Частные производные функции

1.

• Пример. Найти частные
производные функции
x
z x y
y
2

2.

• Решение. Полагая y = const,
находим
z
1
2 xy
x
y

3.

• Полагая x = const, находим
z
1
x
2
2
x 1 x( 2 ) x 2
y
y
y

4.

• Пример. Найти значения
частных производных функции
2
2
u ln( x y ) xyz
в точке M(1, –1, 0).

5.

• Решение. Полагая y = const,
z = const, находим
u
1
2
(
2
x
0
)
1
yz
2
y
,
z
c
x
x y
2x
2
yz
2
x y
Ì
2
0 1
1 1

6.

• Аналогично находим
u
1
2
(
0
2
y
)
1
xz
2
x
,
z
c
y
x y
2y
2
2
xz
0
1
2
x y
1 1
M
u
0 1 xy xy M 1
z x, y c

7.

• Геометрическим смыслом
частной производной (например,
z x угла наклона
) является тангенс
касательной, проведенной в
точке M0(x0, y0, z0) к сечению
поверхности плоскостью у = у0.

8.

• Предположим, что функция
z = f(x, y) имеет непрерывные
частные производные
z
f x ( x, y )
x
z
f y ( x, y)
y

9.

• Эти производные в свою
очередь являются функциями
независимых переменных x и y.
Будем называть f x ( x, y )
f y ( x, y ) частными
и
производными 1-го порядка.

10.

• Частными производными 2-го
порядка называются частные
производные от частных
производных 1-го порядка.
• Для функции z = f(x, y) двух
переменных можно найти
четыре частные производные 2го порядка, которые обозначаются следующим обр-м:

11.

12.

• В общем случае смешанные
частные производные могут не
совпадать, однако для них
справедлива теорема:
• Теорема. Если смешанные
частные производные f xy и f yx
непрерывны в некоторой точке
M(x, y), то они равны, т. е.
f xy ( x, y) f yx ( x, y)

13.

• Частными производными n–го
порядка называются частные
производные от частных
производных (n – 1)–го порядка.
• Их обозначают
z
,
n
x
n
и т. д.
z
,
n 1
x y
n
z
n 2
2
x y
n

14.

• Частные производные любого
порядка, взятые по различным
переменным, называются
смешанными.

15.

• Пример. Найти частные
производные 2-го порядка
функции
3 2
z x y sin( xy 1)

16.

• Решение. Последовательно
находим
z
2 2
3x y y cos(xy 1);
x y c
z
3
2 x y x cos(xy 1);
y x c

17.

z
2 2
3
x
y
y
cos(
xy
1
)
2
y c
x
x
2
2
6 xy y sin( xy 1);
2
y c
z
2 2
3x y y cos( xy 1)
x c
x y y
2
6 x y cos( xy 1) yx sin( xy 1);
2
x c

18.

z
3
2 x y x cos( xy 1
y c
y x x
2
6 x y cos( xy 1) yx sin( xy 1)
2
y c
z
3
2
x
y
x
cos(
xy
1
)
2
x c
y
y
2
2 x x sin( xy 1)
3
x c
2

19. § 5. Дифференциал функции нескольких переменных

§ 5. Дифференциал функции
нескольких переменных

20.

• Рассмотрим функцию z = f(x, y).
Дадим аргументу x приращение
Δx, а аргументу y приращение
Δy. Тогда z получит приращение
z f ( x x, y y) f ( x, y)
которое называется полным
приращением функции z.

21.

• Предположим, что f(x, y) в точке
M(x, y) имеет непрерывные
частные производные.

22.

• Определение.
Дифференциалом 1-го порядка
функции z = f(x, y) называется
главная часть полного
приращения Δz этой функции,
линейная относительно Δx и Δy,
обозначается символом dz или
df и вычисляется по формуле
z
z
dz x y
x
y

23.

• Так как дифференциалы
независимых переменных
совпадают с их приращениями,
т.е. dx = Δx, dy = Δy, то эту
формулу можно записать в
виде:
z
z
dz dx dy
x
y

24.

• Геометрическим смыслом
полного дифференциала
функции двух переменных f(x, y)
в точке (х0, у0) является
приращение аппликаты
(координаты z) касательной
плоскости к поверхности при
переходе от точки (х0, у0) к точке
(х0+ х, у0+ у).

25.

• Геометрический смысл полного
дифференциала функции двух
переменных является
пространственным аналогом
геометрического смысла
дифференциала функции одной
переменной.

26.

• Дифференциалом 2-го порядка
функции z = f(x, y) называется
дифференциал от ее
дифференциала 1-го порядка и
обозначается
d z d(dz)
2

27.

• Если все частные производные
2-го порядка функции z = f(x, y)
непрерывны, то имеет место
формула:
2
2
2
z 2
z
z 2
d z 2 dx 2
dxdy 2 dy
x y
x
y
2

28.

• Аналогично определяется
дифференциал n–го порядка:
d z d (d
n
n -1
z)

29.

• Пример. Найти
дифференциалы 1-го и 2-го
порядков функции
x
z x y
y
2

30.

• Решение. Найдем частные
производные 1-го и 2-го
порядков:
z
1
2 xy
x
y
z
x
2
x 2
y
y

31.

z
1
2
xy
2
y
0
2
y
;
2
x
y y c
x
2
z
1
1
2 xy 2 x 2 ;
x y y
y x c
y
2
z 2
x
2x
3
x
0 x( 2 y )
2
2 y c
3
y
y
y
y
2

32.

• Следовательно,
дифференциалы 1-го и 2-го
порядков запишутся в виде:
1
x
2
dz (2 xy )dx ( x 2 )dy
y
y
1
2x 2
d z 2 ydx 2(2 x 2 )dxdy 3 dy
y
y
2
2

33. Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала

34.

• Пусть функция f(x, y)
дифференцируема в точке (х, у).
Найдем полное приращение
этой функции:
z f ( x x, y y ) f ( x, y )
f ( x x, y y ) f ( x, y ) z

35.

• Если подставить в эту формулу
выражение
f
f
z dz
x
x
то получим приближенную
формулу:
y
y
f ( x x, y y )
f ( x, y )
f ( x, y )
f ( x, y)
x
y
x
y

36.

• Пример. Вычислить
приближенно значение
1,04
1, 99
ln 1,02
исходя из значения функции
u x ln z
y
при x = 1, y = 2, z = 1

37.

• Решение. Из заданного
выражения определим
x = 1,04 – 1 = 0,04,
y = 1,99 – 2 = -0,01,
z = 1,02 – 1 = 0,02.
• Найдем значение функции
2
u(x, y, z) = 1 ln 1 1

38.

• Находим частные производные:
y 1
u
y x
2 1
1
x 2 x y ln z 2 1
u
x ln x
0
y 2 x y ln z
y

39.

1
u
1
z
z 2 x y ln z 2
• Полный дифференциал
функции u равен:

40.

du
u
u
u
0,04 0,01 0,02
x
y
z
1
1 0,04 0 0,01 0,02
2
0,04 0,01 0,05

41.

1, 99
1,04
ln 1,02
u (1,2,1) du
1 0,05 1,05
• Точное значение этого
выражения:
1,049275225687319176.

42. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

§ 6. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности

43.

• Касательной плоскостью к
поверхности в ее точке M0
называется плоскость, которая
содержит все касательные к
кривым, проведенным на
поверхности через эту точку.

44.

• Нормалью к поверхности в
точке M0 называется прямая,
проходящая через эту точку и
перпендикулярная касательной
плоскости, проведенной в
данной точке.

45.

46.

• Если поверхность задана
уравнением F(x, y, z) = 0 то
уравнение касательной
плоскости в точке M0(x0, y0, z0)
имеет вид:
Fx ( M 0 )( x x0 ) Fy ( M 0 )( y y0 )
Fz ( M 0 )( z z0 ) 0

47.

• Уравнения нормали,
проведенной к поверхности в
точке M0(x0, y0, z0), запишутся
следующим образом:
x x0
y y0
z z0
Fx ( M 0 ) Fy ( M 0 ) Fz ( M 0 )

48.

• Если поверхность задана
уравнением z = f(x, y), то
уравнение касательной
плоскости в точке M0(x0, y0, z0)
имеет вид:
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 )
f y ( x0 , y0 )( y y0 )

49.

• а уравнения нормали запишутся
так:
x x0
y y0
z z0
f x ( x0 , y 0 ) f y ( x0 , y 0 )
1

50.

• Пример. Составить уравнения
касательной плоскости и
нормали к поверхности
2
2
x 2 y 3xy xz 3 yz 1 0
в точке M0(x0, y0, z0), если
x0 2,
y0 1.

51.

• Решение. Подставляя x0 и y0 в
уравнение поверхности,
находим значение z0:
4 2( 1) 3 2( 1) 2 z 0 3( 1) z 0 1 0
2
откуда находим z0 = 1.
Следовательно, M0(2, –1, 1) –
точка касания.

52.

• По условию задачи поверхность
задана неявно. Обозначим
F ( x, y, z ) x 2 y 3xy xz 3 yz 1
2
2
и найдем частные производные
в точке M0(2, –1, 1):

53.

Fx 2 x 3 y z,
Fx ( M 0 ) 2 2 3( 1) 1 2
Fy 4 y 3x 3z,
Fy (M 0 ) 4 ( 1) 3 2 3 1 5
Fz x 3y,
Fz ( M 0 ) 2 3 ( 1) 1

54.

• Подставляем найденные
значения частных производных
в уравнение касательной
плоскости
Fx ( M 0 )( x x0 ) Fy ( M 0 )( y y0 )
Fz ( M 0 )( z z0 ) 0

55.

и получаем искомое уравнение
касательной плоскости:
2( x 2) 5( y 1) 1( z 1) 0
2x 5 y z 2 0

56.

• Уравнения нормали имеют вид
x 2 y 1 z 1
2
5
1

57. § 7. Экстремум функции двух переменных

§ 7. Экстремум функции
двух переменных

58.

• Определение. Функция
z = f(x, y) имеет максимум в
точке M0(x0, y0), если существует
такая окрестность этой точки,
что для любых точек M(x, y) из
этой окрестности выполняется
неравенство
f ( x0 , y0 ) f ( x, y )

59.

60.

• Определение. Функция
z = f(x, y) имеет минимум в точке
M0(x0, y0), если существует такая
окрестность этой точки, что для
любых точек M(x, y) из этой
окрестности выполняется
неравенство
f ( x0 , y0 ) f ( x, y )

61.

62.

• Точки максимума и минимума
называют точками
экстремума, а значения
функции в этих точках
называются экстремальными.

63.

64.

• Теорема 1 (необходимые
условия экстремума). Если
дифференцируемая функция
z = f(x, y) имеет экстремум в
точке M0(x0, y0), то ее частные
производные в этой точке
равны нулю, т. е.
z
0
x
M0
z
0
y M 0

65.

• Функция z = f(x, y) может иметь
экстремум и в точках, где
функция непрерывна, но
частные производные не
существуют.
z
0и
x
z
0
y
• Точки, в которых
,
называются стационарными
точками функции z = f(x, y).

66.

• Теорема 2 (достаточные
условия экстремума). Пусть
M0(x0, y0) является
стационарной точкой функции
z = f(x, y) и в ее окрестности
существуют непрерывные
частные производные 2-го
порядка.

67.

• Обозначим
z
2 A
x M 0
2
z
B
x y M 0
2
2 z
2 C
y M 0
и составим определитель
A B
2
AC B
B C
Тогда:

68.

1) если Δ < 0, то в точке M0
нет экстремума;
2) если Δ > 0, то в точке M0
есть экстремум, причем
максимум при A < 0
и минимум при A > 0;
3) если Δ = 0, то требуется
дополнительное
исследование.

69.

70.

71.

72.

• Пример. Исследовать на
экстремум функцию
3
3
z x y 3xy

73.

• Решение. Находим частные
производные 1-го порядка
z
2
3x 3 y
x
z
2
3 y 3x.
y

74.

• Стационарные точки найдем из
системы уравнений
3x 3 y 0,
x y 0,
2
2
3 y 3x 0,
y x 0,
2
2
y x ,
4
x x 0,
2

75.

x( x 1) 0
3
x1 0, x2 1, y1 0, y2 1.
• Получили две стационарные
точки: M1(0, 0), и M2(1, 1).

76.

• Находим частные производные
2-го порядка:
z
6
x
,
2
x
2
z
3,
x y
2
• Исследуем каждую
стационарную точку.
z
6
y
2
y
2

77.

В точке M1(0, 0) имеем:
A = 0, B = –3, C = 0.
2
AC B 9 0
Тогда
Так как Δ < 0, то в этой точке
нет экстремума.

78.

В точке M2(1, 1) имеем:
A = 6, B = –3, C = 6.
В этом случае
36 9 27 0
Так как Δ > 0 и A > 0, то в этой
точке функция имеет минимум
z min z (1; 1) 1 1 3 1