Дифференциал функции

1.

1. Понятие дифференциала функции
Рассмотрим некоторую функцию у = f (x), определенную в окрестности точки х0.
В окрестности точки х0 выберем точку х, и найдем значение функции в этой точке.
f (x)
y
х х х0 - приращение аргумента
f
f ( x0 )
f f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) - приращение функции
х
0
x0
x
x
Определение
Предел отношения приращения функции в точке х0 к приращению аргумента при стремлении
приращения аргумента к 0 (если этот предел существует и конечен) называется производной
функции у = f (x) в точке х0 и обозначается f ( x0 ).
f
f ( x0 ) lim
x 0 х
Обозначения производной:
f ( x), f х , y ( x), y x ,
dy df
,
dx dx

2.

Пусть функция у = f (x) имеет в точке х0 отличную от нуля производную:
f
0
x 0 х
f ( x0 ) lim
По основной теореме о пределах, в окрестности точки х0 имеет место равенство:
f
f ( x0 ) ( х),
х
(х) – функция, бесконечно малая при х 0
Следовательно, f f ( x0 ) х ( х) х ( lim
x 0
f ( x0 ) х
f ( x0 ) 0,
х
lim
x 0
( х) х
х
( х) 0)
f ( x0 ) х – главная часть приращения функции
Определение
Дифференциалом функции у = f (x) в точке х0 называется главная часть приращения этой
функции в точке х0 и обозначается d f(x0 )
df f ( x0 ) х
Дифференциал независимой переменной х равен приращению ∆х:
y f ( x) x y x 1 df dx 1 x dx x
Итак,
Следовательно,
df f ( x) dx
df
f (x)
dx

3.

Пример 1
Дана функция
f ( x) x 4 sin 3x
Найти df в точке х0=0
Решение:
df f ( x) dx ( x 4 sin 3x) dx (4 x 3 3 cos 3x)dx
df ( x0 ) (4 03 3 cos 0)dx 3dx
Пример 2
Дана функция
f ( x) earctg x 7 х 3
Найти df
Решение:
1
df f ( x) dx (earctg x 7 х 3) dx earctg x
7 dx
2
1 x

4.

2. Геометрический смысл дифференциала функции
К графику функции у = f (x) проведем касательную в точке х0
y
f (x)
B
df
A
f
M
f ( x0 )
х
0
f ( x0 ) tg tg АМВ
x0
x
x
AB AB AB f ( x ) x AB df
0
MA x
Дифференциал функции y = f (x) в точке х0 равен приращению ординаты касательной к
графику функции в этой точке, когда аргумент получает приращение х

5.

3. Свойства дифференциала
1. d С 0
2. d (u v) du dv
3. d (u v) v du udv
u v du udv
4. d
(v 0)
2
v
v
5. Пусть y f (u( x)) – сложная функция, тогда
dy f x dx f u u x dx f u du
Итак,
f x dx f u du
инвариантность формы 1-го дифференциала

6.

4. Применение дифференциала к приближенным
вычислениям
Приращение функции
f f ( x0 ) х ( х) х df ( х) х f df
Абсолютная погрешность при замене f на df равна f df ( х) х
бесконечно малая более высокого порядка, чем х при х 0
Пример
Вычислить 2,015
Решение:
Рассмотрим функцию f ( x) x 5
Пусть x0 2, x 0,01, тогда x0 x 2, 01
Задача сводится к нахождению
f ( x0 x) f ( x0 ) f
f ( x0 x) (2 0,01) 5
f ( x0 ) f (2) 25 32
f d f ( х5 ) x 5x 4 x
f ( x0 x) 32 0,8 32,8
Итак, 2,015 32,8
d f ( x0 ) 5 24 0,01 0,8

7.

5. Дифференциалы высших порядков
Пусть у = f (x), x – независимая переменная,
d f = f΄(x)∙dx – дифференциал (первый дифференциал).
Определение
Вторым дифференциалом d 2f функции у = f (x) называют дифференциал от первого
дифференциала d f, рассматриваемого как функция от х (dx считаем константой).
Таким образом,
d 2f= d (d f) = d (f ΄(x)∙dx) = dx∙d (f ΄(x)) = dx∙f ΄΄(x)∙dx = f ΄΄(x)∙(dx)2.
Итак, d 2f=f ΄΄(x)∙dx2.
Аналогично определяются третий и выше дифференциалы:
d 3f=f (3)(x)∙dx3, d 4f=f (4)(x)∙dx4
Итак, d nf=f (n)(x)∙dxn

8.

Пример
Дана функция
f ( x) x 4 sin 3x
Найти d 2f
Решение:
d 2 f f ( x) dx 2 ( x 4 sin 3x) dx 2 (4 x 3 3 cos 3x) dx 2 (12 х 2 9 sin 3x)dx 2
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!