Нахождение угла между двумя прямыми в пространстве

1. Нахождение угла между двумя прямыми в пространстве

2. Цели обучения

11.4.2 - находить угол между прямыми
(по заданным уравнениям прямых);

3. Цели урока

• Уметь находить угла между двумя прямыми
в пространстве

4.

Прямая в пространстве
• Каноническое уравнение прямой
• Параметрическое уравнение прямой
• Угол между двумя прямыми

5.

Каноническое уравнение прямой
Пусть прямая L проходит через данную точку М0(x0; y0; z0)
параллельно вектору: q m; n; p
Тогда точка М (x; y; z) лежит на прямой только в
том случае, если векторы
q m; n; p и
q
L
М0
М
M0M x x0 ; y y 0 ; z z0 коллинеарны
По условию коллинеарности двух векторов:
x x0 y y 0 z z0
m
n
p
Каноническое уравнение
прямой
q m; n; p - направляющий вектор прямой

6. Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение
уравнение прямой
прямой
Каноническое
Пусть прямая проходит через две заданные и отличные друг от
друга точки: М1(х1; у1 ; z1 ) и М2(х2; у2 ; z2 ).
q
М2
L М1
Тогда в качестве направляющего
вектора в каноническом уравнении
можно взять вектор:
q M1M 2 x 2 x1; y 2 y 1; z2 z1
x x1
y y 1 z z1
y 2 n y1 z2 p z1
mx1
x2
Уравнение прямой, проходящей
через две заданные точки

7.

Параметрическое уравнение прямой
При решении многих практических задач используют
параметрическое уравнение прямой, которое получается из
канонического уравнения:
x x0 y y 0 z z0
t
m
n
p
x mt x 0
y nt y 0
z pt z
0
x x0
m t
y y
0
t
n
z z0 t
p
Параметрическое уравнение
прямой

8. Угол между прямыми

Угол между прямыми
Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:
x x 2 y y 2 z z2
L2 :
m2
n2
p2
x x1 y y 1 z z1
L1 :
m1
n1
p1
Углом между этими прямыми называется угол между
направляющими векторами к этим прямым.
q1 m1; n1; p1
q2 m2 ; n2 ; p2
cos
q2
q1
L1
L2
q1 q2
q1 q2
m1 m2 n1 n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

9. Пример:

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих
прямых. Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому
направляющий вектор {3; 4; 5}. Преобразуем второе уравнение к
каноническому вид.
Получено уравнение второй прямой в канонической форме:
{-2; -1/3; 2/3} - направляющий вектор второй прямой.

10.

11. Решение задач

1. Найдите угол между прямыми