Функции многих переменных (ФМП). Частные производные высших порядков функции двух переменных

1.

Функции многих переменных (ФМП)
Частные производные высших порядков
функции двух переменных
Попова Елена Александровна
К. пед. н., доцент
доцент кафедры ММиИТ ТЭИ,
СФУ
[email protected]
13 апреля 2020
Красноярск

2.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 6 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
13 апреля 2020
Красноярск
2

3.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 6 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение.
13 апреля 2020
Красноярск
3

4.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 6 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение.
дz
f x, y
дх
'
x
13 апреля 2020
Красноярск
4

5.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 6 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение.
дz
f x, y 15 x2 y 8x y5
дх
'
x
13 апреля 2020
Красноярск
5

6.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 6 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение.
дz
f x, y 15 x2 y 8x y5
дх
'
x
дz
f x, y
дy
'
у
13 апреля 2020
Красноярск
6

7.

Частные производные высших порядков функции двух
переменных
Пример 6 ФМП.
Найти частные производные второго порядка функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение.
дz
f x, y 15 x2 y 8x y5
дх
'
x
дz
f x, y 5x3 20 x2 y 4
дy
'
у
13 апреля 2020
Красноярск
7

8.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
f x, y
дх дх
''
xx
13 апреля 2020
Красноярск
8

9.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz 15 x 2 y 8 x y 5
f x, y
дх дх
''
xx
13 апреля 2020
Красноярск
'
x
9

10.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz 15 x 2 y 8 x y 5
f x, y
дх дх
''
xx
30 x y 8 y
13 апреля 2020
Красноярск
'
x
5
10

11.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
f x, y
дy дy
''
yy
13 апреля 2020
Красноярск
11

12.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
f x, y
дy дy
''
yy
5x
3
20 x y
13 апреля 2020
Красноярск
2
4 '
y
12

13.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
f x, y
дy дy
''
yy
5x
3
20 x y
2
4 '
y
80 x 2 y 3
13 апреля 2020
Красноярск
13

14.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
f x, y
дy дх
''
yx
13 апреля 2020
Красноярск
14

15.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
2
5 '
f x, y 15 x y 8x y y
дy дх
''
yx
13 апреля 2020
Красноярск
15

16.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
2
5 '
f x, y 15 x y 8x y y
дy дх
''
yx
15 x 40 x y
2
4
13 апреля 2020
Красноярск
16

17.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
f x, y
дх дy
''
хy
13 апреля 2020
Красноярск
17

18.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
3
2
4
f x, y 5 x 20 x y
дх дy
''
хy
13 апреля 2020
Красноярск
'
x
18

19.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
дz 15 x2 y 8x y5
f x, y
дх
'
x
дz
3
2
4
f x, y 5x 20 x y
дy
'
у
д дz
3
2
4
f x, y 5 x 20 x y
дх дy
''
хy
15 x 40 x y
2
13 апреля 2020
Красноярск
'
x
4
19

20.

Пример 6 ФМП. Найти частные производные функции
z f x, y 5x3 y 4x 2 y 5
Решение .
д дz
f x, y 15 x 2 40 x y 4
дy дх
''
yx
д дz
f x, y 15 x 2 40 x y 4
дх дy
''
хy
Выполняется равенство:
д дz
д дz
''
f x, y f хy x, y
дх дy
дy дх
''
yx
13 апреля 2020
Красноярск
20