Методы оптимального планирования экспериментов

1. Методы оптимального планирования экспериментов

Дисциплина
Моделирование химическо-технологических
процессов
Тема №5
Методы оптимального
планирования экспериментов
Воробьев Евгений Сергеевич

2. Историческая справка

Исторически планирование эксперимента появилось
значительно раньше, чем были сформулированы идеи
кибернетики. Основоположником планирования эксперимента был
известный английский ученый Ренальд Фишер (1900—1962 гг.), с
именем которого связано развитие современной математической
статистики. В 1919 г. он начал работать в Рочдемтерской
агробиологическую станцию обрабатывая результатов
агробиологических наблюдений. В 1923 г. появилась его первая
работа по планированию эксперимента. В 1929 г. в Калькутте была
организована лаборатория для дальнейшего изучения и
практического применения первой строго формализованной
стратегии эксперимента. В 1935 г. вышло первое издание известной
книги Р. Фишера (R. A. Fisher. The Design of Experiments).

3. Планирование экспериментов

Это комплекс мероприятий, направленных на эффективную
постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента –
достижение максимальной точности измерений при минимальном
количестве проведенных опытов и сохранении статистической
достоверности результатов.
Планирование эксперимента применяется при поиске
оптимальных условий, построении интерполяционных формул,
выборе значимых факторов, оценке и уточнении констант
теоретических моделей и др.
Все эти методы объединяются под названием планирования
оптимального эксперимента. В их основе заложены принципы
поэтапного решения задачи, в котором на каждом из этапов
повышается сложность модели с использованием большинства
результатов предыдущих опытов, что обеспечивает минимум
экспериментов для получения окончательного решения.

4. Основные понятия

Обычно модели рассматриваются как черные ящики, где
Х – факторы, они определяют факторное пространство модели;
Y – выходная функция или функция отклика модели;
Белый шум – все не учитываемые факторы попадают сюда и
составляют суммарную погрешность модели
Белый шум
Исследуемый объект
для которого надо
построить функцию
Y=F(X1, X2, … Xn)
X1
X2
Xn
Y b0
bi X i
i 1... n
bij X i X j
i , j 1... n
i j
Y
2
b
X
ii i erf
i 1... n

5. Требования к выбору функции отклика

Она должна быть:
Количественной должна измеряться; однозначно
оценивать (измерять) работу объекта исследования;
Статистически эффективной, иметь возможно меньшую
дисперсию при проведении опытов;
Отражать как можно более широкий спектр функций
исследуемого явления, обладать универсальностью
(практически это требование обеспечить трудно, тогда
рекомендуют пользоваться обобщенной переменной);
иметь достаточно четкий физический смысл.
Удачный выбор выходной переменной определяется
уровнем знания технологии и объекта.

6. Требования к выбору параметров

факторы должен быть регулируемыми в интервале
значений от хmin до хmax;
точность измерения и управления фактором должна
быть известна и достаточно высока (хотя бы на
порядок выше точности измерения выходной
функции), низкая точность измерения фактора
уменьшает воспроизведения эксперимента;
связь между факторами должна быть как можно
меньшей (в пределе должна отсутствовать), это
называют однозначностью факторов, что соответствует
независимости их друг от друга.

7.

Ряд требований предъявляются одновременно как
к факторам так и к выходной функции, они должны
иметь общие области определения.
При нахождении факторов в их заданных
пределах, значение выходной функции должно
оставаться в своих границах.
Между факторами и выходной функцией должно
быть однозначное соответствие (причинноследственная связь), которую мы обычно и хотим
найти.

8. Построение планов экспериментов

Плана строится от центральной точки с заданными шагами, для
автомасштабирования факторов факторное пространство
преобразуется с безразмерную систему координат (Z1, Z2):
Функция отклика
Y f X , b erf
Кодированное значение
Xi Xi
Zi
X i
Натуральное значение
X i X i Zi X i

9. Решаемые задачи

В зависимости от поставленных задач решения могут
быть остановлены на любом этапе согласно начальной
постановке:
определить значения выходной функции и значимость
входных параметров (их вклад в исследуемую функцию)
в заданном факторном пространстве;
построить линейную модель для САР или поиска
направления движения в область экстремума функции
по наикратчайшему пути вдоль её градиента от
центральной точки построенного плана;

10.

выполнить крутое восхождения в область экстремуму с
целью нахождения более лучшей точки для ведения
процесса или работы аппарата;
попав в область экстремума построение плана второго
порядка для описания процесса или аппарата более
сложных зависимостей, описывающих объекты в
области экстремумов.

11. План-матрицы полного и дробного факторных экспериментов

Факторные эксперименты
первого порядка построены на
линейных моделях с
использованием классических МНК
и дисперсионного статистического
анализа. Они реализуются
возможные комбинации факторов
на всех выбранных уровнях. Общее
число опытов для полного
факторного эксперимента в случае,
когда реализуются все комбинации
факторов, равно N=2n
n=1,
N=2
n=2,
N=4
n=3,
N=8
№
Х1
Х2
Х3
1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
1
-1
4
5
1
-1
1
-1
-1
1
6
1
-1
1
7
8
-1
1
1
1
1
1
2
3

12. Свойства матриц ПФЭ

План эксперимента обладает ортогональностью:
№
Х1
Х2
Х3
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
8
N
xi ,k x j ,k 0, i j, i, j 1 n
k 1
симметричностью:
xi , j
N
xi ,k 0,
i 1 n
k 1
нормировкой:
N
2
x
i ,k N, i 1 n
k 1
рототабельностью – равенством и минимальностью
дисперсий по всему факторному пространству

13. Насыщенность планов

n
N
Уравнение
L
f
1
2
3
4
2
4
Y=b0 + b1X1
2
3
4
5
0
1
4
11
8
16
Y=b0 + b1X1 + b2X2
Y=b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3
Y=b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b4X4
Однопараметрическая модель является полностью
насыщенной, находим два коэффициента на основании
двух опытов, для двухпараметрической модели остается
один опыт. Трёх и более параметрические модели
становятся ненасыщенными и имеются опыты, которые
можно использовать для других факторов, что
реализуется в дробных планах.

14. Дробный факторный эксперимент

№
Х1
Х2
Х3
Х1Х2
Х1Х3
Х2Х3
Х1Х2Х3
-1
-1
-1
1
1
1
-1
2
1
-1
-1
-1
-1
1
1
3
-1
1
-1
-1
1
-1
1
4
1
1
-1
1
-1
-1
-1
5
-1
-1
1
1
-1
-1
1
6
1
-1
1
-1
1
-1
-1
7
-1
1
1
-1
-1
1
-1
8
1
1
1
1
1
1
1
Для трехпараметрическая модель имеются четыре варианта
взаимосвязей, из которых можно выбрать три.
Однако, надо помнить, что найденные коэффициенты будут
содержать в себе и влияние самой связи, если она существует
1

15. Заполнение плана данными

Исходные данные
Xi
Xcp
dX
X2
X3
X4
32
56
42
8
7
4
Готовим
таблицу с
исходными
данными
Формируем матрицу на основании формул:
для Z – =(-1)^ОКРУГЛВВЕРХ(N/2^(n-1);0)
Для Х – =Xcp+dX*Z
№
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
Кодированные
1
2
3
Натуральные
X2
X3
X4
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
24
40
24
40
24
40
24
40
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
49
49
63
63
49
49
63
63
38
38
38
38
46
46
46
46

16.

Алгоритм проведения оптимального исследования
Если число
входных параметров
велико, то
нет
Построение матрицы полного
факторного эксперимента (ПФЭ-2n),
построение регрессионного уравнения и
проверка его адекватности.
Если модель
адекватна
да
Сбор и анализ априорной информации в научно-технической и патентной
литературе, опросом специалистов. Ранжированием выделенных параметров по их
значимости и выбором основного набора входных параметров для исследования.
Проведение экспериментов по
отсеиванию малозначимых входных
факторов с использованием метода
случайного баланса (МСБ)
Проведение экспериментов
крутому восхождению вдоль
градиента в область экстремума до
новой точки следующего плана
ПФЭ
да
Линейная
модель САР
нет
Дополнение матрицы полного факторного эксперимента (ПФЭ-2n) звездными
точками до получения центрального композиционного плана (ЦКП)

17. Анализ априорной информации Общие понятия

В основе метода лежит однопараметрический
качественный дисперсионный анализ (анализируемые
уровни выражены качественными значениями (именами
факторов) и их значения заменены рангами). Наиболее
значимым параметром является тот, который имеет
наименьшую сумму рангов.
Согласованность экспертов оценивается через
коэффициент конкордации и его значимость проверяется
с помощью критерия Пирсона.
В качестве уровней дисперсионного анализа выступают
оцениваемые факторы, а параллельные испытания по
каждому из них формируются из мнения экспертов.

18. Анализ априорной информации Опросные карточки

Рассмотрим пример, мы имеем 10 источников информации. Их
анализ показал нам, что в исследуемом объекте имеются 6 входных
параметров. Готовим опросные карточки
Источник информации 1
Параметр
Ранг
Источник информации
1
Параметр
Ранг 1
Температура
5
Источник
информации
Параметр
Давление Температура
6
4
Температура 2
Давление
Соотношение
компонентов
2
Давление
Соотношение
компонентов
Растворитель
3
6
Соотношение компонентов
КатализаторРастворитель
5
1
Растворитель 3
Катализатор
Скорость мешалки
Катализатор
Скорость мешалки
Скорость мешалки
4
1
Ранг
4
3
6
5
1
2

19. Анализ априорной информации Сводная таблица

Экс1 Экс2 Экс3 Экс4 Экс5 Экс6 Экс7 Экс8 Экс9 Экс10 Сумма
Х1
Х2
Х3
Х4
Х5
Х6
5
4
2
6
1
3
6
2
3
5
4
1
4
3
6
5
1
2
5
3
4
6
2
1
4
3
6
5
2
1
6
5
4
1
2
3
3
4
6
5
2
1
6
4
5
2
3
1
3
5
6
1
4
2
Δ
Δ2
3
4
6
5
2
1
45 10 100
37
2
4
48 13 169
41
6
36
23 -12 144
16 -19 361
814
Сумма 210
k
12S
2
Коэффициент
W 2 3
, S Δi
конкордации
m k k
i 1
12S
2
2
χ рас
χ таб f k 1
Критерий согласия
mk k 1

20. Анализ априорной информации Гистограмма параметров

60
Сумма рангов
50
40
30
20
10
0
Х6
Х5
Х2
Х4
Параметры
Х1
Х3
По гистограмме хорошо видна последовательность параметров по их
значимости: Х6→ Х5→ Х2→ Х4→ Х1→ Х3

21. Анализ априорной информации «Связанные ранги»

Исследователи
Х1
Экс1
Экс2
Экс3
Экс4
Экс5
Сумма
Δ
Δ2
W
Х2
Х3
Ранги по факторам
Х4
Х5
Х6
4
2
1
4
4
7
3
1
2
7
6
4,5
1
2
4
5
7
8
1
2
3
5,5
9
8
4
3
1
8
7
6
13 10 11 29,5 33 33,5
-12 -15 -14 4,5
8
8,5
144 225 196 20,25 64 72,25
12S
m k k m t j
2
3
m
j 1
Х7
6
4,5
9
4
2
25,5
0,5
0,25
, t j t
u
3
j ,u
Х8
Х9
t
8
9
2
9
8
0,5
3
6
0
5,5
7
0,5
9
5
0
34,5 35 225
9,5 10
0
90,25 100 912
t j ,u 12

22. Метод случайного баланса (МСБ) Общие понятия

МСБ предполагает определение оценки влияния
каждого фактора на выходную функцию при условии
наличия линейной связи в интервале от минимального до
максимального значения параметра.
Оценки влияния каждого фактора рассматриваются как
независимые от остальных, то есть их влияние
рассматривается как «белый шум».
Наличие в исследуемом интервале экстремумов
функции приводит к ошибочным результатам, так же к
ошибкам ведут неудачно выбранные границы интервалов
по разным параметрам.

23. Метод случайного баланса Общие понятия

Идея метода заключается в определении размаха (изменения
выходной функции) при изменении каждого входного параметра от
его минимального до максимального значений. Данное решение
строится через построение диаграмм рассеяния для каждого
входного фактора.
Y эксп
88
Здесь видно, что Х2
и Х4 имеют равные
83
размахи, но Х2
содержит все точки
78
как выпадающие.
Поэтому самым
73
значимым
фактором является
68
0
1
2
3
4
5
6
Х2
Параметры

24. Метод случайного баланса Построение матрицы

Метод случайного баланса
№ 1
Построение матрицы 1 -1
№ 1 2
1 -1 -1
2 3 ГСЧ
2 1 -1
-1 -1 2
3 -1 1
Исходные данные
2
1
-1
-1 3
2 шаг
4 1 1
Xi Xcp dX
3 -1 1 -1 8
5 -1 -1
77
8
X1
4
1
1
-1 7
1 шаг
6 1 -1
0
7
X2
5 -1 -1 1 6
3 шаг
7 -1 1
35
8
X3
6 1 -1 1 1
8 1 1
31
4
X4
7 -1 1 1 5
38
7
X5
8 1 1 1 4
Кодированные значения
Натуральные значения
№
опыта Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
X1
X2
X3
X4
X5
1
-1
1
-1
1
-1
69
7
27
35
31
2
-1
1
1
-1
-1
69
7
43
27
31
3
-1
-1
1
1
-1
69
-7
43
35
31
4
1
1
1
1
1
85
7
43
35
45
5
1
-1
1
-1
1
85
-7
43
27
45
6
1
1
-1
-1
-1
85
7
27
27
31
7
1
-1
-1
1
1
85
-7
27
35
45
8
-1
-1
-1
-1
1
69
-7
27
27
45
3 ГСЧ
-1 5
-1 1
-1 4
-1 6
1 8
1 2
1 3
1 7
Y экс
41,64
43,19
27,06
45,02
28,98
43,06
28,05
28,53

25.

Метод случайного баланса
Расчет размахов
№
1
2
3
4
5
6
7
8
ММ+
В
Z1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
Z2
1
1
-1
1
-1
1
-1
-1
Z3
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
Z4
1
-1
1
1
-1
-1
1
-1
Z5
-1
-1
-1
1
1
-1
1
1
Обычным приравниванием
(=Ячейка) данные из предыдущей
таблицы сводим в краткую таблицы
Y экс
41,64
43,19
27,06
45,02 Формируем в подвале таблицы
заголовки строк и их расчетные формулы
28,98
=МЕДИАНА(ЕСЛИ(B25:B32=-1;$G25:$G32))
43,06
28,05 формула-массив завершаем ввод
Ctrl+Shift+Enter
28,53
=B34-B33 – (М+ - М-)
35,08 28,29 35,08 36,02 42,35 Копируем формулы на все
36,02 43,12 36,09 34,84 28,76столбцы параметров и выделяем
0,937 14,83 1,001 -1,18 -13,6 максимальный размах (по
абсолютной величине)

26.

Метод случайного баланса
Корректировка функции
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5 Y экс
№
1
-1
1
-1
1
-1 41,64
2
-1
1
1
-1
-1 43,19
3
-1
-1
1
1
-1 27,06
4
1
1
1
1
1
45,02
5
1
-1
1
-1
1
28,98
6
1
1
-1
-1
-1 43,06
7
1
-1
-1
1
1
28,05
8
-1
-1
-1
-1
1
28,53
М35,08 28,29 35,08 36,02 42,35
М+
36,02 43,12 36,09 34,84 28,76
В
0,937 14,83 1,001 -1,18 -13,6
Второй шаг
Редактируем формулу:
№
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
Y экс
1
-1
1
-1
1
-1 41,64=G25+ЕСЛИ(C25=-1;$C$35;0)
Для построения формулы в первой строке второго шага используем значение
функции из первой строки первого шага, выделенный размах и значение Zi на
соответствующих строки и столбца. Копируем на все значения Y для второго шага

27.

Метод случайного баланса
Определение оставшихся размахов
Если формулы введена правильно и потом скопирована на
остальные ячейки столбца Y, то размах для выбранного Zi
должен стать равным 0. Удаляем над этим нулем формулы для
вычисления медиан. Находим следующее наибольшее
значение размаха (по абсолютной величине), выделяем его
цветом. Копируем всю таблицу данных с блоком формул и
вставляем все ниже соблюдая число пропущенных строк
между таблицами. Корректируем формулу для расчета Y,
перемещая размах на новую, выделенную цветом, ячейку и
значение Zi в столбец над размахом.
Если все выполнено правильно, то очередной размах станет
равным 0. Повторяем операцию до тех пор, пока для всех
входных параметров не будут определены их размахи.

28.

Метод случайного баланса
Построение диаграммы рассеяния
Если при корректировке размаха на очередном шаге мы получаем несколько (обычно не более 2-х) одинаковых размахов, тогда
надо построить диаграмму размахов для данных входных
параметров и сосчитать у какого из них больше выпадающих точек.
Данная задача решается следующим образом:
o Заполняем строку с номерами параметров;
o Приравниваем заголовок Yэкс и копируем эту формулу вниз;
1
2
3
4
5 Y экс o Записываем формулу в ячейки
таблицы:
0,9 2,1 2,9 4,1 4,9 41,6
0,9 2,1 3,1 3,9 4,9 43,2
=I$37+0,1*B38
0,9 1,9 3,1 4,1 4,9 41,9 где: I$37 – адрес ячейки с номером
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 45,0
параметра в заголовке таблицы; B38
1,1 1,9 3,1 3,9 5,1 43,8
1,1 2,1 2,9 3,9 4,9 43,1 – адрес ячейки со значением Zi.
1,1 1,9 2,9 4,1 5,1 42,9 o Скопируем формулу на всю
таблицу.
0,9 1,9 2,9 3,9 5,1 43,4

29.

o Выделяем нужный столбец параметра и, удерживая клавишу Ctrl
выделяем столбец Yэкс;
o Строим диаграмму – точечная – только маркеры;
o Вызываем команду «Выбрать данные» и добавляем следующий
параметр с набором Yэкс;
o Настраиваем диаграмму, чтобы хорошо было видно точки и
считаем выпавшие из них.
На графике внизу показана диаграмма для всех пяти входных
параметров,
Y эксп
88
выпавшие точки по
параметрам имеют
83
следующие
значения: X1 – 0;
78
X2 – 8; X3 – 2;
X4 – 6; X5 – 2.
73
68
0
1
2
3
Параметры
4
5
6

30.

Метод случайного баланса
Заключение по результатам
o Строим вспомогательную таблицы с абсолютными значениями
размахов (=Abs()), которые выбираем из закрашенных ячеек (где
закраска появилась первый раз) ;
o Копируем данную таблицу и вставляем только значения;
o Сортируем скопированную таблицу по второму столбцу в
порядке убывания;
o Строим гистограмму.
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
2,80
14,83
12,54
9,48
1,85
=ABS(B74)
=ABS(C35)
=ABS(D87)
=ABS(E48)
=ABS(F61)

31. Алгоритм планирования эксперимента

Выбираем центральную точку факторного и вокруг неё
строим полный (дробный) факторный эксперимент.
Выполняем испытания, проводим обработку данных,
получаем регрессионную модель, которая описывает наш
объект.
Если модель адекватна, то можно использовать данную
модель для управления процессом в этой локальной области
или воспользовавшись методом крутого восхождения найти
новую точку в которой построить следующий план.
В противном случае (модель не адекватная) мы оказались в
области экстремума и необходимо повышать сложность
модели до второго порядка.
Графически алгоритм представлен далее.

32. Графическая интерпретация

Y4
X2
Y3
ПФЭ 222
ПФЭ 222→ ЦКП
Y2
Y1
Ymax
Xmax
Yэ3
Yэ4
X20
Xmin
Yэ1
Xmin
ПФЭ 22
X10
Yэ2
Xmax
Ymax > Y1 > Y2 > Y3 > Y4
X1

33. Полный факторный эксперимент основы метода

Основой метода является регрессионный анализ данных в
котором по результатам эксперимента на объекте исследования
можно найти его математическую модель. Полученная модель
(обычно полином) называется уравнением регрессии.
Степень приближения уравнения регрессии к реальному объекту
зависит не только от экспериментальных данных, но и от метода
построения полинома. В качестве такого метода обычно выбирают
метод наименьших квадратов, являющийся частным случаем
метода максимума правдоподобия для случайных переменных с
нормальным законом распределением.
Уравнение подвергается статистическому анализу, основанному
на оценках различных дисперсий: проверяются однородность
дисперсий, значимость коэффициентов и адекватность
уравнения регрессии.

34. Полный факторный эксперимент основные предпосылки

В основе данных решений лежат несколько статистических
предпосылок, выполнение которых гарантирует достоверность
анализа полученной математической модели:
1. Выходная переменная — случайная величина с нормальным
законом распределением; факторы — неслучайные величины;
это означает, что ошибки в управлении факторами по
крайней мере на порядок меньше ошибок при измерении
выходной переменной.
2. Связь между факторами отсутствует или её надо учитывать.
3. Дисперсии выходной переменной однородны в любой точке
факторного пространства.
4. Исследуемый объект лишен динамических свойств
(рассматриваются стационарные режимы объекта).

35. Полный факторный эксперимент однородность дисперсий

Так как мы обычно проводим несколько серий
испытаний в каждой точке факторного пространства, и
получаем статистические оценки для каждой точки.
Анализ этих данных может указать на наличие областей с
большими погрешностями. Данная проверка выполняется
с помощью критерия Кохрена, по следующей схема:
G расч
Max Si2
N
S
i 1
2
i
Gтабл
f1 m 1, f 2 N
где: Si2 – строчная дисперсия с серии из m – параллельных
опытов в плане с N – точками в плане эксперимента.

36.

При соблюдении данного условия однородность
дисперсий принимается и расчет продолжается далее.
В противном случае ищется причина неоднородности
дисперсий. Это обычно случайные или систематические
ошибки во время экспериментов.
Наличие случайных ошибок обычно возникает при
неоднородности строчных дисперсий в одном опыте.
Систематические ошибки возникаю в нескольких
строках матрицы плана и связаны с низкой точностью
методики из-за малого шага изменения параметра или
при влиянии не учитываемого фактора, который
становится значимым в определенных условиях данного
плана.

37. Полный факторный эксперимент значимость коэффициентов

Если дисперсии однородны, определяем коэффициенты
уравнения регрессии и проверяем их значимость с помощью
критерия Стьюдента:
N
bj
z i , j yi
i 1
N
tb j t табл , b j
; tb j ; b j
t
t
,
0
Sb
b
табл
j
bj
где: zi,j – кодированные значения параметров; yi – средние
значения функции.
Если коэффициент не значим, то его значение приравнивается
нулю, это говорит о том, что либо выбран недостаточный интервал
варьирования параметра или в интервале имеется экстремум
функции

38. Полный факторный эксперимент адекватность модели

Адекватность модели проверяется с помощью критерия Фишера:
N
S ад2
Fрас
yi yˆ i
2
i 1
N L
;
2
S вос
2 Fтаб f вос N , f ад N L
S ад
Если модель адекватна, то она может использоваться для САР
или на её основании можно реализовать крутое восхождение. При
неадекватности модели и нулевых или маленьких значениях
коэффициентов надо переходить к моделям второго порядка.
Другая причина неадекватности – недостаточный интервал или
низкая точность методики.

39.

Полный факторный эксперимент
Xi X cp Шаг
35
9
X3
n= 3 Число параметров
15
4
X4
N= 8 Число опытов
44
8
X5
m= 4 Число параллельных испытаний
Таблица расчетных и экспериментальных данных
Кодированн Натуральные
№ ые значения значения
1
2
3
4
5
6
7
8
Z1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
Z2
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
Z3 X3
-1 26
-1 44
-1 26
-1 44
1 26
1 44
1 26
1 44
X4
11
11
19
19
11
11
19
19
Параллельные испытания
Yэкс
S2y
Yрас
X5 Y1
Y2
Y3
Y4
36 83,68 86,58 82,52 83,94 84,18 2,938 84,18
36 88,30 87,44 88,70 87,02 87,86 0,591 87,87
36 86,88 88,45 87,24 87,00 87,39 0,516 87,40
36 91,53 90,69 92,11 90,05 91,10 0,821 91,08
52 88,66 90,31 89,18 88,64 89,20 0,614 89,20
52 92,80 91,21 93,31 94,28 92,90 1,644 92,89
52 90,34 92,16 92,56 94,67 92,43 3,154 92,42
52 97,54 92,68 96,71 97,38 96,08 5,261 96,10

40.

Проверка воспроизводимости опытов (критерий Кохрена)
Gpac=0,3386
Gтаб=0,4377
f1= 3
Опыты воспроизводимы
f2= 8
Дисперсия воспроизводимости
S2вос=1,9422
Дисперсия коэффициентов
Sb= 0,4927
Проверка значимости коэффициентов (критерий Стьюдента)
Имя Знач. tрас Прин.
b0 90,14 182,95 90,14
tтаб=2,306
f1= 8
1,84
3,74 1,84
b1
L= 4
1,61
3,26 1,61
b2
S2ад=0,0003
2,51
5,09 2,51
b3
Проверка модели на адекватность (критерий Фишер)
Fpас=5690,8
Fтаб=5,77
f1= 24
Модель адекватна
f2= 4

41. Другие реализации ПФЭ

o
o
o
Допустимы и другие реализации ПФЭ:
С проведением параллельных испытаний в одной точке плана,
что несколько упрощает расчет и исключает проверку на
однородность дисперсий;
С проведением разного числа параллельных испытаний в каждой
точке плана, что однозначно усложняет расчеты, требуя учета
разного числа m для своих строк;
С оценкой наличия взаимосвязей между параметрами, что
требует расширения таблицы параметров с представлением всех
возможных взаимосвязей и выполнения дальнейшего расчета.
Данный план обычно получается насыщенным, но он позволяет
выбрать наиболее подходящие параметры для перехода к
дробным планам.

42. Дробный факторный эксперимент

Полный факторный эксперимент является удобным средством
построения математической модели исследуемого объекта
особенно при числе факторов n>3, но увеличение числа факторов
приводит к резкому увеличению числа опытов. n=6 – N=64, n=7 –
N=128. Конечно точность решений возрастает.
Для получения достаточно точных оценок коэффициентов
регрессии можно обойтись и меньшим количеством опытов, вводя
понятие дробного факторного эксперимента (или дробных реплик).
Однако сокращение числа опытов влечет за собой появление
корреляции между некоторыми столбцами матрицы планирования.
Это обстоятельство не позволяет раздельно оценивать эффект
факторов и их взаимосвязей. Возникают смешанные оценки.
Запись ДФЭ имеет вид 2n-p, где р – число дополнительных
факторов, n – общее число факторов.

43.

Взяв за основу трехфакторное пространство можно получить еще
четыре взаимосвязи, которые могут быть использованы для
дополнительных факторов:
№
Х1
Х2
Х3
Х1Х2
Х1Х3
Х2Х3
Х1Х2Х3
-1
-1
-1
1
1
1
-1
2
1
-1
-1
-1
-1
1
1
3
-1
1
-1
-1
1
-1
1
4
1
1
-1
1
-1
-1
-1
5
-1
-1
1
1
-1
-1
1
6
1
-1
1
-1
1
-1
-1
7
-1
1
1
-1
-1
1
-1
8
1
1
1
1
1
1
1
Если мы добавим Х4, то получим полу реплику, X4 и Х5 – четверть
реплики и т.д.
Например, подставив Х4 в первый столбец с взаимосвязью Х1Х2 мы
получим коэффициент b4 = β4 + β12, если эта связь значима, то она
будет вносить погрешность на влияние Х4
1

44. Крутое восхождение в область экстремума

Получив адекватную модель объекта, может реализовать
восхождение в область экстремума по градиенту.
Движение по градиенту предполагает наиболее быстрый подъем
вверх или спуск вниз. Градиент определяется производными по
каждому входному параметру. Для пропорционального движения
вдоль градиента обычно задается желаемый шаг, который задает
перемещение к очередной точки по максимальной производной,
по остальным параметрам шаг находится отношением значения
производной по данному параметру к максимальной производной.
Опорный шаг принимается в интервале от 0,1 до 0,5 в
кодированных значениях. Начальная точка берется в центре ПФЭ.
Через каждые 5-6 расчетных значений функции проводится
экспериментальный её замер.

45.

Имя Знач. tрас Прин.
b0 90,14 182,95 90,14
1,84
3,74 1,84
b1
1,61
3,26 1,61
b2
2,51
5,09 2,51
b3
Крутое восхождение
Шаг восхождения
h= 0,2
h1= 0,15
h2= 0,13
h3= 0,2
max= 2,5098
Таблица крутого восхождения
Кодированные
Натуральные
Y рас Y экс
значения
значения
№
1
2
3
X3
X4
X5
1
0
0
0
35
15 44 90,142 91,622
2 0,147 0,128
0,2 36,321 15,512 45,6 91,12

46.

Таблица крутого восхождения
1
0
0
0
35
15
44 90,142 91,622
2 0,147 0,128
0,2 36,321 15,512
45,6 91,12
3 0,294 0,256
0,4 37,642 16,024
47,2 92,098
4
0,44 0,384
0,6 38,964 16,536
48,8 93,077
5 0,587 0,512
0,8 40,285 17,049
50,4 94,055
6 0,734 0,64
1 41,606 17,561
52 95,033 95,542
7 0,881 0,768
1,2 42,927 18,073
53,6 96,011
Y
Y’
8 1,028 0,896 Z1 1,4 Z2
44,249 Z3
18,585 X155,2 X2
96,989 X3
9 1,174 1,0241,812
1,61,580
45,572,468
19,097
56,821,321
97,967
51,306
63,747 97,688 0,00
10 1,321 1,152
1,8 46,891 19,609
58,4 98,945
11 1,468 1,28
2 48,212 20,122
60 99,923 97,47
12 1,615 1,408
2,2 49,534 20,634
61,6 100,9
13 1,762 1,536
2,4 50,855 21,146
63,2 101,88
14 1,908 1,665
2,6 52,176 21,658
64,8 102,86
15 2,055 1,793
2,8 53,497 22,17
66,4 103,84
16 2,202 1,921
3 54,818 22,682
68 104,81 97,407
17 2,349 2,049
3,2 56,14 23,195
69,6 105,79
18 2,496 2,177
3,4 57,461 23,707
71,2 106,77
19 2,642 2,305
3,6 58,782 24,219
72,8 107,75
20 2,789 2,433
3,8 60,103 24,731
74,4 108,73
21 2,936 2,561
4 61,425 25,243
76 109,7 95,352

47. Центральные композиционные планы, общие положения

Задачами планов второго порядка являются проведение
оптимального плана исследований, получение нелинейной модели
и ее статистический анализ. Модель применяется для поиска
координаты оптимума и может использоваться для целей
интерполяции и экстраполяции.
Построить данные планы с помощью ранее рассмотренных схем
не удается потому, что нарушается условие ортогональности (сумма
элементов столбцов не равна нулю). Требуется поставить большое
число опытов (3n). Планирование на трех уровнях неэкономично и
потому предложено дополнить план ПФЭ 2n определенными
точками факторного пространства так, чтобы выполнялось условие
ортогональности или ротатабельности, но при этом число опытов
таких планов было меньшим, чем ПФЭ 3n :
N = 2n + 2n + N0 < 3n

48. Центральные композиционные планы, общие положения

Такие планы состоят из опытов ПФЭ 2n, «звездных» точек и
опытов в центре плана. Большим преимуществом этих планов
является то, что их можно получать из планов ПФЭ 2n. Для
построения используется план 2n, линейная модель по которому
при поиске области оптимума оказалась неадекватной. Все
проведенные эксперименты остаются, а план дополняется
определенным количеством специально подобранных «звездных»
точек. Отметим, что дробная реплика предыдущего плана в новом
плане дополняется до полного факторного эксперимента, если n≤4;
при n>4 возможно использование дробных реплик. Эти планы
называются центральными композиционными планами. Выбор
плеча «звездных» точек и числа нулевых точек зависит от критерия
оптимальности плана. В инженерной практике применяются
ортогональные и ротатабельные планы второго порядка.

49.

№
Х1
Х2
Х3
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
-α
α
0
0
0
0
0
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
0
-α
α
0
0
0
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
0
0
0
0
-α
α
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Точки полного
факторного
эксперимента
«Звездные» точки их
радиус α определяется от
типа плана
Центральная точка

50.

Величина плеча «звездной» точки для ортогональных планов
второго порядка
Число независимых факторов
Наименование
элементов плана
2
3
4
5
Ядро плана
22
23
24
25-1
α
1,00
1,215
1,414
1,547
Величина плеча «звездной» точки для рототабельных планов
второго порядка
Наименование
элементов плана
Число опытов в ядре
матрицы
Число «звездных» точек
Число нулевых точек
Значение α
Число независимых факторов
2
3
4
5
5
22 = 4
23 = 8 24 = 16 25 = 32 25-1 = 16
4
5
1,414
6
6
1,682
8
7
2,00
10
10
2,378
10
6
2,00

51. Сравнение планов

α
α

52. Методики расчетов ЦКП

Расчеты по результатам ЦКОП похожи на расчет ПФЭ, но требуют
дополнительных вычисления для нахождения коэффициентов при
квадратах параметров и при взаимосвязях. При проверке
значимости коэффициентов их дисперсии имеют разные значения
для всех видов коэффициентов (свободный член, линейные члены,
взаимосвязи и квадратные члены).
Расчеты по результатам ЦКРП существенно сложнее из-за их не
ортогональности. При нахождении незначимых коэффициентов при
членах второго порядка необходимо выполнять полный перерасчет
результатов.
Если нелинейная модель, полученная по ЦКП, неадекватна, то
возможны изменение порядка полинома (переход к полиному
третьего порядка) или добавление новых факторов в уравнение
регрессии или тщательный анализ ошибок в эксперименте.