ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов
Полный факторный эксперимент
Полный факторный эксперимент
Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 22
Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 23
Свойства матрицы ПФЭ типа 2k
Параллельные опыты. Рандомизация
Параллельные опыты. Рандомизация
239.50K
Category: mathematicsmathematics

Полиномиальная модель

1. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

Многофакторные эксперименты наиболее часто
применяют для построения линейных по параметрам
полиномиальных моделей. Вид полинома задается
заранее, а его параметры определяются по
экспериментальным данным.
Широкое распространение полиномиальных моделей
объясняется тем, что исследуемые
экспериментальными методами функции многих
переменных f (х1, х2, . . . , хк) в ограниченной области
W обычно можно разложить в ряд Тейлора:
k
Y β β
0
i 1
k
i
k
x β x β x x
i
i 1
2
ii
i
i , j 1
i j
ij
i
j
ε
1

2. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

где 0, i, ij, ii - действительные значения
коэффициентов уравнения;
хi, xj - факторы;
Y - отклик;
- слагаемые третьего и более высокого порядка
малости.
Если модель включает в себя переменную (l - 1)
степени, то данная переменная в эксперименте
должна принимать не менее l значений или уровней.
2

3. ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

k
k
1
i 1
k
y b 0 b i x i b ii x i b ij x i x j
2
i , j 1
i j
В уравнении регрессии коэффициенты bi являются
оценками соответствующих коэффициентов i , а y оценка отклика Y.
3

4. Метод наименьших квадратов

y b0 b1 x1.
yi b0 b1 x1i 0
где i = 1, 2, ..., N – номер опыта.
yi b0 b1 x1i i ,
где ξi – невязка, разность между экспериментальным и
вычисленным по уравнению регрессии значениями у в
i-й экспериментальной точке.
N
N
i 1
i 1
U i2 yi b0 b1 x1i min .
2
4

5. Метод наименьших квадратов

.
U
0
b0
U
0
b1
2 yi b0 b1 x1i 0
i 1
N
2 yi b0 b1 x1i x1i 0
i 1
N
Nb0 x1i b1 yi
i 1
i 1
.
N
N
N
2
x
b
x
b
y
x
1
i
1i 0
1
i 1i
i 1
i 1
i 1
N
N
5

6. Метод наименьших квадратов

.
b0
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
2
2
y
x
i 1i yi x1i x1i
N
N x 21i
i 1
b1
N
x1i
i 1
N
N
N
i 1
i 1
i 1
,
N yi x1i yi x1i
N
2
N x 1i x1i
i 1
i 1
N
2
.
6

7. Метод наименьших квадратов

N
bj
yx
i 1
i
N
ji
.
В этой формуле j = 0,1, 2 ..., k – номер фактора. Ноль
записан для вычисления b0.
7

8. Полный факторный эксперимент

Эксперимент, в котором реализуются все возможные
сочетания уровней факторов, называется полным
факторным экспериментом.
Если в k – мерном пространстве фактор х1 будет принимать l1 уровень, фактор х2 – l2 уровней, а фактор хк – lк
k
уровней, то k – факторов образуют:
N l1 l 2 ... l k l i
i 1
наборов, или точек факторного пространства.
В теории ТПЭ обычно l1 = l2 = . . . = lk поэтому N = lk. Если
число уровней каждого фактора равно двум, то имеем
полный факторный эксперимент типа
N = 2k.
8

9. Полный факторный эксперимент

k
2 3
4
5
N
4 8
16
32 64
Матрица планирования 22
6
7
8
9
10
128
256
512
1024
Матрицы планирования 23
№ опыта
х1
х2
Y
№ опыта
х1
х2
х3
y
1
–1
–1
y1
1
+
+
+
y1
2
+1
–1
y2
2

+
+
y2
3
–1
+1
y3
3
+

+
y3
4
+1
+1
y4
4


+
y4
5
+
+

y5
6

+

y6
7
+


y7
8



y8
9

10. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 22

~
x2
3
x2
4
x1
1
2
~
x1
0
10

11. Геометрическое изображение полного факторного эксперимента 23

~
x1
~
x3
~
x2
11

12. Свойства матрицы ПФЭ типа 2k

Симметричность относительно центра эксперимента,
N
x
i 1
ji
0,
где j – номер фактора, N – число опытов, j = 1, 2... k.
Условие нормировки
N
2
x
ji N .
i 1
Ортогональность матрицы планирования
N
x
i 1
x 0,
ji ui
j ≠ u, j, u= 0, 1, 2, …, k.
12

13. Параллельные опыты. Рандомизация

Для снижения случайной составляющей погрешности
в каждой точке плана производят по несколько
параллельных опытов (обычно 3 - 5 ).
В практике эксперимента встречаются случаи, когда
отклик непроизвольно меняется под влиянием
различных неконтролируемых воздействий. Они могут
иметь как случайный так и периодический характер,
причем период может быть меньше времени
проведения эксперимента, так и значительно больше.
Для уменьшения влияния медленно изменяющихся
помех используют метод, или принцип,
рандомизации.
13

14. Параллельные опыты. Рандомизация

Термин “ рандомизация “ происходит от слова random
(случай, случайность ). Он означает, что опыты
производятся не в той последовательности, как они
записаны в плане, а в случайной последовательности.
Кроме уменьшения влияния дрейфа, рандомизация
обеспечивает статистическую независимость результатов
опытов между собой. Поэтому принцип рандомизации
имеет основополагающее значение в теории ПЭ и
должен использоваться при проведении
экспериментальных исследований.
14
English     Русский Rules