Дії над векторами

1.

Припіяло Сергій Олександрович, вчитель математики, Припіяло Анжеліка Михайлівна,
вчитель фізики і математики, Лозуватська ЗОШ І-ІІІ ступенів
Шполянської районної ради Черкаської області.

2.

Правило трикутника
b
a
Правило паралелограма
a b
Координати суми двох векторів
відповідних координат цих векторів:
a
a b
b
дорівнюють
сумі
а x1; y1; z1 b x2 ; y2 ; z2 с x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 .

3.

Правило паралелепіпеда
с
a
a b c
a b
b

4.

a b b a;
( a b ) c a (b c );
a 0 a;
a ( a ) 0.

5.

a
c a b
b
a і b
Різницею a b векторів
називається вектор c такий, що
c b a
Координати різниці двох векторів дорівнюють різниці
відповідних координат цих векторів:
a x1; y1; z1 b x2 ; y2 ; z2 c x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 .

6.

a 3 b
b
c 2 b
Координати добутку вектора на число дорівнюють добутку
відповідних координат даного вектора на це число:
а x; y; z с x; y; z .

7.

x( ya ) ( xy)a;
( x y )a xa ya;
x(a b ) xa xb .

8.

Приклад 1. Існують точки А(2; 0; 1), В(3; 5; 0), С(-1; 2; 3).
Знайти координати вектора n 2 AB 3BC.
Розв’язання.
Знайдемо координати векторів:
ВС 1 1; 2 5; 3 - 0 4; 3; 3 .
АВ 3 2; 5 0; 0 1 1; 5; 1 ;
Скориставшись правилами виконання дій над векторами,
заданими координатами, маємо:
3ВС 3 4; 3; 3 12; 9; 9 .
n 2 АВ 3ВС 2; 10; - 2 12; 9; 9 14; 19; 11 .
2 АВ 2 1; 5; 1 2; 10; - 2 ;

9.

а
Приклад 2. Знайдіть вектори, які колінеарні вектору 3; 1; 0 ,
і довжини яких утричі більша.
Розв’язання.
Так як шукані вектори колінеарний даному, то їх
координати відповідно дорівнюють 3 ; - ; 0 .
Визначимо довжину даного і шуканого векторів:
а 32 1 2 02 10;
b 3 2 2 02 10 2 10.
Так як b 3 а , то:
10 3 10;
3; 3.
Отже, координати шуканих векторів (9;-3;0) і (-9;3;0).

10.

а
Приклад 3. Знайдіть вектори, які колінеарні вектору 3; 1; 0 ,
і довжини яких утричі більша.
Розв’язання.
Так як шукані вектори колінеарний даному, то їх
координати відповідно дорівнюють 3 ; - ; 0 .
Визначимо довжину даного і шуканого векторів:
Так як b 3 а , то:
10 3 10;
3; 3.

11.

Приклад 4. Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін.
Розв’язання.
Нехай АВСD – паралелограм.
AВ а , АD b ; AВ CD а, АD BC b.
За правилами додавання і віднімання векторів:
AС AB AD а b ,
DB AB AD a b .
B
C
а
Використовуючи властивості
скалярного квадрата, отримуємо:
А
b
2
2
2 2 2
2
AС DB a b a b a 2ab b
2
2
2
2
a 2ab b 2a 2b .
Тому AC2+DB2=AB2+BC2+CD2+AD2.
D

12.

Оберіть правильну відповідь.
Увага! Якщо відповідь неправильна,
завдання розпочинаються з початку!
Знайти суму векторів а b, якщо
а (6; 5;3), b ( 2; 1; 1).
(8; -6; 2)
(8; -4; 2)
(8; -6; -2)
(8; -6; 2)

13.

Оберіть правильну відповідь.
Увага! Якщо відповідь неправильна,
завдання розпочинаються з початку!
Знайти різницю векторів а b, якщо
а (6; 5;3), b ( 2; 1; 1).
(4; -6; 2)
(4; -4; 2)
(4; -4; 4)
(8; -6; 2)

14.

Оберіть правильну відповідь.
Увага! Якщо відповідь неправильна,
завдання розпочинаються з початку!
а
Визначити координати вектора ,
якщо
3а (6; 9;12).
(-18;37;-36)
(18;-37;36)
(-2;3;-4)
(2;-3;4)

15.

16.

Література:
1. Афанасьєва О.М., Бродський Я.С., Павлов О.Л., Сліпенко А.К. Математика.
11 клас: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень
стандарту. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2011. – 480 с.
2. Полонський В.Б.,Рабінович Ю.М., Якір М.С. Вчимося розв’язувати задачі з
геометрії. Навчально-методичний посібник. – Тернопіль: Підручники і
посібники, 2002. – 240 с.
3. Раухман А.С., Сень Я.Г. Усні вправи з геометрії для 7-11 класів: Посібник
для вчителя. – К.: Рад. шк., 1989. – 160 с.
4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для
учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 416 с.
5. Погорєлов А.В. Геометрія: підручник для 7-11 кл. серед. шк. – 2-ге вид. –
К.: Освіта, 1992. – 351 с.