Модуль 1. Тема 2. Лекция 1. Численное дифференцирование
План
Разностная схема первого порядка точности
Симметричная разностная схема второго порядка
Симметричная разностная схема для второй производной
Численное дифференцирование дискретно заданных функций
151.00K
Category: mathematicsmathematics

Численное диференцирование

1. Модуль 1. Тема 2. Лекция 1. Численное дифференцирование

2. План

• Численное дифференцирование функций,
заданных аналитически
• Численное дифференцирование функций,
заданных дискретным набором данных
• Метод Рунге уточнения формул численного
дифференцирования
Литература
Формалев В. Ф., Ревизников Д. Л., Численные
методы. –М.: Физматлит, 2004. - 400 с.
Поршнев С.В., Беленкова И.В., Численные
методы на базе Mathcad. – СПб.: БХВПетербург, 2005. – 464 с.

3. Разностная схема первого порядка точности

Производная от функции
f ( x x ) f ( x )
f ( x ) lim
x 0
x
Простейшая приближенная формула
(правосторонняя разностная схема)
~
f ( x x ) f ( x )
f ( x )
x
Ряд Тейлора
f ( x )
f ( x )
f (n) ( x)
2
f ( x x ) f ( x )
x
( x ) ...
( x ) n ...
1!
2!
n!
Ошибка приближенной формулы
~
f ( x x ) f ( x )
f ( x )
f ( x )
f ( x )
x ... f ( x ) O ( x )
x
2!
Левосторонняя разностная схема первого порядка
x x :
f ( x ) f ( x x )
f ( x )
f ' ( x)
f ( x )
x ...
x
2!
Формулы точны для полиномов первой степени, т.к. для них f ( x ) 0

4. Симметричная разностная схема второго порядка

f ( x x ) f ( x x )
fˆ ( x )
2 x
Ряд Тейлора
2
3
1
x
(
x
)
(
x
)
ˆf ( x )
f ( x ) f ( x )
f ( x )
f ( x )
...
2 x
1!
2!
3!
1
x
( x ) 2
( x ) 3
f ( x ) f ( x )
f ( x )
f ( x )
...
2 x
1!
2!
3!
Ошибка приближенной формулы
f ( x )
fˆ ( x ) f ( x )
( x ) 2 ... f ( x ) O ( x ) 2
3!
Формула точна для полиномов второй степени, т.к. для них
f ( x ) 0

5. Симметричная разностная схема для второй производной

f ( x x ) 2 f ( x ) f ( x x )
fˆ ( x )
x 2
Ряд Тейлора
2
3
4
x
(
x
)
(
x
)
(
x
)
IV
x fˆ ( x ) f ( x ) f ( x )
f ( x )
f ( x )
f ( x)
...
1!
2!
3!
4!
2
x
( x ) 2
( x ) 3
( x ) 4
IV
2 f ( x ) f ( x ) f ( x )
f ( x)
f ( x)
f ( x)
...
1!
2!
3!
4!
Ошибка приближенной формулы
IV
f
( x)
fˆ ( x ) f ( x )
( x ) 2 ... f ( x ) O ( x ) 2
12
Формула точна для полиномов третьей степени, т.к. для них f
IV
( x) 0
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x x ) fˆ x x fˆ x x
Альтернативная
2
2
x
x
ˆ ( x )
f
идея вывода
x
x
Схемы для производных более высоких порядков можно строить аналогично

6.

Пример
Продифференцировать численно функцию
sin 0.01x 2 , 0 x 10
с применением правосторонней и симметричной разностных формул
для первой производной на равномерной сетке. Сопоставить ошибки
приближенных формул численного дифференцирования.

7. Численное дифференцирование дискретно заданных функций

*
x
xi 1 , xi
1. Точка лежит между узлами дискретизации:
y ( x ) ( x ) R ( x )
y ( x * ) ( x * ) Rn ( x * )
y ( x ) ( x ) R ( x )
y ( x * ) ( x * ) R ( x* )
Таблица сглаживается
непрерывной функцией
φ(x) одним из методов
интерполяции или
аппроксимации
y ( n ) ( x * ) ( n ) ( x * ) R ( n ) ( x )
y
Процедура численного
дифференцирования
является некорректной:
близость искомой и
сглаживающей функций
не гарантирует близости
их производных.
Производные даже могут
иметь разные знаки.
' ( x* ) L' n ( x* )
y ( x* )
y (x)
( x) Ln ( x)
y0
y1
x0
y2
x1
yn
x2
x*
xn
x

8.

Численное дифференцирование дискретно
заданных функций
2. Точка совпадает с одним из узлов:
h2
h3
yi 1 y ( xi h ) yi yi h yi yi
2
6
h2
h3
yi 1 y ( xi h ) yi yi h yi yi
2
6
y yi
y
yi i 1
O (h ) i O (h )
h
h
y yi 1
y
yi i
O(h) i O(h)
h
h
yˆ i
yi 1 yi 1

O (h 2 ) i O (h 2 )
2h
2h
h4
y ( )
24
4
h
y IV ( )
24
IV
x* xi , i 1, n 1
Можно использовать
аппарат разложения
функций в ряд Тейлора
Отношение конечных разностей справа
Отношение конечных разностей слева
Отношение центральных разностей
Порядком точности метода численного дифференцирования называют
показатель степени h в главном члене погрешности

9.

Численное дифференцирование дискретно
заданных функций
Вторая производная
2
yi 1 2 yi yi 1
yi
2
2
yˆ i
O
(
h
)
O
(
h
)
2
2
h
h
Центральные разности
Третья производная
3 yi yi 2 3 yi 1 3 yi yi 1
yi 3
O(h)
3
h
h
3 yi yi 1 3 yi 3 yi 1 yi 2
yi 3
O (h )
3
h
h
Правосторонние разности
Левосторонние разности
Используется 4 узла сетки
yˆ i
1
y 2 yi 1 2 yi 1 yi 2
2
( yi yi ) i 2
O
(
h
)
3
2
2h
Центральные разности
Фактически, используется 5 узлов
yiIV
yi 2 4 yi 1 6 y i 4 yi 1 yi 2
2
O
(
h
)
4
h
Четвертая производная

10.

Метод Рунге уточнения формул
численного дифференцирования
f ( x ) h ( x ) h p ( x ) O ( h p 1 ) O ( h p 2 ) ...
R p h p ( x ) O ( h p 1 ) O ( h p 2 ) ...
f ( x ) h ( x )
Метод p-го порядка
Остаточный член
Вычисляем разностную производную на
равномерной сетке с шагом h
Вводим более подробную сетку с шагом kh (k = 1/2;1/4;1/8; … )
f ( x ) kh ( x ) ( kh ) p ( x ) O ( h p 1 ) Производная на сетке с шагом kh
h ( x ) kh ( x )
p 1
Главный член погрешности в
O
(
h
)
узлах исходной сетки
k p 1
p h ( x ) kh ( x )
p 1
Метод (p+1)-го порядка
f ( x ) kh ( x ) k
O
(
h
)
p
k 1
в узлах исходной сетки
p h ( x ) kh ( x )
Уточненная разностная
f ( x ) kh ( x ) k
p
k 1
аппроксимация
h p ( x )
English     Русский Rules