Новосибирский Государственный Архитектурно- Строительный Университет (Сибстрин)
На предыдущей лекции
Равнодействующая СПС
Цель лекции
5.1. Плоская ферма
5.1.1. Мотивация
5.1.2. Определение
5.1.3. Усилия в стержнях фермы
Расчет ферм
5.2. Расчет плоской фермы
5.2.1. Требования к расчету
Определение реакций опор фермы
Метод вырезания узлов
Метод вырезания узлов
Метод вырезания узлов
5.3. Расчет составных конструкций
5.3.1. Примеры составных конструкций
5.3.2. Расчет составных рам
5.3.3. Расчет составных рам
5.4. Заключение
5.4.1. Основные выводы
5.4.2. Тема следующей лекции
3.65M
Category: physicsphysics

Равновесие системы тел

1. Новосибирский Государственный Архитектурно- Строительный Университет (Сибстрин)

Новосибирский Государственный АрхитектурноСтроительный Университет (Сибстрин)
Лекция 5.
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
ТЕЛ
Теория – это некоторым образом
квинтэссенция практики.
Людвиг Больцман
Кафедра теоретической механики
2

2.

Людвиг Больцман
1844-1906, Вена-Линц-Грац-ВенаЛейпциг-Мюнхен-Вена-Дуино
2

3.


4. На предыдущей лекции

• Была доказана самая важная теорема
статики, универсально решающая
первую ее задачу
• Были установлены условия
равновесия и выведены уравнения
равновесия
• Введено понятие главного момента и
главного вектора системы сил
3

5. Равнодействующая СПС

На
предыдущей лекции
Равнодействующая
СПС
Было показано, что для плоской системы сил (все силы находятся
в плоскости Oxy) имеем три уравнения равновесия. Эти уравнения
можно использовать в трех разных формах
Основная форма уравнений равновесия ПСС
n
n
n
Fix 0, Fiy 0, M А ( Fi ) 0
i 1
i 1
i 1
Вторая форма уравнений равновесия ПСС (АВ Ox)
n
n
n
M А ( Fi ) 0, M В ( Fi ) 0, Fix 0
i 1
i 1
i 1
Третья форма уравнений равновесия ПСС (точки А, В, С не
должны лежать на одной прямой)
n
n
n
M А ( Fi ) 0, M В ( Fi ) 0, M С ( Fi ) 0
i 1
i 1
3.3. ЦЕНТР СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
i 1
4

6. Цель лекции

• Расчет плоской фермы
• Расчет составной конструкции
План лекции
5.1. Определение плоской фермы
5.2. Расчет плоской фермы
5.3. Расчет составных конструкций
5.4. Заключение
5

7. 5.1. Плоская ферма

6

8. 5.1.1. Мотивация

Металлические
каркасы
Опоры
Мосты
ЛЭП зданий
2.1.
ССС
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
7

9. 5.1.2. Определение


Ферма – жесткая, геометрически неизменяемая
конструкция, состоящая из невесомых прямолинейных
стержней, соединенных идеальными (без трения)
шарнирами
Шарнирные соединения называются узлами фермы
Плоской называется ферма, все стержни и шарниры
которой лежат в одной плоскости
• Узлы фермы будем
E 8
C 4
обозначать большими
B
латинскими буквами
1
3
5
7
9
A, B, … G
2
6
• Стержни пронумеруем
A
D
G
2.1.
ССС
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
8

10. 5.1.3. Усилия в стержнях фермы


RA

Предполагается, что все усилия приложены к узлам фермы.
В этом случае все стержни будут испытывать только
продольные нагрузки
• Действительно, рассмотрим
равновесие стержня АВ
F
FA 2 A1
• Системы сил, приложенные к узлам,
FB1
это ССС и их можно заменить
A
FB 2 • равнодействующими
Согласно аксиоме 1, для равновесия
FAn
B
тела необходимо, чтобы
силы
и RB были равны R A
F R

Bn
B
Т.о., эти равнодействующие силы образуют уравновешенную
систему сил и, следовательно, направлены вдоль стержня
2.1.
ССС
5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
9

11. Расчет ферм

5.1.4.
определимые
фермы
____Статически
_ ферм
____________
________
____
Расчет
• Мы будем рассчитывать фермы без лишних стержней. Ее
можно построить присоединяя к треугольной конструкции
последовательно по два стержня и шарниру
YA
A
Лишний
стержень
XA
RB
B
У плоских статически определимых ферм число
неизвестных опорных реакций должно равняться трем
• Число стержней плоской статически определимой
фермы определяется формулой
k = 2n – 3,
где k – число стержней, n – число узлов
СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ
5.1.
ПЛОСКАЯ ФЕРМА
10

12. 5.2. Расчет плоской фермы

11

13. 5.2.1. Требования к расчету

Расчет плоской фермы сводится к
нахождению сил реакции опор
определению усилий в стержнях
фермы методом вырезания узлов
и/или методом сечений ( Риттера)
2.1.
ССС
5.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
12

14. Определение реакций опор фермы

5.2.2.
Определение
опорных
реакций
____
_
____________
________
____
Определение реакций опор фермы
YA
y
F3
A
F2
XA
Дана плоская ферма, образованная
одинаковыми равнобедренными
треугольниками, к узлам которой
параллельно оси x приложены силы
F1 = F2 = F3=2 кН
a
• Освободимся от связи в точке А и
заменим ее реакциями
B
x
• Освободимся от связи в точке В и
заменим ее реакцией
• Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил
Fix 0, F1 F2 F3 X A 0,
R
F1 B
RB 3 кН
i
F
m
iy
0, RB YA 0,
Y A 3 кН
0, F1 2a F2 a RB 2a 0.
X A 6 кН
i
i
A
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
13

15. Метод вырезания узлов

5.2.3.
Метод
вырезания
узлов
____
_
____________
________
____
Метод вырезания узлов
F3
F2
F1
• Пронумеруем все стержни
y
фермы арабскими цифрами:
III
IV
V XA
8
6
1, 2, 3, … 9
A
5
7
4
• Пронумеруем узлы фермы
9
II 3
римскими цифрами: I, II,…, IV
1
VI
a
RB
• Рассмотрим равновесие каждого
2
I
узла и составим для него уравнения
x
B
равновесия, cчитая условно все
стержни растянутыми и направляя
реакции шарниров от узлов
YA
• Следует учесть, что стержни находятся в равновесии,
поэтому реакции соединительных шарниров должны быть
равны по величине и противоположно направлены
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
14

16. Метод вырезания узлов

5.2.4.
Определение
усилий
в
стержнях
фермы
____
_
____________
________
____
Метод вырезания узлов
Расчет следует начинать с узла, в котором
сходятся два стержня с неизвестными
усилиями (узел V)
Узел V
8
r
YA
XA
S8 9
S9
Узел
IV '
S 6 S8
S7
S4
S6 '
i
y
III 6 IV 8 V
4
7
A XA
5
9
II 3
1 VI a
RB 2
x
IB
F
0
:
Y
S
sin
45
0
iy
A
9
i
'
F
0
:
S
ix
8 S 6 0,
i
Fiy 0 :
i
S8' S8
S 7 0
'
o
'
F
0
:
S
F
S
cos
45
0
,
S
ix
6
3
5
6 S 6
Узел
III
F3
Fix 0 :
F3
F2
X A S8 S 9 cos 45 0 F1
YA
i
S5
S
S
sin
45
0
F
0
:
4
5
iy
i
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
15

17. Метод вырезания узлов

5.2.4.
Определение
усилий
в
стержнях
фермы
____
_
____________
________
____
Метод вырезания узлов
Узел II
S
F2 4 S 3
S1
Узел I
'
S1
F1 RB S
Fix 0 : F2 S3 0
i
Fiy 0 :
S 4 S1 0
Fix 0 :
F1 S 2 cos 45 0
i
F3
F2
F1
y
YA
III 6 IV 8 V
4
7
A XA
5
9
II 3
RB 1 2 VI a
x
IB
i
2
'
'
S
R
S
sin
45
0
,
S
F
0
:
1
B
2
1 S1
iy
i
Узел VI
S3
S5 S 7
S2
S9
S
S
cos
45
S
cos
45
S
cos
45
0
F
0
:
3
2
5
9
ix
i
S
S
sin
45
S
sin
45
S
sin
45
0
5
9
Fiy 0 : 7 2
i
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
16

18.

5.2.5.
Метод
сечений
(Риттера)
Метод сечений (Риттера)
• Метод Риттерау удобен, если
необходимо определить усилия в
каких-то отдельных стержнях
фермы, например, 6, 7, 9
• Число стержней в сечении
должно быть не более трех
y
F3
4
F2
R
F1 B
YA
z
6 IV
5
7
3
1
B
2
VI
V
8
9
XA
A
z
a
x
Последовательность действий
Проведем сквозное сечение z–z через стержни 6,7,9
Пользуясь принципом отвердевания, рассмотрим
равновесие
одной из частей фермы, например, правой
• Составляем 3 уравнения равновесия для этой части фермы
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
17

19.

5.2.5. Метод сечений (Риттера)
YA
y z
6 IV
V
S6
7 S A
S7
9 9
VI
XA
z
m 0 : S 0
i
A
7
m 0 : aY aS sin 45 0
i
IV
A
9
m 0 : a Y a S a X 0
i
VI
A
6
A
• Решив систему уравнений, находим усилия в стержнях 6,7,9
• Полученные результаты можно использовать для проверки
усилий, определенных методом вырезания узлов
• Если усилия в стержне получилось со знаком « », то
стержень не растянут, а сжат
2.1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ССС
ПРИМЕР
РАСЧЕТА
ФЕРМЫ
5.2.
РАСЧЕТ
ПЛОСКОЙ
ФЕРМЫ
18

20. 5.3. Расчет составных конструкций

19

21. 5.3.1. Примеры составных конструкций

Детская
кроватка
Сборный производственный модуль
1-ый панельный дом Новосибирск, 1960 г.
Деревянные
строительные
Дмитровский
мост,
Новосибирск, конструкции
1971-1780 гг.
2.1.
ССС КОГСТРУКЦИЙ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
20

22. 5.3.2. Расчет составных рам


F2
Дано: F1 = √2 кН, F2= 3 кН, М = 3 кНм
С
M
1.5 м

А
F1
Определить реакции внешних
и внутренних связей
45о
• освобождаемся от внешних
связей и заменяем их реакциями

• Система статически неопределимая
Метод расчленения
В
F2
С


С

С

M
F1 F2
M
45о
YA
А
МА
XA
RB
В
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
YA
А
XA
F1
RB
В
21

23. 5.3.3. Расчет составных рам


Метод расчленения

С
F1
M
Fix 0 :
X С F1 cos 45o 0
Fiy 0 :
YС F1 cos 45o RB 0
i
i
m
С
RB
0 :
М 1.5 RB 2 F1 cos 45o 1.5 F1 sin 45o 0
i
В X
С
F2
С

YA
МА
А
XA
F
0 :
F2 Х С Х А 0
F
iy
0 :
YА YС 0
m
А
0 :
4 F2 4 Х С 3YС М А 0
ix
i
i
i
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ СОСТАВНЫХ
22

24.

5.3.4.Расчет составной конструкции из балок
Дана конструкция, состоящая из двух
однородных балок AB и CD весом P и
длиной l, AC = 0.7l
Определить реакции жесткой
заделки А, шарнирной опоры D и
давление в точке С на балку AB
A
D
NC
C
M
N C
B
• Освобождаемся от связей и расчленяем конструкцию на
две части
Балка СD
NC
C
P
YA
D
M
XA
YA
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Балка АВ
XA C
Am
A
P
N C N C
N C
B
23

25.

5.3.4.Расчет составной конструкции из балок
Балка AB
y
YA
P
Балка СD
y
C
ix
i
XA C
Am
A
F 0 : X 0
F 0 : Y N P 0
m 0 : m P 0.5 l N 0.7 l 0
i
x
NC
YD
D
B
i
A
iy
A
C
A
A
C
F 0 : X 0
i
ix
D
Fiy 0 : YD N C P 0
XD i
M
mD 0 : M P 0.5l cos
x
i
N C l cos 0
P
NC
Находим реакции связей:
2.1.
ССС КОНСТРУКЦИЙ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
5.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
РАСЧЕТ
СОСТАВНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
X A , YA , mA , N C , X D , YD
24

26. 5.4. Заключение

26

27. 5.4.1. Основные выводы

На данной лекции Вы овладели
основными методами расчета
• плоских ферм
• двухсоставных конструкций
• пользуясь этими методами легко
рассчитывать и конструкции,
состоящие из произвольного числа
элементов
5.4.ОСНОВНЫЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.2.
ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ
27

28. 5.4.2. Тема следующей лекции

Центр тяжести
Равновесие при наличии
трения
1.3.
СТАТИКИ
5.4.АКСИОМЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.2.
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И МОДЕЛИ
28
English     Русский Rules