Токи и напряжения в длинных линиях электропередач

1. ТОКИ И НАПРЯЖЕНИЯ

В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ

2.

При анализе режимов работы линий относительно
небольшой длины (до 200км) и относительно невысокого
номинального напряжения (до 220 кВ) можно
пренебречь токами «смещения», обусловленными
ёмкостями между проводами, и токами «утечки»,
обусловленными проводимостью изоляции и короной.
Режим работы таких линий можно рассматривать на
основе их схем замещения с сосредоточенными
параметрами.
При больших длинах линий, высоких напряжениях и
частотах пренебрегать токами «смещения» и токами
«утечки» нельзя.
Таким образом очевидно, что ток в проводах линий
будет иметь разное значение в отдельных сечениях.
Изменение тока вызовет изменение напряжения вдоль
линии.

3.

Чтобы учесть непрерывное изменение напряжения и
тока вдоль линии нужно считать, что каждый
бесконечно малый элемент длины линии обладает
активным сопротивлением и индуктивностью, а между
проводами активной проводимостью и ёмкостью.
Линия с распределёнными параметрами –
линия, в которой ток и напряжение непрерывно
изменяются при переходе от одной точки линии к
другой.
Будем считать линию однородной, то есть допустим,
что активное сопротивление, индуктивность, активная
проводимость и ёмкость равномерно распределены
вдоль линии.

4.

Передача электроэнергии связана с распространением
электромагнитных волн вдоль проводов линий. Можно
считать, что скорость их распространения равна скорости
света. Тогда при частоте 50 Гц длина волны равна
v 300000
6000км.
f
50
Длинную линию можно представить в виде большого
количества элементарных участков длиной dl.
Обозначим мгновенные значения напряжения и тока
в начале участка через u и i, а в начале следующего
участка через
u
u
dl
l
и
i
i dl.
l

5.

Схема замещения элементарного участка линии.

6.

Запишем уравнения по 1 и 2 закону Кирхгофа:
u
i
u u l dl r0 dl i L0 dl t i l dl
i i i dl g dl u u dl C dl u u dl
0
0
l
l
t
l
Раскрывая скобки, приводя подобные, пренебрегая малыми
величинами и сокращая на dl , получаем:
i
u
r0i L0
l
t
i g u C u
0
0
t
l
- телеграфные уравнения.
Решение в частных производных позволяет определить ток
и напряжение в любой точке линии в зависимости от
координаты и времени.

7.

Если линия включена на синусоидальное напряжение, то
от уравнений в частных производных можно перейти к
уравнениям в простых производных:
dU
(r0 jx0 ) I
dl
dI (g jb )U
0
0
dl
Так как в каждое из уравнений входят обе неизвестные
величины, то переменные удобно разделить, для этого первое
уравнение продифференцируем по dl, а dI/dl возьмем из
второго уравнения. Аналогично поступим со вторым
выражением.
d 2U
dl 2 (r0 jx0 )(g 0 jb0 ) U Z 0 Y0 U
2
d I (r jx )(g jb ) I Z Y I
0
0
0
0
0
0
dl 2

8.

Введём обозначения:
Коэффициент распространения волны
0 (r0 jx0 )(q0 jb0 ) 0 j 0
где 0 (3 5) 10 5 1/км - коэффициент затухания,
0 0,06 /км - коэффициент фазы.
Волновая (электрическая) длинна линии:
2 l 2 lf
л
2 f l LC l L0C0 , или л 0 l
Волновое сопротивление, Ом
ZC
r0 jx0
ZC e j Z
g0 jb0

9.

Если не учитывать активные сопротивления и
проводимость, то
0
jx0 jb0 j L0 C0 .
ZC
r0 jx0
g0 jb0
jx0
L0
jb0
C0
Полученные ранее дифференциальные уравнения
являются дифференциальными уравнениями второго
порядка с постоянными коэффициентами.
d 2U
2
Z
Y
U
0
0
0
0 U 0
2
dl
2
d I Z Y I 2 I
0
0
0
dl 2

10.

Решение уравнений запишется в виде:
U A1e 0l A2e 0l
1
0l
0l
I
(
A
e
A
e
)
1
2
ZC
Для определения А1 и А2 примем за основу режим тока и
напряжения в начале линии. Тогда получим:
U1 A1 A2
ZC I1 A1 A2
U1 ZC I1
A1
2
A U1 ZC I1
2
2
Подставим полученные выражения в исходное решение.

11.

1
1
0l
0l
U
(
U
Z
I
)
e
(
U
Z
I
)
e
1
c
1
1
c
1
2
2
U1 l 1
U1 l
1
0
I ( I1 ) e ( I1 ) e 0
2
Zc
2
Zc
В полученных выражениях
1
0l
U
(
U
Z
I
)
e
c
1
2 1
U1 l
1
I ( I1 ) e 0
2
Zc
- прямые волны;
1
0l
U
(
U
Z
I
)
e
c
1
2 1
U1 l
1
I ( I1 ) e 0
2
Zc
- обратные волны.

12.

e x e x
Учитывая, что chx
2
U U1 c h 0l Z C I1 s h 0l
U1
I I1 c h 0l Z s h 0l
C
e x e x
и shx
, получим:
2
- уравнения по данным начала
линии.
Аналогично можно вывести уравнения по данным конца:
U U 2 c h 0l ZC I2 s h 0l
U2
I I2 c h 0l Z s h 0l
C

13.

Если линия идеальна, то e 0l e 0l e j 0l cos 0l j sin 0l .
Тогда уравнения по данным конца примут следующий
вид:
U1 U 2 cos 0l jZC I2 sin 0l
U2
I
I
cos
l
j
sin 0l
0
1 2
ZC
2 À1 e 0l
U,I
V
l
2 À1 e 0l