Дробно-факторный эксперимент (ДФЭ)

1. Дробно-факторный эксперимент (ДФЭ)

При многофакторном эксперименте,
особенно когда число факторов больше шести
(n > 6), число опытов планов ПФЭ 2n (N = 2n)
становится чрезмерным. Переходят к дробному
факторному эксперименту (ДФЭ) - части
полного факторного эксперимента, или
дробным репликам
ДФЭ может содержать половину, четверть и
т.д. опытов от ПФЭ

2.

К матрице ДФЭ предъявляют те же
требования, что и к матрице ПФЭ
Планы ДФЭ 2n-k, где k - показатель
дробности плана ПФЭ. При k=1 число опытов в
плане ДФЭ в два раза меньше чем в плане
ПФЭ, поэтому такие планы называют
полурепликой плана ПФЭ,
при k=2 – четвертьрепликой плана ПФЭ

3. Минимизация числа опытов

№
опыта
x0
x1
1
+
2
x2
(x3)
x1x2
y
–
–
+
y1
+
+
–
–
y2
3
+
–
+
–
y3
4
+
+
+
+
y4

4.

Пользуясь таким планированием, можно
вычислить четыре коэффициента и представить
результаты эксперимента в виде неполного
квадратного уравнения
Если в выбранных интервалах варьирования
процесс может быть описан линейной моделью,
то достаточно определить три коэффициента b0,
b1, b2. При линейном приближении b12→0 и
вектор-столбец x1x2 можно использовать для
нового фактора x3

5.

Посмотрим, каковы будут оценки
коэффициентов в этом случае. Здесь уже не
будет тех раздельных оценок, которые мы
имели в полном факторном эксперименте 2k.
Оценки смешаются следующим образом:
b1 → β1 + β23, b2 → β2 + β13, b3 → β3 + β12
Вместо 8 опытов для изучения 3 факторов
можно поставить 4
Матрица планирования не теряет своих
оптимальных свойств

6.

• Чтобы сократить число опытов, нужно новому
фактору присвоить вектор-столбец матрицы,
принадлежащий взаимодействию, которым
можно пренебречь. Тогда значение нового
фактора в условиях опытов определяется
знаками этого столбца
Поставив четыре опыта для оценки влияния
трех факторов, мы воспользовались половиной
полного факторного эксперимента 23 или
«полурепликой».

7.

Если бы мы х3 приравняли к –x1x2, то получили
бы вторую половину матрицы 23. В этом случае
b1 → β1 - β23,
b2 → β2 - β13,
b3 → β3 - β12
Объединение этих двух полуреплик и есть
полный факторный эксперимент 23, отражающий
и линейные эффекты и эффекты взаимодействия

8.

Матрица из восьми опытов для четырех
факторного планирования будет полурепликой
от полного факторного эксперимента 24,
а для пятифакторного планирования –
четвертьрепликой от 25
В четвертьреплике два линейных эффекта
приравниваются к эффектам взаимодействия

9.

Для обозначения дробных реплик, в
которых p линейных эффектов приравнены к
эффектам взаимодействия, удобно пользоваться
условным обозначением 2k-p.
Так, полуреплика от 23 запишется в виде 23-1,
а четвертьреплика от 25 – в виде 25-2
При построении полуреплики 23-1 существует
только две возможности приравнять х3 к х1х2 или
–х1х2. Поэтому есть только две полуреплики 23-1

10.

№ опыта
x1
x2
x3
x1x2x3
1
+
+
–
–
2
–
–
–
–
3
+
–
+
–
4
–
+
+
–
Для произведения трех столбцов первой матрицы
выполняется соотношение: +1 = х1х2х3, а для
второй матрицы: -1 = х1х2х3.

11.

Символическое обозначение произведения
столбцов, равного +1 или –1, называется
определяющим контрастом.
Контраст помогает определять смешанные
эффекты. Для того чтобы определить, какой
эффект смешан с данным, нужно помножить
обе части определяющего контраста на
столбец, соответствующий данному эффекту.

12.

Если контраст +1, то для х1 имеем
х 1 = х 1 х 1х 2х 3 = х 2х 3
для х2 имеем
х 2 = х 1х 2х 2х 3 = х 1х 3
для х3 имеем
х 3 = х 1х 2х 3х 3 = х 1х 2
Это значит, что коэффициенты линейного
уравнения будут оценками:
b1 → β1 + β23,
b2 → β2 + β13,
b3 → β3 + β12

13.

Соотношение, показывающее, с каким из
эффектов смешан данный эффект, называется
генерирующим соотношением
Полуреплики, в которых основные эффекты
смешаны с двухфакторными взаимодействиями,
носят название планов с разрешающей
способностью III (по наибольшему числу
факторов в определяющем контрасте).Такие
3
1
планы принято обозначать: 2 III

14.

При выборе полуреплики 24-1 возможны 8 решений
1. х4 = х1х2
5. х4 = х1х3
2. х4 = –х1х2
6. х4 = – х1х3
3. х4 = х2х3
7. х4 = х1х2х3
4. х4 = –х2х3
8. х4 = – х1х2х3
Разрешающая способность этих полуреплик
различна

15.

Реплики 1 – 6 имеют по три фактора в
определяющем контрасте, а 7 – 8 по четыре.
Разрешающая способность задается
системой смешивания данной реплики.
Она будет максимальной, если линейные
эффекты смешаны с эффектами взаимодействия
наибольшего возможного порядка
Реплики 7 и 8 имеют максимальную
разрешающую способность и называются
главными

16.

При отсутствии априорной информации об
эффектах взаимодействия экспериментатор
стремится выбрать реплику с наибольшей
разрешающей способностью, т.к. тройные
взаимодействия обычно менее важны, чем
парные

17.

Реплики, в которых нет ни одного главного
эффекта, смешанного с другим главным
эффектом или парным взаимодействием, а все
парные взаимодействия смешаны друг с
другом, носят название планов с разрешающей
способностью IV (по наибольшему числу
факторов в определяющем контрасте).
4 1
Они имеют обозначение 2 IV
Такие полуреплики называют главными
полурепликами, так как они обладают
наибольшей разрешающей способностью

18.

При выборе полуреплики 25-1 в распоряжении
экспериментатора имеется множество
вариантов
х5 можно приравнять к одному из 6 парных
взаимодействий. В этом случае получим
полуреплику с разрешающей способностью III.
х5 можно приравнять к одному из четырех
тройных взаимодействий. Тогда получим план с
разрешающей способностью IV, и все
линейные эффекты будут смешаны с тройными
взаимодействиями

19.

Полуреплика может быть задана
генерирующими соотношениями
или
Такие реплики носят название планов с
разрешающей способностью V и
5 1
обозначаются 2V
Определяющими контрастами в этом случае
будут
и

20.

Полурепликами 26-1 редко пользуются на
практике, т.к. такая полуреплика требует 32
опыта, а выгодны планы 26-2-или 26-3 требующие
соответственно 16 и 8 опытов. С ростом числа
факторов возрастает дробность применяемых
реплик
При построении главных полуреплик в
определяющий контраст надо включать
наибольшее число факторов

21.

При исследовании влияния пяти факторов
можно поставить не 16 опытов, а только 8, т. е.
воспользоваться репликой 25-2. Здесь возможны
двенадцать решений, если х4 приравнять
парному взаимодействию, а х5 – тройному.
и
Например,
Тогда определяющими контрастами являются
или

22.

Чтобы полностью охарактеризовать
разрешающую способность реплики, необходимо
записать обобщающий определяющий контраст

23.

Пример. Методом дробных реплик найти
математическое описание процесса в виде
уравнения регрессии:
y b0 b1 X1 b2 X 2 b3 X 3 b4 X 4 b5 X 5
Воспользуемся планированием типа 25 2 и
примем генерирующие соотношения
X 4 X1 X 2
X 5 X1 X 2 X 3
Выбор генерирующих соотношений в общем
случае произволен, однако он существенно
влияет на характер совместных оценок
коэффициентов регрессии.
Правило определения совместных оценок
коэффициентов состоит в следующем

24.

X i 1 X i
1.
1
2. Умножив обе части генерирующих
соотношений соответственно на X4 и X5,
получим 1 X1 X 2 X 4
2
Xi
1 X1 X 2 X 3 X 5
определяющие контрасты
Перемножив их почленно, получим новые
определяющие контрасты. В данном случае
это 1 X X X
3 4 5

25.

3. Составим алгебраическую сумму из единицы
и правых частей всех полученных
определяющих контрастов
S 1 X1 X 2 X 4 X1 X 2 X 3 X 5 X 3 X 4 X 5
4. Умножив каждый из факторов на S и заменив
факторы соответствующими коэффициентами
разложения в ряд Тейлора, получим
b1 1 24 235 1345
b2 2 14 135 2345
b3 3 1234 125 45
b4 4 12 12345 35
b5 5 1245 123 34

26. Метод ортогонального центрального композиционного планирования

Если поверхность отклика не может быть
описана многочленом вида
y b0 b1 X1 b2 X 2 bn X n b12 X1 X 2 b(n 1)n X n 1 X n
для адекватного математического описания
используется многочлен более высокой степени,
например, отрезок ряда Тейлора, содержащий
члены с квадратами переменных. Тогда
используют центральное композиционное
планирование (ЦКП) эксперимента

27.

Различают два вида центрального
композиционного планирования (ЦКП):
ортогональное и ротатабельное
Количество опытов при ортогональном ЦКП
определяется по формуле N 2 n 2n 1
здесь 2n – количество опытов, образующих полный
факторный эксперимент; 2n – число так называемых
«звездных» точек в факторном пространстве, имеющих
координаты (±α, 0, 0, ..., 0); (0, ±α, 0, ..., 0), ..., (0, 0, ..., ±α).
Здесь величина α называется «звездным» плечом;
1 – опыт в центре планирования, т. е. в точке факторного
пространства с координатами (0, 0, ..., 0)

28.

Значения «звездного» плеча α для ЦКП с
различным числом факторов n следующие:
n
2
1,000
3
1,215
4
1,414
5
1,547
Эти значения α выбраны из условия
ортогональности матрицы планирования

29.

Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП
ищут в следующем виде
y b0* b1 X1 b2 X 2 ... bn X n b12 X1 X 2 ...
b( n 1) n X n 1 X n b11 X1* ... bnn X n*
N
1
2
2
X
X
X
Переменные величины
ji
ji
ji
N j 1
введены для того, чтобы матрица планирования
была ортогональна и коэффициенты регрессии
определялись независимо друг от друга по
результатам опытов
здесь j – номер опыта; i – номер фактора

30.

Чтобы получить уравнение регрессии в обычной
форме
y b0 b1 X1 b2 X 2 ... bn X n b12 X1 X 2 ...
b( n 1) n X n 1 X n b11 X12 b22 X 22 ... bnn X n2 ,
находят величину
b11 N 2
bnn N 2
b0 b X ji ...
X jn .
N j 1
N j 1
*
0

31.

Пример
Ортогональное ЦКП для двух факторов
Система опытов
Полный
факторный
эксперимент
Опыты в звездных
точках
Опыт в центре
плана
Номер
опыта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X1
1
1
1
1
+1
1
0
0
0
X2
1
1
+1
+1
0
0
+1
1
0
X1X2
+1
1
1
+1
0
0
0
0
0
X1*
+0,33
+0,33
+0,33
+0,33
+0,33
+0,33
0,67
0,67
0,67
X2*
+0,33
+0,33
+0,33
+0,33
-0,67
-0,67
+0,33
+0,33
0,67

32.

X2
+1
*
*
*+1
–1
X1
*
–1
Схема опытов ортогонального ЦКП для двух факторов:
опыты полного факторного
эксперимента; * – опыты в звездных
точках;
– опыт в центре плана

33.

Коэффициенты регрессии при ортогональном
ЦКП считают по следующим формулам
1
*
b0
N
N
X ji y j
bi
j 1
N
( X ji )
N
yj
j 1
где i ≠ 0
N
bik
2
j 1
N
bii
j 1
N
j 1
N
( X ji X jk )
j 1
X *ji y j
(X
j 1
X ji X j k y j
*
ji
)
2
2
где i ≠ k

34.

Для расчета оценок дисперсий в определении
коэффициентов регрессии используют
следующие выражения
S S
2
b0
nS
2
b0*
S
2
b0*
2
bii
N
N
X
j 1
2
ji
S2
bi
S
2
y
N
S y2
N
(X
j 1
Sb2i k
2
Sy
N
( X ji X jk )
j 1
где i ≠ k
2
S b2ii
ji
)
где i ≠ 0
2
S y2
N
(X
j 1
*
ji
)
2

35.

Коэффициент bi, считается значимым, если
bi Sbi t ,n
Аналогично проверяется значимость остальных
коэффициентов регрессии.
Проверка адекватности уравнения регрессии
осуществляется с помощью критерия Фишера
Fр
2
S ад
2
Sвоспр

36. Ортогональный план

Это план 2-ого порядка nпосле преобразований (*)
2
xij
j 1
(*) x ij x ij 2
x ij 2 x i 2
n
Эти преобразования позволяют усреднить случайные
погрешности
Ортогональный план 2-ого порядка
Тогда уравнение регрессии
k
k
k
y b0 bi xi biu xi xu bii xi ;
j 1
i , u 1
i 1
В итоге уравнение регрессии преобразуется к виду
k
k
k
y b0 bi xi biu xi xu bii ( xi 2 xi 2 )
j 1
i , u 1
i 1

37. Метод ротатабельного центрального композиционного планирования

Метод ротатабельного планирования
эксперимента позволяет получать более точное
математическое описание поверхности отклика по
сравнению с ортогональным ЦКП, что достигается
благодаря увеличению числа опытов в центре
плана и специальному выбору величины
«звездного» плеча α.

38.

Это план, у которого точки плана располагаются
на окружностях (сферах, гиперсферах)
Точность оценивания функции отклика по
любому направлению факторного пространства
(для всех точек плана) одинаковая, что
позволяет наилучшим образом извлечь
максимальное количество (несмещенной)
информации из плана

39.

Характеристики ротатабельного ЦКП
Число
Число
Число
Число опытов опытов опытов Общее
в
факто фактор.
в
число
ров планиро звездных центре опытов
плана
вания
точках
2
3
4
5*
5**
4
8
16
32
16
4
6
8
10
10
5
6
7
10
6
13
20
31
52
32
* Полный факторный эксперимент.
** Эксперимент по методу дробных реплик.
α
1,414
1,680
2,000
2,378
2,000

40.

При ротатабельном ЦКП для вычисления
коэффициентов регрессии и соответствующих
оценок дисперсий находят следующие
константы
1
A
2 Β (n 2 )Β n
nN
Β
n 2 N N 0
N
C
N N0
где n – число факторов; N – общее число опытов
ротатабельного ЦКП; N0 – число опытов в центре плана

41.

На основании результатов эксперимента
вычисляют следующие суммы
S0
N
N
yj
Si X ji y j
j 1
(где i=1,2,…,n),
j 1
N
Sik X ji X jk y j
(где i ≠ k),
j 1
Sii
N
X
i 1
2
ji
yj
(где i=1,…, n)

42.

Формулы для расчета коэффициентов регрессии
имеют следующий вид
2 AΒ
b0
S0 Β n 2 C Sii
N
i 1
n
CSi
bi
N
2
C Sik
bik
где i ≠ k
BN
n
AC
bii
S iiC B n 2 n C 1 B Sii 2 BS0
N
i 1

43.

Оценки дисперсий в определении
коэффициентов регрессии вычисляют по
следующим формулам
2 AB (n 2) 2
S
Sвоспр
b
N
2
S
2
bi
S
2
воспр
S
(где i=1,2,…,n)
N N0
2 2
C Sвоспр
2
S
bik
N
2
2
bii
0
AC S
N
2
воспр
(где i≠k)
B n 1 n 1

44.

Коэффициент bi, считается значимым, если
bi Sbi t ,n
Аналогично проверяется значимость остальных
коэффициентов регрессии
Оценку дисперсии адекватности рассчитывают
N
по формуле
э
p 2
2
(
y
y
)
S
j j
воспр( N 0 1)
S
2
ад
j 1
(n 2)( n 1)
N
( N 0 1)
2

45.

С ней связано число степеней свободы
f ад
(n 2)(n 1)
N
( N0 1)
2
Проверку адекватности уравнения регрессии
осуществляют с помощью критерия Фишера
Fр
2
Sад
2
Sвоспр

46.

Ротабельный план 2-ого порядка
Для того, что бы привести план 2-ого порядка к
ротатабельному, величину плеча выбирают из условия
k
4
(**) 2 при k 5 и 2
k 1
4
при k 5

47.

Пример. Рассмотреть ротатабельное ЦКП для
двух факторов. Матрица планирования и
результаты эксперимента приведены в таблице
Матрица планирования и результаты эксперимента
Система опытов
Номер
опыта
Полный
факторный
эксперимент
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Опыты в
"звездных"
точках
Опыты в
центре плана
X1
1
+1
1
+1
+1,41
1,41
0
0
0
0
0
0
0
X2
1
1
+1
+1
0
0
+1,41
1,41
0
0
0
0
0
X3
+1
1
1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
X12
X 22
+1
+1
+1
+1
2
2
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
+1
+1
0
0
2
2
0
0
0
0
0
y эj
66,8
66,2
74,8
67,8
62,1
67,5
76,4
69,6
66,3
67,2
67,0
66,2
67,2
y jp
67,4
66,8
75,4
68,4
62,8
68,1
76,8
70,2
66,7
66,7
66,7
66,7
66,7

48.

Для нахождения коэффициентов регрессии
вычислим следующие вспомогательные
коэффициенты
2 13
B
0,81
(2 2)(13 5)
1
A
0,5
2 0,81 2 2 0,81 2
13
C 1,63
8
На основании результатов опытов вычислим
вспомогательные суммы

49.

13
S0 y эj 885,1
j 1
13
S2 X
j 1
13
S11
j 1
13
S1 X j1 y эj 15,2
j 1
13
э
y
j2 j
19,2
S12 X j1 X j 2 y эj 6,4
j 1
13
2 э
X j1 y j
535,6
S 22
j 1
2 э
X j2 y j
567 ,6
Коэффициенты регрессии рассчитываем по
формулам

50.

2 AB
b0
[ S0 B(n 2) C ( S11 S 22 )]
N
2 0,5 0,81
[885,1 0,81(2 2) 1,63(535,6 567,6)] 66,7;
13
CS1 1,63( 15,2)
b1
1,89
N
13
CS2 1,63 19,2
b2
2,41
N
13
C S12 (1,63) ( 6,4)
b12
1,61
BN
0,81 13
2
2

51.

AC
b11
{S11C[ B(n 2) n] C (1 B)( S11 S 22 ) 2 BS0 }
N
0,5 1,63
{535,6 1,63[0,81(2 2) 2] 1,63(1 0,81)(535,6 567 ,6)
13
2 0,81 885,1} 0,6;
AC
{S 22C[ B(n 2) n] C (1 B)( S11 S 22 ) 2 BS0 }
N
0,5 1,63
{567 ,6 1,63[0,81(2 2) 2] 1,63(1 0,81)(535,6 567 ,6)
13
2 0,81 885,1} 3,4.
b22

52.

Оценку дисперсии воспроизводимости можно
найти на основании результатов опытов,
проведенных в центре плана
1
y
N0
N0
j 1
э 1
y j (66,3 67,2 67,0 66,2 67,2)
5
N
67
1
2
э
Sвоспр
(
y
j y ) 0,3
N 0 1 j 1
Эта величина найдена при числе степеней
свободы
f N0 1 5 1 4
0
Оценки дисперсий в определении
коэффициентов регрессии

53.

2 AB (n 2) 2
2 0,5 0,81(2 2)0,3
S
Sвоспр
0,0748
N
13
2
b0
2
Sbi
2
Sb
ik
S y2
0,3
0,0375
N N0 13 5
Sb2ii
2 2
C Sy
N
AC 2 S 2y
N
2
(1,63) 0,3
0,0613
13
[ B (n 1) (n 1)]
0,5(1,63) 2 0,3
[0,81(2 1) (2 1)] 0,0438
13

54.

Пользуясь таблицей значений критерия
2,78
Стьюдента, находим t
,n
для f 4 и P 0,95
Sb t ,n 0,274 2,78 0,761
0
Sbi t , n 0,194 2,78 0,539
Sb t ,n 0,248 2,78 0,689
ik
Sbii t , n 0,209 2,78 0,581
Для проверки значимости коэффициентов
регрессии рассмотрим соотношения:

55.

b0 66 ,7 Sb t , n
b1 1,89 Sb t , n
b2 2,41 Sb t , n
b12 1,61 Sb t , n
b11 0,61 Sb t , n
b22 3,4 Sb t ,n
0
i
ik
i
ii
ii
Все коэффициенты регрессии значимы.
Вычисляем оценку дисперсии адекватности
N
(y
э
j
y ) S
p 2
j
2
воспр
( N 0 1)
3,81 0,3 4
S
0,87
(n 2)( n 1)
4 3
N
( N 0 1) 13
4
2
2
2
ад
j 1

56.

Число степеней свободы, связанных с этой
оценкой дисперсии
(n 2)(n 1)
4 3
f ад N
( N 0 1) 13
4 3
2
2
2
Расчетное значение
S ад
0,87
F 2
2,9
критерия Фишера
0,3
S
воспр
Из таблицы значений критерия Фишера
FT 6,6 .
Условие Fp FT выполнено, следовательно,
уравнение регрессии
соответствующее значение критерия

57.

y 66,7 1,89 X 1 2,41X 2 1,61X 1 X 2 0,61X 12 3,40 X 22
адекватно представленным результатам эксперимента
Перейдем в уравнение регрессии от
кодированных переменных к физическим
Пусть в нашем примере кодированные переменные
X1 и X2 представляют собой температуру и
концентрацию, причем координаты центра плана
x01= 60°С и x02= 30%, а шаги варьирования Δx1= 5°С и
Δх2= 1% . Тогда
x1 x01
X1
0,2 x1 12
x1
x2 x02
X2
x2 30
x2

58.

Подставляя их в полученное в этом примере
уравнение регрессии, преобразуем его к виду
y 2409 9,57 x1 19,7 x2 0,32 x1 x2 0,0244 x12 3,4 x22
Пользуясь таким уравнением, исследователь
избавляется от необходимости переводить всякий
раз условия опыта в кодированные переменные