Скалярний добуток векторів. Кут між двома векторами

Скалярний добуток двох векторів – число, що дорівнює
сумі добутків однойменних координат цих векторів.
Зокрема, скалярний квадрат вектора дорівнює
сумі
квадратів його координат. Якщо a ( x1; y1; z1 ), b ( x2 ; y2 ; z2 ) ,
то:
a b x1 x2 y1 y2 z1 z2 ;
2
2
2
2
a x1 y1 z1 .

3.

Кут між двома векторами – кут, що утворений
векторами, які колінеарні даним і виходять з однієї
точки.
a
b
Кут між векторами змінюється в межах від 0о до
180о. Якщо хоча б один із векторів нульовий, то кут між
цими векторами невизначений. Кут між однаково
напрямленими векторами дорівнює 0о, а між
протилежно напрямленими – 180о.

4.

Теорема.
Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку
їх абсолютних величин на косинус кута між ними.
a b a b соs
x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2 соs .

5.

Для обчислення кута між векторами a ( x1; y1; z1 ) і
b ( x2 ; y2 ; z2 ) використовують формулу:
a b
соs
a b
x1 x2 y1 y2 z1 z 2
x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z 2 2
Наслідок.
o
Якщо a b 0 , то 0 90
о
o
Якщо a b 0 , то 90 180
o
Якщо a b 0 , то 90
.

6.

Приклад 1. Визначити кут АВС трикутника АВС, якщо
А(3;-1;1), В(1;-1;3), С(3;1;-1).
Розв’язання.
Кут В трикутника АВС – кут між векторами
.
ВА і ВС
Визначимо координати векторів:
С
ВА 3 - 1;-1 - (-1);1 - 3 2;0; 2 ;
ВС 3 - 1;1 - (-1);-1 - 3 2;2; 4 .
Обчислимо косинус кута В:
ВА ВС
соs B
ВА ВС
12
172
144
3
.
172
2
В
2 2 0 2 ( 2) ( 4)
А
2 0 2 2 2 4
2
2
2
Отже, АВС=60о.
2
2
2

Скалярний добуток векторів. Кут між двома векторами

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.