Дифференциальное исчисление элементарной и сложной функции функции

1. Дифференциальное исчисление элементарной и сложной функции функции

Дифференциальное исчисление – раздел математики, в
котором изучаются производные и дифференциалы функций
и их применение к исследованию функций.
.

2.

Операцию нахождения для функции y = f(x) её производной
функции называют дифференцированием функции f(x).

3. Правила дифференцирования

1) Производная постоянной функции равна нулю, т.е.
C = 0, где С – константа.
2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности)
производных, т.е. (u v) u v
3) Производная произведения находится по правилу:
(u v) u v u v
Замечание. Формула дифференцирования произведения может
быть легко обобщена на случай большего числа
множителей. Например,
(u v w) u v w u v w u v w ,
(u v w t ) u v w t u v w t u v w t u v w t .

4.

4) (C u ) C u , где С – константа.
Говорят: «постоянный множитель
производной».
выносится
за
знак
5) Производная дроби находится по правилу:
u u v u v
v
v2
v( x) 0 .
6) Если функция (t) имеет производную в точке t, а функция
f(u) имеет производную в точке u = (t), то сложная
функция y = f( (t)) имеет производную в точке t, причем
y f (u ) u
(правило дифференцирования сложной функции).

5.

УПРАЖНЕНИЯ.
1) Зная, что (sinx) = cosx, (cosx) = –sinx, (ex) = ex, получить
формулы
1
1
(tg x)
,
(ctg
x
)
,
2
2
cos x
sin x
(sh x) ch x ,
1
(th x) 2 ,
ch x
(ch x) sh x ,
1
(cth x) 2 .
sh x
2)
(arcsin x)
1
, (arccos x)
1
, x ( 1; 1) ;
1 x2
1 x2
1
1
(arctg x)
, (arcctg x)
, x .
2
2
1 x
1 x

6.

По определению и с помощью правил
дифференцирования
находят производные основных элементарных
функций (таблица производных).
Производная любой элементарной функции
находится с помощью таблицы производных
и правил дифференцирования.