Степень с рациональным показателем

1.

Степень с рациональным
показателем и ее свойства.

2.

«Люди, незнакомые с алгеброй, не могут
представить себе тех удивительных вещей,
которых можно достигнуть… при помощи
названной науки».
Г.В.Лейбниц

3.

История возникновения степени
числа
В знаменитой книге
«Арифметике»
Диофант
Александрийский
описывал первые
натуральные
степени

4.

Одним из первых, кто в конце XYI-начале XYII
века
принял шаги к построению современной теории
степеней,
был Нидерландский математик Симон Стевин.
Он обозначал неизвестную величину кружком
, а внутри его указывал
показатель степени.
1 , 2 ,
Например:
3
,
В его записи обозначали x,
x², x³.

5.

У Рене Декарта в
его «Геометрии»
(1637) мы находим
современное
обозначение
степеней а2,а3,...
n
а

6.

Повторение
Степень с целым показателем
n
a a a ... a
1)3 27
3
2)5 125
3
3)2 16
4
4)3 3
1
Степенью числа а с
натуральным
показателем n, большим
1, называется
произведение n
множителей, каждый из
которых равен а

7.

Свойства степеней
m
n m
n
n
1)a a a
n
m
n m
2)a : a m a
n
n m
3) a a
n
n
n
4) a b a b
n
a a
5) n
b b

8.

1
a n
a
a 0
n
a 1
0

9.

1
1
а) 10 6
;
10
1000000
1
1
2
б) 9 2 ;
9
81
1
1
в) а 1 ;
а
1
20
г) х 20 ;
х
1
3
д) ав
;
3
ав
1
4
е) а в
.
4
а в
6
1)3 1
0
2)5 1
0
3)22222222 1
0
4)100000 1
0

10.

Арифметический корень натуральной степени
Определение
Корнем n-ой степени из числа a
называется такое число, n-я
степень которого равна a.
n
a x,
то есть x a
n

11.

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ
n-Й
СТЕПЕНИ ИЗ ЧИСЛА
а
а – ПОДКОРЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

12.

Примеры
3
1)
27 3; 33 27
2)
4
256 4 ;
3)
5
0 ,00243 0 ,3 ;
4)
3
1000000 100 ;
5)
3
64000 40 ;
6)
6
1
1
;
64 2
4 4 256
0 ,35 0 ,00243
100 3 1000000
40 64000
3
6
1
1
64
2

13.

Примеры
3
1)
27 3; 33 27
2)
4
256 4 ;
3)
5
0 ,00243 0 ,3 ;
4)
3
1000000 100 ;
5)
3
64000 40 ;
6)
6
1
1
;
64 2
4 4 256
0 ,35 0 ,00243
100 3 1000000
40 64000
3
6
1
1
64
2

14.

Устно:
• Вычислите:
4
16 2
7
5
32 2
3
10
4
1 1
81 3
0 256 0 2
8
125 4 81 5 3 8
64 243 8 3 5
5
6
64 4 625 2 5 7
2

15.

Свойства корня n-ой степени
(для n ∈ N, m ∈ N, n > 1, m > 1)
1
2
3
4
ab n a
n
n
n
a na
n ,
b
b
a
n
n m
m
b,
где a 0 , b 0
где a 0 , b 0
n a m , где a 0
a nm a , где a 0

16.

Понятие степени с рациональным
показателем
m
n
a a , где a 0, n N , m Z
n
m
Примеры
a
p
1)
2)
3)
2
3
5 3 5 2 3 25
7
5
121,4 12 5 127
4
9
2
2
5
4
9
12
5
4
9
5
12
12
9
4
5

17.

Представьте степень с дробным показателем
в виде корня:
2
3
1.
2
2.
1
3
3.
4.
5.
3
3
8 1
1, 5
2
1
3
1
3
2
1
3
3
не имеет смысла
5а 5 а
2
2
3
х у 3 х у
2

18.

n
а a
m
7 7
1.
2.
m
n
9
1
2
а а
4
4
9
1
3
3 2 2
3.
2
1
4.
5.
Представьте в
виде степени с
дробным
показателем:
b b b b b
2
х у
3
1, 5
x y x y
3
2
1,5

19.

m
n
a a
km
kn
nk
а
mk
где a 0, n, k N , m Z
2
3
4
6
2 2 2
10
15

20.

Свойства степени с рациональным
показателем (для p ∈ R, q ∈ R)
1
a0 1,
2
a1 a
где a 0
6
7
1
3 a , где a 0
a
1
р
4 a р , где a 0
a
1
a
10
b
a
p q
a pq
8 a p b p ab
p
9
5 a p a q a p q
p
ap
p q
a
, где a 0
q
a
p
p
ap a
, где b 0
p
b
b
b
, где a 0, b 0
a

21.

Найдите значение числового
выражения
1
3
8 8 2
3
3
4
81 81 ( 81) ( 3 ) 3или
1
3
3
4
1
3 3
8 (2 ) 2
3
4
1
4 4
3
4
1
3
3
81 (3 ) 3
4
2
1
4
3
4
4 3

22.

Найдите значение числового
выражения ( самостоятельно)
0, 4
1)243
64
2) 8
3
4
3)16
5
4
1
8

23.

Если вы хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если
хотите научиться решать задачи,
то решайте их
(Д. Пойа)