Подпространства векторного пространства

1.

Подпространства
векторного пространства

2.

3.

1. Умножим тройку на число α: x1 , x2 , 1 x1, x2 , L
Не является подпространством векторного пространства.
2. Проверим свойство умножения на число. Возьмем тройку: x1 , x2 , x3
Проверим выполнение условия, определяющего подпространство
a1 x1 a2 x2 a3 x3 1
a1 x1 a2 x2 a3 x3 a1 x1 a2 x2 a3 x3 1
Не является подпространством векторного пространства.
3. Проверим свойства умножения на число и суммы двух векторов:
x1, 0, x3 y1,0, y3 L
x1,0, x3 y1,0, y3 x1 y1,0, x3 y3 z1,0, z3 L
Является подпространством векторного пространства.

4.

4. Проверим свойства умножения на число и суммы двух векторов:
a x 1 b x 2 1
a x 1 b x 2 1 a x 1 b x 2 1 c x 1 d x 2 1 L
a1 x 1 b1 x 2 1 a2 x 1 b2 x 2 1 a1 a2 x 1 b1 b2 x 2 1
a3 x 1 b3 x 2 1 L
Является подпространством векторного пространства.
5. Проверим свойства умножения на число и суммы двух векторов:
a x b x2
a x b x 2 a x b x 2 c x d x 2 L
a1 x b1 x 2 a2 x b2 x 2 a1 a2 x b1 b2 x 2 a3 x b3 x 2 L
Является подпространством векторного пространства.

5.

Тест 2-4. Задача № 2
См. лекцию 2.4.5 Пересечение и сумма подпространств. Часть 1

6.

Тест 2-4. Задача № 3
См. лекцию 2.4.6 Пересечение и сумма подпространств. Часть 2

7.

Тест 2-4. Задача № 4 -1
Проекция вектора на вектор в матричном виде выглядит как:
( Лекция 2.4.3 Проецирование вектора на подпространство. Часть 1)
прa b M b
T
a
a
Где M T
a a
Найдем М в нашем случае:
3
9 18
3
6
18 36
a aT 6
1 9 18 1 1 2
M T
a a
9 36
45 18 36 5 2 4
3
3 6
6
1 1 2 x 1 x 2y
прa b M b
Тогда
5 2 4 y 5 2x 4 y
1 2 2 4 9
1.8
5
5

8.

Тест 2-4. Задача № 4 -2
Проекция вектора на вектор в матричном виде выглядит как:
( Лекция 2.4.3 Проецирование вектора на подпространство. Часть 1)
прa b M b
T
a
a
Где M T
a a
Найдем М в нашем случае:
1
1 6
1
6
6
36
a aT 6
1 1 6
M T
a a
1 36
37 6 36
1
1 6
6
Тогда
1 1 6 x 1 x 6y
прa b M b
37 6 36 y 37 6 x 36 y
1 6 6 36
1.32
37

9.

Тест 2-4. Задача 5.
Нам известно, что:
прL с M c, M X X T X X T
1
( Лекция 2.4.4 Проецирование вектора на подпространство. Часть 2)
Найдем матрицу проецирования М:
0,1 0
X 2 3
5
2
0,1 0 0,1 0
0,1 0
0,1
2
5
0,01 4 25 6 10 29,01 16
X T X 2 3 2 3
2
3
16
6 10
0
3
2
9
4
13
5
5
5
2
2
2
T
X
T
X
1
1
16 0,11 0,13
29,01 16
1 13
16 29,01 0,13 0,24
16
13
121,13

10.

0,1 0
0,11 0,13 0,1 2 5
M 2 3
0 3 2
0,24
0,13
5
2
0,1 0,11 0,1 0,13
0,1 2 5
0,22 0,39 0,26 0,72
0,55 0,26 0,65 0,48 0 3 2
0,011 0,1 0,022 0,039 0,055 0,026
0,011 0,013
0,1 2 5
0,92
0,85
1,38
0,34
0,017
0,17 0,46
2
3
0
0,29 0,17
1,45 0,34
0,58 0,51
0,029
0,0011 0,017 0,029
0,07
0,017 1,04
0,029 0,07
1,11
0,0011 0,017 0,029 1 0,0011 1 0,017 9 0,029 5
прL с M c 0,017 1,04
0,07 9 0,017 1 1,04 9 0,07 5
0,029 0,07
1,11 5 0,029 1 0,07 9 1,11 5
0,0011 0,153 0,145 0,2991
0,017 9,36 0,35 9,027
0,029 0,63 5,55 4,949

11.

Тест 2-4. Задача 6.

12.

Тест 2-4. Задача 7.
Способ № 1
n
F ( a, b)
y a b x2
Будем минимизировать функцию:
i
Составляем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
F (a, b)
a 0
F (a, b) 0
b
F (a, b)
a 0
F (a, b) 0
b
n
2
2 y a b x 0
i
n
2 x 2 y a b x 2 0
i
y a b x
2
n
2 2
i
n
2
2 y a b x 0
i
n
2 x 2 y a x 2 b x 4 0
i
n
n
n
n
n
n
2
2
2
y a b x 0
y a b x 0
na b x y
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
n
n
x 2 y a x 2 b x 4 0 x 2 y a x 2 b x 4 0 a x 2 b x 4 x 2 y
i
i
i
i
i
i
i

13.

F (a, b)
a 0
F (a, b) 0
b
n
2
2 y a b x 0
i
n
2 x 2 y a b x 2 0
i
n
2
2 y a b x 0
i
n
2 x 2 y a x 2 b x 4 0
i
n
n
n
n
n
n
2
2
2
y a b x 0
y a b x 0
na b x y
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
n
n
n
x 2 y a x 2 b x 4 0 x 2 y a x 2 b x 4 0 a x 2 b x 4 x 2 y
i
i
i
i
i
i
i
n
n
y 6, x
i
i
2
5,
n
x
i
4
17,
n
x
2
y 26
i
48
78 51b 25
b
6
b
1,85
26 17b
3
5
b
6
5
5
26
3a 5b 6
5
48
5
a
17
b
26
26
17
26
17
b
a
26 17b
26 1,08
a
5
5
5

14.

y( x) 1,08 1,85x 2
y(5) 1,08 1,85 25 45,17
Способ № 2. Лекция 2.4.8 Примеры проецирования. МНК
x
y
1 2
0
2
2
6
y a1 a2 x 2
Ф0 1
Ф1 x 2
Составим матрицу
значений базисных
функций (см. лекцию
2.4.8 Примеры
проецирования. МНК ):
Ф0
Ф1
1
1 x 1
1
0 x 0
1
4 x 2
Составим нормальную систему уравнений (см. лекцию 2.4.4., 2.4.6):
FT F a FT Y
1
F T F 1
1
1
F T Y 1
1
T
1
0
4
1
1
1
T
1
0
4
1
1
1 1 1
0
1
1
0
4
4
1
1
3 5
0
5
17
4
2
2
1
1
1
6
2
2 26
1
0
4
6
6

15.

Нормальная система уравнений :
FT F a FT Y
F
T
F F F a F F FT Y
1
T
T
1
a FT F FT Y
1
F
T
F
1
1
3 5
1 17 5
5
17
5
3
26
a FT F FT Y
1
1 17 5 6 1 17 6 5 26
5 3 26 5 6 3 26
26
26
1 17 6 5 26 1 28 1,08 a1
26 5 6 3 26 26 48 1,85 a2
y( x) 1,08 1,85x 2
y(5) 1,08 1,85 25 45,17

16.

Тест 2-4. Задача 8.
Система в матричной форме записывается как:
Где
1 1
A 1 1
2 1
x
x
y
3
b 1
2
1 1
3
1 1 x 1
y
2 1 2

17.

Составим нормальную систему уравнений:
AT A x AT b
T
T
1 1 1 1
1 1 3
x
1 1 1 1
1 1 1
2 1 2 1 y 2 1 2
1 1
3
1 1 2
x 1 1 2 1
1
1
1 1 1
y 1 1 1
2 1
2
1 1 4 1 1 2 x 3 1 4
1 1 2 1 1 1 y 3 1 2
6 2 x 8
2 3 y 4
1
x 6 2 8 1 3 2 8 1 16 1,14
y 2 3 4 2 6 4 8 0,57
14
14

18.

Тест 2-4. Задача 9.
В результате умножения двух векторов, получается вектор, перпендикулярный
перемножаемым векторам. Воспользуемся этим свойством. Найдем векторное произведение
векторов и вычислим для него орт-вектор.
i
j
k
a b 2,7 2 5 i
2,2
3 2
2 5
3 2
j
2,7 5
2,2
2
k
2,7 2
2,2
3
11 i 16,4 j 12,5 k .
Найдем координаты орт вектора:
c0
c
c
11 i 16,4 j 12,5 k
112 ( 16,4) 2 12,52
11 i 16,4 j 12,5 k 11 i 16,4 j 12,5 k
121 268,96 156,25
546,21
11 i 16,4 j 12,5 k
0,47 i 0,70 j 0,53 k .
23,37

19.

Тест 2-4. Задача 10.
Из свойств векторного произведения известно, что площадь треугольника равна
S
1
a b
2
Найдем векторное произведение векторов в координатной форме:
i
j
k
a b 0,6 2 5 i
3,8 3 2
2 5
3 2
j
0,6 5
3,8 2
k
0,6 2
3,8 3
11 i 17,8 j 5,8 k .
Тогда площадь треугольника будет равна:
S
1
1
1
a b
112 ( 17,8)2 ( 5,8)2
121 316,84 33,64 10,86
2
2
2