Полиномиальная модель

1. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

Многофакторные эксперименты наиболее часто
применяют для построения линейных по параметрам
полиномиальных моделей. Вид полинома задается
заранее, а его параметры определяются по
экспериментальным данным.
Широкое распространение полиномиальных моделей
объясняется тем, что исследуемые
экспериментальными методами функции многих
переменных f (х1, х2, . . . , хк) в ограниченной области
W обычно можно разложить в ряд Тейлора:
k
Y β β
0
i 1
k
i
k
x β x β x x
i
i 1
2
ii
i
i , j 1
i j
ij
i
j
ε
1

2. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

где 0, i, ij, ii - действительные значения
коэффициентов уравнения;
хi, xj - факторы;
Y - отклик;
- слагаемые третьего и более высокого порядка
малости.
Если модель включает в себя переменную (l - 1)
степени, то данная переменная в эксперименте
должна принимать не менее l значений или уровней.
2

3. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

k
k
1
i 1
k
y b 0 b i x i b ii x i b ij x i x j
2
i , j 1
i j
В уравнении регрессии коэффициенты bi являются
оценками соответствующих коэффициентов i , а y оценка отклика Y.
3

4. Метод наименьших квадратов

y b0 b1 x1.
yi b0 b1 x1i 0
где i = 1, 2, ..., N – номер опыта.
yi b0 b1 x1i i ,
где ξi – невязка, разность между экспериментальным и
вычисленным по уравнению регрессии значениями у в
i-й экспериментальной точке.
N
N
i 1
i 1
U i2 yi b0 b1 x1i min .
2
4

5. Метод наименьших квадратов

.
U
0
b0
U
0
b1
2 yi b0 b1 x1i 0
i 1
N
2 yi b0 b1 x1i x1i 0
i 1
N
Nb0 x1i b1 yi
i 1
i 1
.
N
N
N
2
x
b
x
b
y
x
1
i
1i 0
1
i 1i
i 1
i 1
i 1
N
N
5

6. Метод наименьших квадратов

.
b0
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
2
2
y
x
i 1i yi x1i x1i
N
N x 21i
i 1
b1
N
x1i
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
,
N yi x1i yi x1i
N
2
N x 1i x1i
i 1
i 1
N
2
.
6

7. Метод наименьших квадратов

N
bj
yx
i 1
i
N
ji
.
В этой формуле j = 0,1, 2 ..., k – номер фактора. Ноль
записан для вычисления b0.
7

8. Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные
сочетания уровней факторов, называется полным
факторным экспериментом.
Если в k – мерном пространстве фактор х1 будет принимать l1 уровень, фактор х2 – l2 уровней, а фактор хк – lк
k
уровней, то k – факторов образуют:
N l1 l 2 ... l k l i
i 1
наборов, или точек факторного пространства.
В теории ТПЭ обычно l1 = l2 = . . . = lk поэтому N = lk. Если
число уровней каждого фактора равно двум, то имеем
полный факторный эксперимент типа
N = 2k.
8

9. Полный факторный эксперимент

k
2 3
4
5
N
4 8
16
32 64
Матрица планирования 22
6
7
8
9
10
128
256
512
1024
Матрицы планирования 23
№ опыта
х1
х2
Y
№ опыта
х1
х2
х3
y
1
–1
–1
y1
1
+
+
+
y1
2
+1
–1
y2
2
–
+
+
y2
3
–1
+1
y3
3
+
–
+
y3
4
+1
+1
y4
4
–
–
+
y4
5
+
+
–
y5
6
–
+
–
y6
7
+
–
–
y7
8
–
–
–
y8
9

10. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 22

~
x2
3
x2
4
x1
1
2
~
x1
0
10

11. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 23

~
x1
~
x3
~
x2
11

12. Свойства матрицы ПФЭ типа 2k

Симметричность относительно центра эксперимента,
N
x
i 1
ji
0,
где j – номер фактора, N – число опытов, j = 1, 2... k.
Условие нормировки
N
2
x
ji N .
i 1
Ортогональность матрицы планирования
N
x
i 1
x 0,
ji ui
j ≠ u, j, u= 0, 1, 2, …, k.
12

13. Параллельные опыты. Рандомизация

Для снижения случайной составляющей погрешности
в каждой точке плана производят по несколько
параллельных опытов (обычно 3 - 5 ).
В практике эксперимента встречаются случаи, когда
отклик непроизвольно меняется под влиянием
различных неконтролируемых воздействий. Они могут
иметь как случайный так и периодический характер,
причем период может быть меньше времени
проведения эксперимента, так и значительно больше.
Для уменьшения влияния медленно изменяющихся
помех используют метод, или принцип,
рандомизации.
13

14. Параллельные опыты. Рандомизация

Термин “ рандомизация “ происходит от слова random
(случай, случайность ). Он означает, что опыты
производятся не в той последовательности, как они
записаны в плане, а в случайной последовательности.
Кроме уменьшения влияния дрейфа, рандомизация
обеспечивает статистическую независимость результатов
опытов между собой. Поэтому принцип рандомизации
имеет основополагающее значение в теории ПЭ и
должен использоваться при проведении
экспериментальных исследований.
14