Решение тригонометрических уравнений с отбором корней на заданном промежутке

1.

2.

3. 23.03.2012

Решение
тригонометрических уравнений
с отбором корней
на заданном промежутке

4.

Решение тригонометрических уравнений с
отбором корней на заданном промежутке
Тригонометрические
формулы
Методы решения
тригонометрических
уравнений
Формулы корней
простейших
тригонометрических
уравнений
Способы отбора
корней

5. Тригонометрические формулы

arccos(-0,5)
sin( 0,5π+x)
arcsin(-0,5)
sin 6x
cos²x-1
cos (1,5π-x)
сos(-4π/3) Tg²(1,5π+x)
3sin²4x+3cos²4x
вперед
2tg405°
sin 150°
cos²x-sin²x

6. Методы решений тригонометрических уравнений

Основные методы:
• замена переменной,
• разложение на множители,
•однородные уравнения,
прикладные методы:
• по формулам преобразования суммы в произведение
и произведения в сумму,
• по формулам понижения степени,
• универсальная тригонометрическая подстановка
• введение вспомогательного угла,
• умножение на некоторую тригонометрическую функцию.

7. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений

Формулы корней тригонометрических
Sin x =a,
X = (-1)n arcsin a +Пn
n Z
Частные
Cos x = a,
X= ± arccos a + 2Пn
n Z
случаи решения
sin x = 0
X = Пn, n Z
cos x = 0
X = П/2 + Пn, n Z
sin x = 1,
X = П/2 + 2 Пn, n Z
cos x = 1,
X = 2Пn, n Z
sin x = -1,
X = -П/2 + 2Пn, n Z
cos x = -1,
X = П + 2 Пn, n Z
уравнений
tg x = a,
x = arctg a + Пn
n Z
уравнений
tg x = 0
X = Пn, n Z

8. Способы отбора корней тригонометрических уравнений на заданном промежутке

• Арифметический способ
Перебор значений целочисленного параметра n и
вычисление корней
• Алгебраический способ
Перебор значений целочисленного параметра n и
вычисление корней
• Геометрический способ
Изображение корней на тригонометрической
окружности с последующим отбором с учетом
имеющихся ограничений

9. Арифметический способ Перебор значений целочисленного параметра n и вычисление корней

cos x a, a 1
Решить уравнение
x arccos a 2 k , k Z
x arccos a 2 k , k Z
2. Записать корни
уравнения
x
k -2
-1
0
1
3. Разделить виды
arccos a 2 k
решения для косинуса; arccos a 2 k
подсчитать значения x
при целых n до тех пор,
sin x a, a 1
пока значения x не выйдут
x ( 1) k arcsin a k , k Z
за пределы данного
x
k
-2
-1
0
1
отрезка.
( 1) arcsin a k
4. Записать ответ.
1.
k
2
…
2
…

10. Алгебраический способ Решение неравенства относительно неизвестного параметра n и вычисление корней

Записать двойное неравенство
для неизвестного (x),
соответственное данному
отрезку или условию; решить
уравнение.
1.
Для синуса и косинуса разбить
решения на два.
2.
Подставить в неравенство
вместо неизвестного (x)
найденные решения и решить
его относительно n.
3.
Учитывая, что n принадлежит
Z, найти соответствующие
неравенству значения n.
4.
Подставить полученные
значения n в формулу корней.
5.
cos x a, a 1, c; d
x arccos a 2 k , k Z
x arccos a 2 k , k Z
с arccos a 2 k d
с arccos a 2 k d
Т.к. k Z , то k1 ...; x1 ...
k2 ...; x2 ...
sin x a, a 1, c; d
x arcsin a 2 k , k Z
x arcsin a 2 k , k Z
с arcsin a 2 k d
с arcsin a 2 k d
Т.к. k Z ,
то k1 ...; x1 ...
k2 ...; x2 ...

11. Геометрический способ Изображение корней на тригонометрической окружности с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений

cos x a, a 1, c; d
На окружности
1.
x arccos a 2 k , k Z
x arccos a 2 k , k Z
Решить уравнение.
Обвести дугу,
соответствующую данному
отрезку на окружности.
2.
Разделить виды решений
для синуса и косинуса.
3.
y
arccos a
Нанести решения уравнения
на окружность.
4.
Выбрать решения, попавшие
на обведенную дугу.
5.
d
а
0
-arccos a
c
x

12. Геометрический способ Изображение корней на графике с последующим отбором с учетом имеющихся ограничений

На графике
1.
Решить уравнение.
sin x a, a 1, c; d
Построить график данной
функции, прямую у = а, на
оси х отметить данный
отрезок.
2.
x arcsin a 2 k , k Z
x arcsin a 2 k , k Z
Найти точки пересечения
графиков.
3.
y
Выбрать решения,
принадлежащие данному
отрезку.
4.
y=a
a
с
arcsin a
П-arcsin a
d
y = sin x
x

13.

Ответы

14.

Пример 3. Найти все корни уравнения
10 cos 2 (
2
которые удовлетворяют условию x [
Решение.
10sin2 x = – cos 2x + 3;
10sin2 x = 2sin2 x – 1 + 3,
8sin2 x = 2;
1
sin 2 x ;
4
1
sin x ;
2
k
x
(
1
)
k , k Z ,
6
x ( 1) m ( ) m, m Z ;
6
x
6
n, n Z ;
7
2 x) 3,
2
2 19
;
].
3 12
y
2
5
6
6
0
7
6
С помощью числовой окружности получим:
x) sin(
x
3
2
6

15.

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.
Из первой серии: 2 n 19 , n Z ;
3
6
12
8 2 12 n 19 , n Z ;
10 12n 17, n Z .
Следовательно n=0 или n=1, то есть x ,
6
x 7 .
6
2
19
n
,n Z;
3
6
12
8 2 12 n 19 , n Z ;
Из второй серии:
6 12n 21, n Z .
Следовательно n=0 или n=1, то есть
x
,
6
x 5 .
6
Ответ : {
5 7
;
6 6
;
6
}.

16.

Самый лучший способ
для достижения правильного
и быстрого результата
это тот, который лучше всего усвоен
конкретным учеником.