Числовые последовательности

1.

Числовые последовательности.
Функцию у f x , где
x N
называют функцией натурального аргумента или
числовой последовательностью.
Обозначение:
у f n
или
y1 , y 2 , y3 ,... y n 1 , y n , y n 1 ,...
или
yn

2.

Способы задания последовательности:
1. Словесный.
Пример: последовательность четных чисел.
2. Аналитический (задана формула n – го члена).
Пример: №1.
уn n
2
№2.Последовательность Фибоначчи
n
n
1 1 5
1 5
yn
5 2 2
3. Рекуррентный (задано правило).
Пример: №1. арифметическая прогрессия
№2. геометрическая прогрессия
№3.
an 1 an d
bn 1 bn q
Последовательность Фибоначчи: n-й член последовательности
равен сумме двух предшествующих ему членов у1 1;
у 2 1;
у 3 1 1 2;
у 4 1 2 3;
у 5 2 3 5;
у 6 3 5 8;
.......................

3.

4.

Свойства числовых последовательностей.
1°. Ограниченность сверху.
Последовательность (уn) ограниченна сверху, если
существует такое число М, что для любого n N
выполняется неравенство
yn M
(М – верхняя граница последовательности)
2°. Ограниченность снизу.
Последовательность (уn) ограниченна снизу, если
существует такое число m, что для любого n N
выполняется неравенство y m
n
(m – нижняя граница последовательности)
Последовательность если ограниченна и сверху и снизу, то
её называют
ограниченной последовательностью

5.

М
О
Н
О
Т
О
Н
Н
Ы
Е
3°. Возрастание.
Последовательность (уn) возрастающая, если
каждый её член(кроме первого) больше
предыдущего.
у1 y 2 ... y n 1 y n ...
4°. Убывание.
Последовательность (уn) убывающая, если
каждый её член(кроме первого) меньше
предыдущего.
у1 y 2 ... y n 1 y n ...

6.

7.

Определение.
Число b называют пределом последовательности (уn), если
в любой заранее выбранной окрестности точки b
содержатся все члены последовательности, начиная
с некоторого номера.
Обозначение:
уn b
1
0
lim
n n
lim q
n
0
n
q 1
или
lim y
n
n
b
1
lim
n 0 n
n
q
lim
n 0
q 1

8.

Свойства сходящихся последовательностей.
1. Если последовательность сходится, то только к
одному пределу.
2. Если последовательность сходится, то она ограничена.
3. (Теорема Вейерштрасса)
Если последовательность монотонна и ограничена, то
она сходится.

9.

10.

Предел функции.
lim
f x b
lim
f x
x
x
Предел функции в точке.
lim
x a
f x f a

11.

Приращение аргумента.
Пусть функция у = f(х) определена в точках х0 и х1.
Разность х1 – х0 называют приращением аргумента.
Обозначение:
Δх
(дельта х)
Δх = х1 – х0
Приращение функции.
Разность f(х1) – f(х0) называют приращением
функции.
Обозначение:
Δf или Δ у
Δу = f(x1) – f(x0), где х1=х0 + Δх

12.

Понятие непрерывности функции.
Функция у = f(х) непрерывна в точке х = а, если
в этой точке выполняется следующее условие:
если
Δх→0,
то Δ у
→ 0.

13.

Определение производной.
Пусть функция у = f(х) определена в точке х
и в некоторой её окрестности.
Предел отношения приращения функции
к приращению аргумента при
Δх стремящемся к нулю
называют производной функции в точке х.
y
lim
f x
x 0 x

14.

Алгоритм нахождения производной для функции у = f(х).
1. Зафиксировать значение х, найти f(х).
2. Дать аргументу х приращение Δх, перейти в новую точку х + Δх,
найти f(х + Δх).
3. Найти приращение функции: Δу = f(х + Δх) – f(х).
4. Составить отношение
5. Вычислить
6. Получим:
y
lim
x 0 x
y
x
y
lim
f x
x 0 x

15.

Пример нахождения производной функции у = 2х + 3.
1. Фиксируем х=х0, имеем: f(х0
)=2х0 + 3.
2. В точке х0 + Δх имеем:
f(х0+Δх)= 2(х0+Δх) + 3.
3. Δу
=f(х0 + Δх) – f(х0)=
= 2(х0 + Δх)+3 – 2х0 – 3 = 2(Δх).
4.
5.
у 2( х)
2
х
х
у
lim
lim 2 2
x 0 х
x 0
6. f´(х)
= (2х +3)´ = 2