Дифференциальное исчисление. Лекция 1

1.

Российская академия народного хозяйства и 
государственной службы при Президенте РФ
Институт права и национальной безопасности
Факультет таможенного дела
Раздел 2 тема № 6
«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ 
ИСЧИСЛЕНИЕ »
Лекция №1
профессор Резниченко Александр Васильевич
Москва – 2016

2.

УЧЕБНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Понятие производной функции
2. Основные правила
    дифференцирования
3. Дифференциал функции
4. Основные теоремы
    дифференциального исчисления

3. Литература

1. «Высшая математика для экономического бакалавриата: Учебник и практикум» / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. – М.: "Юрайт", 2016.
2. «Математика для экономистов от арифметики до
эконометрики: базовый курс» / Под ред. проф. Н.Ш.
Кремера. – М.: "Юрайт", 2016.
3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. «Краткий курс
высшей математики: Учебное пособие для вузов» М.: ООО «Издательство Астрель», 2011.

4.

ПЕРВЫЙ ВОПРОС
Понятие производной функции

5.

Определение.
Пусть функция у = f (x) определена на промежутке Х (х Х) или
О(х,ε). Производной функции у = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению независимой
переменной при стремлении последнего к нулю (при условии, что
этот предел существует):
Пример.
Замечание.
dy f(df
(=xx) 2 в точке
Найти производную
функции
x
)
( x)x. = x0.
y
,
f
(
x
),
,
,
y
,
f
Обозначение
:
Можно доказать, что и для любого (не только натурального n):
Решение.
dx
dx
n x1) 2 x 2 2 x x x 2 .
y f ( x0 x) f ((xx0 n) ) ( x0nx
. 0 2 0
y
2 x0 x x
f ( x0 ) lim
lim
2 x0 .
x 0 x
x 0
x Г.В. Лейбниц (1646–
Исаак Ньютон (1643–

6.

Геометрический смысл производной
На графике функции f выбирается
Уравнение касательной к графику в точке (х0,
абсцисса x0 и вычисляется соответ-
y y
0
ствующая ордината f (x0tg
).
f ( x0 )
x x0
В окрестности точки x0 выбира-
у0):
f
ется произвольная точка
( x0 ) ( x x0 ).
y y0x . fЧерез
указанные точки на графике функции
f проводится секущая (светлоУравнение нормали к графику в точке (х0,αу(Δ0):х )
серая линия C5).
Расстояние Δ x = x - x0 устремляy y0
1
tg tg н секущая
1, tg н
ется к нулю, в результате
x x0
f ( x0 )
переходит в касательную (постеx x0
пенно темнеющие линииy C
–
C
),
5
1
y
.
lim ( х) 0.
если существует x 0
f ( x0 )
Тангенс угла α наклона этой касательной – и есть
производная функции f в точке x0.

7.

Определение.
Правой (левой)
левой производной функции y = f (x) в точке x0,
называется правый (левый) предел отношения Δy /Δ x при Δ x → 0
(при условии, что этот предел существует):
y
y
f ( x0 ) lim
f
(
x
)
lim
.
0
x 0 x
x 0 x
Если функция f (x) имеет в точке x0, производную, то она
имеет в этой точке правую и левую производные, которые
совпадают.
Замечание.
Обратное утверждение неверно.
Пример.
Функция y =│x│ имеет в точке x = 0 правую и левую производные:
y
y
f (0) lim
1 (при x 0 y х), f (0) lim
1 (при x 0 y х),
x 0 x
x 0 x
но не имеет в этой точке производной, т.к. не имеет предела.

8.

Определение.
Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x0 –
f D(x0), если ее приращение Δy в этой точке можно представит в
виде:
Δy = А∙Δx + α(Δx)∙Δx,
где А - некоторое число, не зависящее от Δx;
α(Δx) - функция аргумента Δx, являющаяся бесконечно малой
( х) 0.
при Δx → 0,т.е. lim
x 0
Установим связь между дифференцируемостью функции в
точке и существованием производной в той же точке.
Замечание.
Определение.
Теорема.
Для функции одной переменной дифференцируемость и
Для функция
того чтобы
y =–fпонятия
(xx0) имеет
быларавносильные.
дифференцируема
в
Если
y =функция
f (x) в точке
конечную производсуществование
производной
точке
, необходимо
и достаточно,
чтобы она имела
этой
ную,
тоx0функция
называется
дифференцируемой
вв этой
Поэтому
операцию
нахождения
производной
часто называют
точке
производную
дифференцированием.
дифференцированием
точке.
точкеконечную производную.

9.

Зависимость между непрерывностью и
дифференцируемостью функции
Теорема.
Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0, то она и
непрерывна в этой точке.
Замечание.
Обратное утверждение неверно.
Пример.
Определение.
Функция y =│x │ непрерывна в точке x = 0, но не имеет в этой
Определение.
Если
функция yт.е.
= f (не
x) является
имеет производную
в каждой точке неточке
производной,
дифференцируемой.
Если функция имеет непрерывную производную на некотором
которого промежутка Х (дифференцируема в каждой точке пропромежутке Х, то функцию называют гладкой (непрерывно дифмежутка Х, т.е. f (x) D(x) x Х или f D(X)), то говорят,
что эта
(1)
ференцируемой)
на
этом
промежутке
и
пишут:
f
C
(
Х
)
.
ференцируемой
функция дифференцируема на данном промежутке.

10.

ВТОРОЙ ВОПРОС
Основные правила
дифференцирования

11.

Правила дифференцирования
Пусть с – постоянная, и = и(х), v = v(x) – дифференцируемые
функции:
1. Производная постоянной равна нулю: с 0.
2. Производная аргумента равна единице: х 1.
3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме из производных:
(u v ) u v .
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на
второй плюс произведение первого сомножителя на производную
второго:
(u v) u v u v .

12.

Правила дифференцирования
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за
знак производной:
( u ) u u u .
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
(u v w) u v w u v w u v w .
5. Производная частного двух дифференцируемых функций
может быть найдена по формуле:
u u v u v
2
v
v
(при условии, что v 0).

13.

Правила дифференцирования
Пример.
Найти производную функции f (х) и вычислить ее значение в
точке х = 1:
3 4
а) y x ( x 1)
1
4
1
4
1
4
3
1
3
3
2
3
2 13 4
4
y ( x ) ( х 1) x ( х 1) 3 х ( х 1) x ( х 0) х (
х 1).
4
4
13
y
(
1
)
1
(
1 1) 4,25.
Значение производной в точке х = 1 есть:
4
x3 1
б) y
х
( x 1) х ( x 3 1)( х )
y
2
( х)
y (1) 3.
3
3х
2
х ( x 1)
3
х
1
3
5
х
1
2 х
.
2х х

14.

Правила дифференцирования
6. Если у = f(u) и u = g(x) – дифференцируемые функции от своих
аргументов, то производная сложной функции существует и
равна производной данной функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную
самого промежуточного аргумента u
по независимой переменной х, т.е.
3
Пример. Найти производную y ( x 5) .
Решение.
3( x 5) 2
3
2
2
y u (u x 5) y 3u u 3( x 5) ( x 5)
.
2 x
7. Если у = f(x) – дифференцируемая и строго монотонная
функция на промежутке X, то тогда функция x = g(у), обратная к
данной, также дифференцируема
и ее производная определяется
соотношением:

15.

Таблица производных некоторых функций
Функция f(x)
Производная f’(x)
Функция f(x)
Производная f’(x)
Функция f(x)
c
0
sin x
cos x
arcsin x
xa
a x a 1
cos x
sin x
arccos x
x
a ln a
tg x
1
cos 2 x
arctg x
1
sin 2 x
arcctg x
a
log a x
x
1
x ln a
ctg x
Производная f’(x)
arctg x
y
e
.
Пример. Найти производную функции
Решение.
u
Представим функцию в виде y e , где u arctg x.
1
1
u
arctg x
y ( x) y (u ) u ( x) e
y ( x) e
.
2
2
1 x
1 x

16.

Правила дифференцирования
8. Производная неявной функции.
функции
Если зависимость между х и у задана в неявной форме уравнением F(x, у) = 0, то для нахождения производной функции у необходимо продифференцировать по х обе части данного уравнения, рассматривая у как функцию от х.
Из полученного уравнения находится у'.
Пример.
Найти производную функции x2 - xy + ln y - 2 = 0, заданной неявно,
и вычислить ее значение в точке (2;1).
Решение.
Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что y есть
функция от х, получаем:
2
y
2 xy y
2 x y xy 0, откуда y
.
y
xy 1
Значение производной при x = 2, y = 1 – y'(2) = 3.

17.

Правила дифференцирования
9. Дифференцирование параметрически заданной функции.
Если функция y = f (х) аргумента х задана параметрически уравнениями х = х (t) и у = у(t), где х(t) и у(t) опреy y[t ( x)] и
деленны и дифференцируемы на некотором
промежутке Т, причем х '(t) ≠ 0 t Т, а для
yt
х = х (t) существует обратная t = t(х), опреде- y x yt t x
xt
ленная и дифференцируемая на Х = х(Т), то:
Пример.
Найти производную от функции,
заданной параметрически:
Решение.
Последовательно дифференцируя функцию, получаем:

18.

Правила дифференцирования
10. Производные высших порядков.
порядков
Понятие производной произвольного порядка задается
рекуррентно.
рекуррентно
а) Полагаем
б) Если функция f (х) дифференцируема в x0, то производная
первого порядка определяется соотношением
в) Пусть теперь производная n-го порядка определена в некоторой окрестности точки x0 и дифференцируема.
Тогда производной (п + 1) - порядка называется производная от производной п-го порядка:
порядка
Пример.
Найти производную 4-го порядка от функции у = sin 2х.
Решение.
Последовательно дифференцируя функцию, получим:

19.

ТРЕТИЙ ВОПРОС
Дифференциал функции

20.

Определение.
Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x –
f D(x), если ее приращение Δy в этой точке можно представить в
виде:
Δy = А∙Δx + α(Δx)∙Δx,
Определение.
где
А - некоторое число, не зависящее от Δ x;
Дифференциалом
функции
y = f (x) в точке
x называется
α(Δ
x) - функция аргумента
Δ x, являющаяся
бесконечно
малой
главная
Δ x часть приращения Δy, равная
( х) 0.
при
Δ x →линейная
0,т.е. limотносительно
x 0
произведению производной
на приращение Δ x независимой переменной:
dy = А∙Δx = f '(x)Δ x.
Замечание.
dy
Для
функции
y
=
x
d
y
=
d
x
=
x'·∆
x
,
откуда
x.= ∆x,приращет.е.
Если
f
'(
x
)
=
0,
то
f
'(
x
)
∙Δ
x
не
является
главной
x
Кроме того, d y = f '(x)Δ x = f '(x)d x f ( x ) dчастью
дифференциал
переменной
равен
приращению
ния Δy, посколькунезависимой
α(Δx)∙Δ x, вообще
говоря, отлична
нуля.
dx от
этой
переменной.
В этом
случае полагают dy = 0.

21.

Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции есть приращение ординаты
касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в данной точке, когда x получает приращение ∆ x.

22.

Свойства дифференциала
1. Дифференциал постоянной равен нулю:
2. Постоянный множитель можно
выносить за знак дифференциала:
dс 0.
d ( u ) du.
3. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа
дифференцируемых функций равен такой же сумме дифференциалов:
d (u v ) du dv.
4. Дифференциал произведения двух дифференцируемых
функций равен произведению дифференциалу первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на
дифференциал второго:
d (u v) d u v u dv.
5. Дифференциал частного
двух дифференцируемых функций
может быть найден по формуле:
u v du u dv
d
(v 0).
2
v
v

23.

Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим у = f (u) и u = g(x) – дифференцируемые функции
от своих аргументов, тогда для f ( g ( x)) – сложной функции
дифференциал равен
dy f ( x)dx f (u ) g ( x)dx f (u )du.
Формула дифференциала не изменяется, если вместо
функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной u.
Дифференциалы высших порядков
Дифференциалом n-го порядка d n y функции у = f (x) называется
дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка этой функции:
d 2 y d (dy ) d [ f ( x) dx ] d [ f ( x)]dx [ f ( x) dx]dx f ( x)(dx) 2 ;
...
d n y d (d ( n 1) y ) f ( n ) ( x)(dx) n f ( n ) ( x)dx n .

24.

Использование дифференциала в приближенных вычислениях
Из определения дифференциала следует, что
с погрешностью α(Δx)∙Δx.
Если положить х = а + ∆х, то ∆х = х - а и
Таким образом, для значений x, близких к а, функция f (x) заменена линейной функцией (или линеаризована в окрестности
точки а).
Геометрически это соответствует замене участка кривой графика у = f (x) около точки (а, f (а)) отрезком касательной к кривой
в этой точке.
Погрешность подобной замены приближенно равна половине
второго дифференциала функции – 1/2 d 2f = 1/2 f " (a)(x – a)2.
Пример.
При а = 0

25.

ЧЕТВЕРТЫЙ ВОПРОС
Основные теоремы
дифференциального
исчисления

26.

Теорема (Ферма).
Ферма
Если дифференцируемая на промежутке Х функция y = f (x)
достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х0 этого промежутка, то производная данной функции в
этой точке равна нулю: f '(х0) = 0.
Доказательство.
Пусть y = f(x) достигает наименьшего
значения в точке х0 :
f ( x) f ( x0 )
x x0 f ( x) f ( x0 )
0
x x0
f ( x) f ( x0 )
0 f л ( x0 ) 0
x x0
x x0
f ( x ) f ( x0 )
x x0 f ( x ) f ( x0 )
0
x x0
lim
f ( x ) f ( x0 )
lim
0 f п ( x0 ) 0
x x0
x x0
Пьер де Ферма
f ( x0 ) f л ( x0 ) f п ( x0 )
f ( x0 ) 0

27.

Геометрический смысл теоремы Ферма
В точке наибольшего (наименьшего)
значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции
параллельна оси абсцисс.
Замечание.
При доказательстве теоремы Ферма
существенно использование того, что х0
есть внутренняя точка промежутка.
промежутка
Это позволило рассматривать точки х,
лежащие как справа, так и слева от х0.
Без этого предположения утверждение
теоремы может оказаться неверным.
неверным

28.

Теорема (Ролля).
Ролля
Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, b];
2) дифференцируема на интервале (а, b);
3) на концах отрезка принимает равные значения: f (а) = f (b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая
точка ξ (а, b), в которой производная функции равна нулю:
f '(ξ ) = 0.
Геометрический смысл
Следствие.
теорема Ролля
Если
ординаты
непрерывной
криМежду
двумя нулями
дифференцируемой
вой
на концах
отрезка [а, b] равны
функции
–
между собой и f(кривая
a) = f(b) =в 0,каждой
внутренней точке этого отрезка имеет
невертикальную
касательную,
то нуль ее
всегда
лежит хотя
бы один
на
кривой найдется
хотя бы одна
производной
.
точка, в которой касательная
параллельна оси Ох.
Мишель Ролль

29.

Замечание.
Замечание.
Все
условия
теоремы
существенны для
справедлиТеорема
Ролля
носит Ролля
лишь достаточный
характер,
т.е.
характер
вости ее утверждения.
если все условия теоремы выполнены, то ее утверждение верно,
но если нарушено хотя бы одно ее условие, то нельзя сказать
Пример.
что-либо определенное о существовании точки, в которой
производная рассматриваемой функции обращалась бы в нуль.
Пример.
Функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], на концах отрезка
имеет равные значения, но не является дифференцируемой во
внутренней точке хо этого отрезка.
Тем не менее существует точка
Нарушены условия:
х = с, в которой f '(с) = 0, т.к.
а) непрерывности на отрезке [a, b];
касательная в соответствующей
б) дифференцируемости на интервале (a, b);
точке кривой графика этой функв) равенства значений f (а) = f (b),
ции параллельна оси Ох.
Поэтому не существует ξ (а, b), в которой f '(ξ ) = 0.

30.

Теорема (Лагранжа).
Лагранжа
Пусть функция y = f (x) удовлетворяет следующим условиям:
1) непрерывна на отрезке [а, b];
2) дифференцируема на интервале (а, b).
Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая
точка ξ (а, b), в которой выполняется равенство:
f (b) f (a )
f ( )
или f (b) f (a ) f ( ) (b a ).
b a
Геометрический смысл теоремы
Следствие. Лагранжа
НаЕсли
непрерывном
графика
функцияучастке
y = f (xАВ
) непрерывна
на
функции
имеющей
в каждой
отрезке y[а=, bf ](xи), во
всех его
внутренних
точке
касательную,
точках невертикальную
имеет равную нулю
производную,
всегда
крайней мере
то этанайдется
функцияпопостоянна
на одна
указанном
точка
М, в которой касательная паотрезке.
раллельна хорде АВ.
Жозеф Луи Лагранж
Теорема Ролля – частный случай теоремы Лагранжа,
Лагранжа так как при f(а) = f(b) хорда
АВ параллельна оси Ох.
Ох

31.

Замечание.
Теорема
(Коши).
Коши
Теорема
Лагранжа
Пусть
функции
f (x) и gносит
(х): лишь достаточный характер, т.е.
если все условия теоремы выполнены, то ее утверждение верно,
1)если
непрерывны
нахотя
отрезке
, b]; ее условие, то нельзя сказать
но
нарушено
бы[аодно
2) дифференцируемы
в интервале
(а, b);
что-либо
определенное
о существовании
точки, в которой
выполнялось
бы g
указанное
равенство.
3) производная
'(х) не обращается
в нуль
равенство
Огюстен Луи Коши
вПример.
интервале (а, b).
Тогда существует точка ξ (а, b), в которой выполняется
На рисунке изображены графики функций, непрерывных на
равенство:
отрезке [а, b], но не дифференцируемых во внутренней точке хo.
f (b) f (a ) f ( )
График а) не имеет точки, в которой
.касательная параллельна
) g (aточка
) g (М
) существует.
хорде АБ, а у графика gб()bтакая
Замечание.
„Элементарное"
Элементарное доказательство теоремы Коши путем двукратЗамечание.
ного применения к функциям f(x) и g(х) формулы Лагранжа в виде
Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы
Коши при fg((bх))-=f(хa.) = f '(ξ)(b - a) и g(b) - g(a) = g '(ξ)(b - a)
с последующим делением соответствующих частей этих равенств
и сокращением на (b – a) ≠ 0 некорректно.
некорректно

32.

Теорема
((правило
я).– Лопиталя).
правило Лопитал
Бернулли
Замечание.
Замечание.
Правило
Лопиталя можно
применять
также
и для раскрытия
При
использовании
Бернулли
– Лопиталя
для расПредел
отношения правила
двух бесконечно
малых
или бесконечно
неопределенностей
крытия неопределенности
вида [0вида
∙ ∞]. [0Для
/ 0] отношения
или
этого[∞произведение
/ ∞] производные
f (x)∙fg'((x)
больших
функций равен
пределу
их производных
и g'(х) исходных
х) сами
могут быть
бесконечно
следует
записать
в виде: f(x) и g(если
(конечному
или функций
бесконечному),
последний
существует
в
малыми или
бесконечно большими функциями при x → А, где А –
указанном
смысле:
конечная или бесконечно удаленная
точка числовой
0 прямой.
чем получить
Если для функций f '(x) и неопределенность
g'(х) выполнены условия
одной
0 или
.из
указанных теорем, то правило Бернулли – Лопиталя можно
применить повторно, в виде
Если имеется неопределенность вида [0 0] или [∞ 0] при вычисПравилофункции f(х) g(xx), то логарифм этой функции предлении предела
Б
ернулли
– Лопиталя
Лопитал
я
Правило
ставляет
собой
неопределенность
вида [0 ∙ ∞].
используется
раскрытия соотношение (полученное на основе
При этомдля
используется
неопределенностей
вида
свойств
логарифмов
и непрерывности
функции):
В том
случае, когда
вторые и показательной
более высокого
порядка
производные
0 исходных
функций удовлетворяют указанным вы
ше условиям,
правило
или
. Бернулли – Лопиталя можно применять
Гийом Франсуа
последовательно
и далее.
0
Иоганн I Бернулли
маркиз де Лопиталь

33.

Пример.
Пример.
Найти
Найти
Решение.
Имеется неопределенность вида [0 / 0], следовательно можно
Решение.
применить правило Лопиталя
Имеется неопределенность вида [∞/∞], и поэтому применим
правило Лопиталя:
Лопиталя
1
x 1
x 1
2
x
1
lim
lim
lim
.
x
Пример. x x 1 x
1
x 1
2 x 1
Найти
Решение.
Имеется неопределенность вида [∞ / ∞], следовательно можно
применить правило Лопиталя
Однако легко видеть

34.

Благодарю за внимание,
лекция окончена!