  = b1,
a x + a x + a x + ... + a x  = b ,
21 1 22 2
23 3
2n n
2
(2.1)
am1x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn  = bm , 
где x1, x2,  , xn – неизвестные,
aij– числа (i = 1,  , m; j =1,  , n), называемые
коэффициентами системы,
b1, b2,  , bm – числа, называемые свободными
членами.

21.

• Решением системы (2.1) будем называть
упорядоченный набор чисел x1, x2,  , xn ,
обращающий каждое ее уравнение в верное
равенство.
• Такую систему удобно записывать в компактной
матричной форме:
А  Х=В.
(2.2)
a11 a12
a
a22
21
А a31 a32
am1 am 2
a13 ... a1n
a23 ... a2 n – матрица коэффициентов системы.
a33 ... a3n
b1
b
am3 ... amn
2 — (столбец правых частей)
В b3
вектор-столбец из
свободных членов bi.
bm
x1
x2
Х x3
— вектор-столбец из неизвестных x .
j 
x
n

22.

a11 a12
a
a22
21
A a31 a32
am1 am 2
a13 ... a1n b1
a23 ... a2 n b2
(2.3)
a33 ... a3n b3 .
am3 ... amn bm

23.

• Решить систему — значит найти все ее решения или
доказать, что решений нет.

24.

Система линейных уравнений
хотя бы одно решение
совместная
единственное
решение
определенная
нет решения
несовместная
более одного решения
неопределенная

25.

• В случае неопределенной СЛАУ каждое ее
решение называется частным решением.
• Совокупность всех частных решений называется
общим решением.

26.

• Система, у которой все свободные члены равны нулю
(b1 = b2 = = bn = 0), называется однородной.
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... +  a1n xn  = 0,
a x + a x + a x + ... + a x  = 0,
21 1 22 2
23 3
2n n
(2.4)
am1x1 + am 2 x2 + am3 x3 + ... + amn xn  = 0. 
• Однородная система всегда совместна,
совместна так как набор
из n нулей (тривиальное решение) удовлетворяет
любому уравнению из (2.4).

27.

• Если число уравнений системы совпадает с
числом неизвестных (m=n), то система
называется квадратной.
• Если определитель матрицы A квадратной
системы Δ =det A≠ 0,
0 то система имеет
единственное решение.
решение
• Если det A= 0,
0 то система либо имеет
бесконечное множество решений,
решений либо
несовместна.

28. 4.1. ПРИМЕНЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СЛАУ

29. Применение обратной матрицы для решения СЛАУ

В матричной форме записи квадратная определенная система
уравнений имеет вид:
АХ=В.
(2.2*)
Так как det А= 0, существует обратная матрица А–1.
Если умножить обе части (2.2*) на А–1 слева, то получим формулу
для нахождения столбца неизвестных Х:
1
1
A A X A B
Е
Х
1
X A B.
(2. 5)

30.

Пример. Решить матричным способом систему
уравнений
3 x 2 y 7,
x y 4.
Решение.
А 13 21 .
A
1
1 a 22
a 21
7
В .
4
a12
.
a11
3 2
1 1
5.
1 1 2
А
1 3 .
5
1
х
1 1 2 7 1 15 3
1
.
Х А В
1 3
4 5 5 1
5
у

31.

32. швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры

(1704 -1752)
швейцарский математик, один из
создателей линейной алгебры

33.

X A 1 B.
(2. 5)
Пусть квадратная определенная система в матричной
форме имеет вид :
АХ=В, det А= 0.
(2.6)
Тогда из (2.5) получим, что решение (2.6) находится по
формулам:
x1
A11
x
A
1
2 12
M K
xn
A1n
A21 K
A22 K
K
K
A2 n K
An1 b1
A11b1 A21b2 L An1bn
A b A b L A b
An 2
b
1
22 2
n2 n
2 12 1
K M
M
Ann bn
A1nb1 A2 nb2 L Annbn
где
i
Формулы (2.7) отыскания
решения системы (2.6)
,
называются формулами
Крамера.
Крамера
1
2
n
. (2.7)
x1 , x2 ,K , xn
определитель матрицы, полученной из А заменой ее
j-го столбца на столбец правых частей системы, j=1, 2,..n.

34.

Частный случай n=2.
(2.8)
Введем в рассмотрение следующие три определителя для
матрицы системы (2.8):
Теорема (правило Крамера).
Если 0, то система (2.8) имеет единственное
решение, которое находится по формулам
х
х
; у
у
.
(2.9)

35.

Пример. Решить по правилу Крамера систему уравнений
:
3 x 2 y 7,
x y 4.
Решение. Вычислим определитель системы
x
7 2
4 1
15,
y
3 2
1 1
3 7
1 4
5 0.
5.
Cогласно (2.9), получаем
x 15
x
3,
5
y
5
y
1.
5

36.

3x 2 y 7
x y 4

37.

n=3.
Рассмотрим систему трех линейных уравнений с
тремя неизвестными
а11 х1 а12 х2 а13 х3 b1,
а21х1 а22 х2 а23 х3 b2 ,
а31х1 а32 х2 а33 х3 b3.
(2.10)
Обозначим
а11 а12 а13
b1 а12 а13
а21 а22 а23 , 1 b2 а22 а23 , 2
а31 а32 а33
b3 а32 а33
а11 b1 а13
а21 b2 а23 , 3
а31 b3 а33
а11 а12 b1
а21 а22 b2 .
а31 а32 b3
Вспомогательные определители 1, 2, 3 получаются
из определителя матрицы системы (2.10) заменой
соответствующего столбца столбцом свободных
членов.

38.

n = 3.
Теорема (правило Крамера). Если 0, то система
(2.10) имеет единственное решение, которое
находится по формулам Крамера
х1
1
, х2
2
, х3
3
.
(2.11)

39. Окончание лекции